تناسب مستقیم و نمودار آن. تناسب مستقیم و نمودار آن مطالعه تابع تناسب مستقیم $f(x)=kx$ و نمودار آن

اهداف درس: در این درس با نوع خاصی از رابطه عملکردی - تناسب مستقیم - و نمودار آن آشنا می شوید.

وابستگی متناسب مستقیم

بیایید به چند نمونه از وابستگی ها نگاه کنیم.

مثال 1.

اگر فرض کنیم که یک عابر پیاده با سرعت متوسط ​​3.5 کیلومتر در ساعت حرکت می کند، طول مسیری که او طی می کند بستگی به زمان صرف شده در سفر دارد:

در یک ساعت یک عابر پیاده 3.5 کیلومتر پیاده روی می کند
در دو ساعت - 7 کیلومتر
در 3.5 ساعت - 12.25 کیلومتر
پشت تیساعت - 3.5 تیکیلومتر

در این صورت می‌توانیم وابستگی طول مسیر طی شده توسط عابر پیاده به زمان را به صورت زیر بنویسیم: S(t)=3.5t.

تی– متغیر مستقل، اس– متغیر وابسته (تابع). هر چه زمان طولانی تر باشد، مسیر طولانی تر است و بالعکس - هر چه زمان کوتاه تر باشد، مسیر کوتاه تر است. برای هر مقدار، متغیر مستقل است تیمی توانید نسبت طول مسیر به زمان را پیدا کنید. همانطور که می دانید با سرعت برابر خواهد بود، یعنی در این حالت 3.5 خواهد بود.

مثال 2.

مشخص است که یک زنبور علوفه جو در طول زندگی خود حدود 400 پرواز انجام می دهد و به طور متوسط ​​800 کیلومتر پرواز می کند. او از یک پرواز با 70 میلی گرم شهد برمی گردد. برای به دست آوردن 1 گرم عسل، یک زنبور باید به طور متوسط ​​75 پرواز از این قبیل انجام دهد. بنابراین، او در طول زندگی خود تنها حدود 5 گرم عسل تولید می کند. بیایید محاسبه کنیم که آنها در طول عمر خود چقدر عسل تولید می کنند:

10 زنبور عسل - 50 گرم
100 زنبور عسل - 500 گرم
280 زنبور عسل - 1400 گرم
1350 زنبور عسل - 6750 گرم
ایکسزنبورها - 5 گرم

بنابراین، می توانیم معادله ای بنویسیم که میزان عسل تولید شده توسط زنبورها را بر تعداد زنبورها بیان می کند: P(x) = 5x.

ایکس- متغیر مستقل (استدلال) آر– متغیر وابسته (تابع). زنبورهای عسل بیشتر، عسل بیشتر. در اینجا نیز مانند مثال قبل می‌توانید نسبت مقدار عسل به تعداد زنبورها را بیابید که برابر با 5 خواهد بود.

مثال 3.

اجازه دهید تابع توسط یک جدول داده شود:

بیایید نسبت مقدار متغیر وابسته به مقدار متغیر مستقل برای هر جفت را پیدا کنیم ( ایکس; در) و این رابطه را در جدول قرار دهید:

می بینیم که برای هر جفت مقدار ( ایکس; در) رابطه، بنابراین می توانیم تابع خود را به این صورت بنویسیم: y = –4ایکسبا در نظر گرفتن دامنه تعریف این تابع، یعنی برای آن مقادیر ایکس، که در جدول آمده است.

توجه داشته باشید که برای جفت (0; 0) این وابستگی نیز صادق خواهد بود، زیرا در(0) = 4 ∙ 0 = 0، بنابراین جدول در واقع یک تابع را تعریف می کند y = –4ایکسبا در نظر گرفتن دامنه تعریف این تابع.

در هر دو مثال اول و دوم، یک الگوی مشخص قابل مشاهده است: هر چه مقدار متغیر مستقل (آرگمون) بیشتر باشد، مقدار متغیر وابسته (تابع) بیشتر است. و بالعکس: هر چه مقدار متغیر مستقل (آرگمون) کوچکتر باشد، مقدار متغیر وابسته (تابع) کوچکتر است. در این حالت نسبت مقدار متغیر وابسته به مقدار آرگومان در هر مورد ثابت می ماند.

این وابستگی نامیده می شود تناسب مستقیمو یک مقدار ثابت که نسبت مقدار تابع به مقدار آرگومان را می گیرد – عامل تناسب.

با این حال، ما توجه داشته باشید که الگوی: بیشتر ایکس، بیشتر درو برعکس، کمتر ایکس، کمتر دردر این نوع وابستگی تنها زمانی ارضا می شود که ضریب تناسب یک عدد مثبت باشد. بنابراین، شاخص مهم تری که وابستگی نسبت مستقیم دارد، می باشد ثبات نسبت مقادیر متغیر وابسته به متغیر مستقل، یعنی حضور عامل تناسب.

در مثال 3 نیز با تناسب مستقیم روبرو هستیم، این بار با یک ضریب منفی که برابر با 4- است.

به عنوان مثال، در بین وابستگی هایی که با فرمول ها بیان می شوند:

1. I = 1.6p
2. S = -12t + 2
3. r = -4k 3
4. v=13 متر
5. y = 25x – 2
6. P = 2.5a

تناسب مستقیم 1.، 4. و 6. وابستگی است.

3 نمونه از وابستگی‌ها را بیاورید که با هم متناسب هستند و مثال‌های خود را در اتاق ویدیو مورد بحث قرار دهید.

با کار با مواد آموزشی تصویری با روش دیگری برای تعیین تناسب مستقیم آشنا شوید

نمودار تناسب مستقیم

قبل از مطالعه قسمت بعدی درس، با مواد منبع آموزشی الکترونیکی کار کنید « ».

از مطالب منبع آموزشی الکترونیکی متوجه شدید که نمودار تناسب مستقیم خط مستقیمی است که از مبدا مختصات می گذرد. بیایید با ترسیم توابع از این موضوع مطمئن شویم در = 1,5ایکسو در = –0,5ایکسدر همان صفحه مختصات

بیایید یک جدول از مقادیر برای هر تابع ایجاد کنیم:

در = 1,5ایکس

بیایید نقاط حاصل را در صفحه مختصات رسم کنیم:

می توان دید که نقاطی که ما علامت گذاری کردیم در واقع روی یک خط مستقیم قرار دارند که از آن می گذرد اصل و نسب. حالا بیایید این نقاط را با یک خط مستقیم به هم وصل کنیم.

حالا بیایید همین کار را با تابع انجام دهیم در = –0,5ایکس.

بیایید تمام نقاط به دست آمده را با یک خط به هم وصل کنیم:

برای مطالعه جزئیات بیشتر مطالب مربوط به نمودار تناسب مستقیم، با مطالب قطعه درس ویدیویی کار کنید."تناسب مستقیم و نمودار آن."

اکنون با مواد منبع آموزشی الکترونیکی کار کنید «

>>ریاضیات: تناسب مستقیم و نمودار آن

تناسب مستقیم و نمودار آن

در میان توابع خطی y = kx + m، موردی که m = 0 به ویژه متمایز می شود. در این حالت به شکل y = kx است و تناسب مستقیم نامیده می شود. این نام با این واقعیت توضیح داده می شود که دو کمیت y و x اگر نسبت آنها برابر با یک نسبت خاص باشد مستقیماً متناسب نامیده می شوند.
عددی غیر از صفر در اینجا به این عدد k ضریب تناسب می گویند.

بسیاری از موقعیت‌های زندگی واقعی با استفاده از تناسب مستقیم مدل‌سازی می‌شوند.

به عنوان مثال، مسیر s و زمان t با سرعت ثابت 20 کیلومتر در ساعت با وابستگی s = 20t مرتبط هستند. این تناسب مستقیم است، با k = 20.

مثالی دیگر:

هزینه y و تعداد x نان با قیمت 5 روبل. برای نان با وابستگی y = 5x به هم متصل می شوند. این تناسب مستقیم است، که در آن k = 5 است.

اثباتدر دو مرحله اجرا خواهیم کرد.
1. y = kx یک مورد خاص از یک تابع خطی است، و نمودار یک تابع خطی یک خط مستقیم است. بیایید آن را با I نشان دهیم.
2. جفت x = 0، y = 0 معادله y - kx را برآورده می کند، و بنابراین نقطه (0؛ 0) متعلق به نمودار معادله y = kx است، یعنی خط مستقیم I.

در نتیجه خط مستقیم I از مبدا می گذرد. قضیه ثابت شده است.

شما باید بتوانید نه تنها از مدل تحلیلی y = kx به مدل هندسی (نمودار تناسب مستقیم)، بلکه از مدل هندسی نیز حرکت کنید. مدل هابه تحلیل برای مثال، یک خط مستقیم را در صفحه مختصات xOy که در شکل 50 نشان داده شده است، در نظر بگیرید. این نموداری با نسبت مستقیم است؛ فقط باید مقدار ضریب k را پیدا کنید. از آنجایی که y، پس کافی است هر نقطه از خط را برداریم و نسبت مختصات این نقطه را به آبسیس آن بیابیم. خط مستقیم از نقطه P(3; 6) می گذرد و برای این نقطه داریم: این به معنای k = 2 است و بنابراین خط مستقیم داده شده به عنوان نموداری با تناسب مستقیم y = 2x عمل می کند.

در نتیجه، ضریب k در نماد تابع خطی y = kx + m را ضریب شیب نیز می‌گویند. اگر k>0 باشد، آنگاه خط مستقیم y = kx + m یک زاویه تند با جهت مثبت محور x تشکیل می دهد (شکل 49، a)، و اگر k< О, - тупой угол (рис. 49, б).

برنامه ریزی تقویمی- موضوعی در ریاضیات، ویدئودر ریاضیات آنلاین، ریاضیات در مدرسه دانلود

A. V. Pogorelov، هندسه برای کلاس های 7-11، کتاب درسی برای موسسات آموزشی

تریخلب دانیل، دانش آموز کلاس هفتم

آشنایی با تناسب مستقیم و ضریب تناسب مستقیم (معرفی مفهوم ضریب زاویه ای)؛

ساختن نمودار تناسب مستقیم؛

در نظر گرفتن موقعیت نسبی نمودارهای تناسب مستقیم و توابع خطی با ضرایب زاویه ای یکسان.

دانلود:

پیش نمایش:

برای استفاده از پیش نمایش ارائه، یک حساب Google ایجاد کنید و وارد آن شوید: https://accounts.google.com

شرح اسلاید:

تناسب مستقیم و نمودار آن

آرگومان و مقدار یک تابع چیست؟ کدام متغیر را مستقل یا وابسته می نامند؟ تابع چیست؟ بررسی دامنه یک تابع چیست؟

روش های تعیین یک تابع تحلیلی (با استفاده از فرمول) گرافیکی (با استفاده از نمودار) جدولی (با استفاده از جدول)

نمودار یک تابع مجموعه ای از تمام نقاط صفحه مختصات است که ابسیساهای آن برابر با مقادیر آرگومان است و مختصات مقادیر متناظر تابع هستند. برنامه عملکرد

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

کار را کامل کنید نموداری از تابع y = 2 x +1 بسازید که 0 ≤ x ≤ 4. یک میز درست کنید. با استفاده از نمودار، مقدار تابع را در x=2.5 بیابید. مقدار تابع در کدام مقدار آرگومان برابر با 8 است؟

تعریف تناسب مستقیم تابعی است که می توان آن را با فرمولی به شکل y = k x مشخص کرد، جایی که x یک متغیر مستقل است، k یک عدد غیر صفر است. (k-ضریب تناسب مستقیم) تناسب مستقیم

8 نمودار تناسب مستقیم - خط مستقیمی که از مبدا مختصات می گذرد (نقطه O(0,0)) برای ساختن نمودار تابع y=kx دو نقطه کافی است که یکی از آنها O (0,0) است. برای k > 0، نمودار در ربع مختصات I و III قرار دارد. در k

نمودارهای توابع تناسب مستقیم y x k> 0 k> 0 k

وظیفه تعیین کنید کدام یک از نمودارها تابع تناسب مستقیم را نشان می دهد.

وظیفه تعیین کنید که کدام نمودار تابع در شکل نشان داده شده است. یک فرمول از سه فرمول ارائه شده را انتخاب کنید.

کار شفاهی. آیا نمودار یک تابع با فرمول y = k x، که در آن k است

تعیین کنید کدام یک از نقاط A(6,-2), B(-2,-10), C(1,-1), E(0,0) متعلق به نمودار تناسب مستقیم با فرمول y = 5x هستند. 1) A( 6;-2) -2 = 5  6 - 2 = 30 - نادرست است. نقطه A به نمودار تابع y=5x تعلق ندارد. 2) B(-2;-10) -10 = 5  (-2) -10 = -10 - درست است. نقطه B متعلق به نمودار تابع y=5x است. 3) C(1;-1) -1 = 5  1 -1 = 5 - نقطه C نادرست به نمودار تابع y=5x تعلق ندارد. 4) E (0;0) 0 = 5  0 0 = 0 - درست است. نقطه E متعلق به نمودار تابع y=5x است

TEST 1 گزینه 2 گزینه شماره 1. کدام یک از توابع داده شده با فرمول نسبت مستقیم دارند؟ A. y = 5x B. y = x 2 /8 C. y = 7x(x-1) D. y = x+1 A. y = 3x 2 +5 B. y = 8/x C. y = 7 (x + 9) D. y = 10x

شماره 2. اعداد خطوط y = kx را بنویسید که k > 0 1 گزینه k

شماره 3. تعیین کنید کدام یک از نقاط متعلق به نمودار تناسب مستقیم است که با فرمول Y = -1 /3 X A (6 -2)، B (-2 -10) 1 گزینه C (1، -1)، E (0.0) ) گزینه 2

y =5x y =10x III A VI و IV E 1 2 3 1 2 3 No. پاسخ صحیح پاسخ صحیح نه.

کار را کامل کنید: به صورت شماتیک نشان دهید که نمودار تابع داده شده با فرمول چگونه قرار دارد: y =1.7 x y =-3،1 x y=0.9 x y=-2.3 x

وظیفه از نمودارهای زیر، فقط نمودارهای تناسب مستقیم را انتخاب کنید.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

توابع y = 2x + 3 2. y = 6/ x 3. y = 2x 4. y = - 1.5x 5. y = - 5/ x 6. y = 5x 7. y = 2x – 5 8. y = - 0.3x 9. y = 3/ x 10. y = - x /3 + 1 توابع شکل y = k x (نسبت مستقیم) را انتخاب کرده و یادداشت کنید

توابع تناسب مستقیم Y = 2x Y = -1.5x Y = 5x Y = -0.3x y x

y توابع خطی که توابعی با تناسب مستقیم نیستند 1) y = 2x + 3 2) y = 2x – 5 x -6 -4 -2 0 2 4 6 6 3 -3 -6 y = 2x + 3 y = 2x - 5

تکلیف: بند 15 ص 65-67، شماره 307; شماره 308.

بیایید دوباره آن را تکرار کنیم. چه چیزهای جدیدی یاد گرفته اید؟ چه یاد گرفته ای؟ چه چیزی برای شما سخت بود؟

درس را دوست داشتم و موضوع درک می شود: درس را دوست داشتم، اما هنوز همه چیز را نمی فهمم: درس را دوست نداشتم و موضوع مشخص نیست.

بیایید یک نمودار از تابع داده شده توسط فرمول بسازیم y = 0.5x

1. دامنه این تابع مجموعه تمام اعداد است.

2. بیایید مقادیر متناظر متغیرها را پیدا کنیم ایکسو در.

اگر x = -4، y = -2 است.
اگر x = -3، y = -1.5.
اگر x = -2، y = -1.
اگر x = -1، y = -0.5.
اگر x = 0، y = 0.
اگر x = 1، y = 0.5.
اگر x = 2، y = 1.
اگر x = 3، y = 1.5.
اگر x = 4، y = 2.

3. اجازه دهید نقاطی را در صفحه مختصات مشخص کنیم که مختصات آنها را در مرحله 2 تعیین کردیم. توجه داشته باشید که نقاط ساخته شده متعلق به یک خط خاص هستند.

4. بیایید تعیین کنیم که آیا سایر نقاط نمودار تابع به این خط تعلق دارند یا خیر. برای این کار مختصات چند نقطه دیگر را در نمودار پیدا می کنیم.

اگر x = -3.5، y = -1.75.
اگر x = -2.5، y = -1.25 است.
اگر x = -1.5، y = 0.75- است.
اگر x = -0.5، y = -0.25 است.
اگر x = 0.5، y = 0.25.
اگر x = 1.5، y = 0.75.
اگر x = 2.5، y = 1.25.
اگر x = 3.5، y = 1.75.

پس از ساختن نقاط جدید در نمودار تابع، متوجه می شویم که آنها به یک خط تعلق دارند.

اگر گام مقادیر خود را کاهش دهیم (مثلاً مقادیر را در نظر بگیرید ایکساز طریق 0,1; از طریق 0,01 و غیره)، نقاط گراف دیگری را دریافت خواهیم کرد که متعلق به یک خط هستند و به طور فزاینده ای به یکدیگر نزدیک تر از کشیدن می شوند. مجموعه تمام نقاط روی نمودار یک تابع معین، خط مستقیمی است که از مبدا می گذرد.

بنابراین، نمودار تابع با فرمول ارائه شده است y = khx، که در آن k ≠ 0،خط مستقیمی است که از مبدا می گذرد.

اگر دامنه تعریف تابع با فرمول y = khx، که در آن k ≠ 0،از همه اعداد تشکیل نشده است، پس نمودار آن زیرمجموعه ای از نقاط روی یک خط است (به عنوان مثال، یک پرتو، یک قطعه، یک نقطه).

برای ساخت یک خط مستقیم کافی است موقعیت دو نقطه آن را بدانیم. بنابراین، نمودار تناسب مستقیم تعریف شده بر روی مجموعه همه اعداد را می توان با استفاده از هر دو نقطه آن ساخت (به راحتی می توان مبدا مختصات را به عنوان یکی از آنها در نظر گرفت).

اجازه دهید، برای مثال، شما می خواهید تابعی را که با فرمول ارائه می شود رسم کنید y = -1.5x. بیایید مقداری را انتخاب کنیم ایکس، نا برابر 0 و مقدار مربوطه را محاسبه کنید در.

اگر x = 2، y = -3.

اجازه دهید یک نقطه در صفحه مختصات را با مختصات مشخص کنیم (2; -3) . بیایید یک خط مستقیم از طریق این نقطه و مبدا رسم کنیم. این خط مستقیم نمودار مورد نظر است.

با توجه به این مثال می توان ثابت کرد که هر خط مستقیمی که از مبدأ مختصات بگذرد و با محورها منطبق نباشد، نمودار تناسب مستقیم است.

اثبات.

بگذارید یک خط مستقیم مشخص داده شود که از مبدأ مختصات می گذرد و با محورها منطبق نیست. بیایید یک نقطه از آن را با آبسیسا 1 بگیریم. ترتیب این نقطه را با k نشان می دهیم. بدیهی است، k ≠ 0. اجازه دهید ثابت کنیم که این خط نموداری با تناسب مستقیم با ضریب k است.

در واقع، از فرمول y = kh چنین می شود که اگر x = 0، y = 0، اگر x = 1، پس y = k، یعنی. نمودار تابعی که با فرمول y = khx داده می شود، که در آن k ≠ 0، خط مستقیمی است که از نقاط (0; 0) و (1; k) می گذرد.

زیرا فقط یک خط مستقیم را می توان از طریق دو نقطه رسم کرد، سپس این خط مستقیم با نمودار تابعی که با فرمول ارائه شده منطبق است. y = khx، که در آن k ≠ 0، چیزی بود که باید ثابت می شد.

وب سایت، هنگام کپی کردن مطالب به طور کامل یا جزئی، پیوند به منبع اصلی مورد نیاز است.