دانشگاه دولتی چاپ مسکو. قضیه تغییر انرژی جنبشی یک نقطه مادی قضیه تغییر انرژی جنبشی یک سیستم مکانیکی

این قضیه رابطه کمی بین کار یک نیرو (علت) و انرژی جنبشی یک نقطه مادی (موثر) برقرار می کند.

انرژی جنبشی یک نقطه مادییک کمیت اسکالر برابر با نصف حاصلضرب جرم یک نقطه و مجذور سرعت آن است

. (43)

انرژی جنبشی عملکرد مکانیکی نیرو را مشخص می کند که می تواند به انواع دیگر انرژی، به عنوان مثال، حرارتی تبدیل شود.

کار زوردر یک جابجایی مشخص مشخصه عمل نیرو است که منجر به تغییر در ماژول سرعت می شود.

کار اولیه نیروبه عنوان حاصل ضرب اسکالر بردار نیرو و بردار جابجایی اولیه در نقطه اعمال آن تعریف می شود.

, (44)

جایی که
- حرکت ابتدایی

ماژول کار ابتدایی با فرمول تعیین می شود

جایی که  - زاویه بین بردار نیرو و بردار جابجایی اولیه؛ - طرح بردار نیرو بر روی مماس.

کل کار روی مقداری جابجایی محدود توسط انتگرال تعیین می شود

. (46)

از (46) نتیجه می شود که کل کار را می توان در دو حالت محاسبه کرد، زمانی که نیرو ثابت است یا به جابجایی بستگی دارد.

در اف=در نهایت به دست می آوریم
.

هنگام حل مسائل، اغلب استفاده از روش تحلیلی محاسبه نیرو راحت است

جایی که اف ایکس , اف y , اف z- پیش بینی نیرو بر روی محورهای مختصات.

اجازه دهید قضیه زیر را اثبات کنیم.

قضیه: تغییر در انرژی جنبشی یک نقطه مادی در مقداری از جابجایی آن برابر است با نیرویی که روی نقطه در همان جابجایی وارد می شود.

نقطه مادی جرم M را بگذارید مترتحت تأثیر نیرو حرکت می کند افاز موقعیت M 0 تا موقعیت M 1.

OUD:
. (47)

بیایید جایگزین را معرفی کنیم
و (47) را روی مماس قرار دهید

. (48)

متغیرها را در (48) جدا کرده و ادغام می کنیم

در نتیجه بدست می آوریم

. (49)

معادله (49) قضیه فرموله شده در بالا را اثبات می کند.

این قضیه زمانی مناسب است که پارامترهای داده شده و جستجو شده شامل جرم یک نقطه، سرعت اولیه و نهایی آن، نیروها و جابجایی باشد.

محاسبه کار نیروهای مشخصه.

1. کار جاذبهبه عنوان حاصل ضرب مدول نیرو و جابجایی عمودی نقطه اعمال آن محاسبه می شود

. (50)

هنگام حرکت به سمت بالا، کار مثبت است و هنگام حرکت به سمت پایین، کار منفی است.

2. کار نیروی کشسان فنر اف=-cxمساوی با

, (51)

جایی که ایکس 0 - ازدیاد طول اولیه (فشرده شدن) فنر.

ایکس 1- ازدیاد طول (فشردگی) نهایی فنر.

کار گرانش و نیروی کشسان به مسیر حرکت نقاط کاربرد آنها بستگی ندارد. چنین نیروهایی که کار آنها به مسیر بستگی ندارد، نامیده می شوند نیروهای بالقوه.

3. کار نیروی اصطکاک.

از آنجایی که نیروی اصطکاک همیشه در جهت مخالف جهت حرکت است، کار آن برابر است با

کار انجام شده توسط نیروی اصطکاک همیشه منفی است. نیروهایی که کارشان همیشه منفی است نامیده می شوند اتلاف کننده.

قضیه ثابت شده در § 89 برای هر نقطه از سیستم معتبر است. بنابراین، اگر هر نقطه از سیستم را با جرم و سرعت در نظر بگیریم، برای این نقطه خواهد بود

که در آن آثار ابتدایی نیروهای خارجی و درونی بر روی یک نقطه عمل می کنند. با جمع آوری چنین معادلاتی برای هر یک از نقاط سیستم و جمع آنها ترم به ترم، متوجه می شویم که

برابری (49) قضیه تغییر انرژی جنبشی سیستم را به صورت دیفرانسیل بیان می کند. با ادغام هر دو طرف این برابری در محدوده های مربوط به حرکت سیستم از یک موقعیت اولیه، که در آن انرژی جنبشی برابر با موقعیتی است که مقدار انرژی جنبشی برابر می شود، به دست می آوریم.

این معادله قضیه تغییر انرژی جنبشی را به شکل دیگری (انتگرال) بیان می کند: تغییر در انرژی جنبشی یک سیستم در طی برخی حرکت ها برابر است با مجموع کار انجام شده بر روی این حرکت همه نیروهای خارجی و داخلی اعمال شده بر روی آن. سیستم.

برخلاف قضایای قبلی، نیروهای داخلی در معادلات (49) یا (50) مستثنی نیستند. در واقع، اگر نیروهای متقابل بین نقاط سیستم باشند (شکل 309)، پس

اما در این حالت نقطه می تواند در جهت حرکت کند و نقطه می تواند در جهت حرکت کند پس کار هر یک از نیروها مثبت می شود و مجموع کار صفر نمی شود. به عنوان مثال، در حین شلیک (به مسئله 127 در بند 112 مراجعه کنید)، نیروهای فشار گازهای پودر، که برای سیستم قطعات برگشت کننده پرتابه داخلی هستند، کار می کنند و سرعت را به بدنه های سیستم منتقل می کنند.

بیایید دو مورد خاص مهم را در نظر بگیریم.

1. سیستم تغییرناپذیر. ما یک سیستم مکانیکی را غیرقابل تغییر می نامیم که در آن فاصله بین هر دو نقطه متقابل در طول حرکت ثابت می ماند.

بیایید دو نقطه از یک سیستم غیرقابل تغییر را در نظر بگیریم که بر روی یکدیگر با نیرو عمل می کنند (شکل 309 را ببینید). سپس، از آنجایی که هنگام حرکت قطعه باید وجود داشته باشد (نگاه کنید به § 55)، سپس و از آنجا - به ترتیب، سرعت ها و جابجایی های ابتدایی نقاط وجود داشته باشد. در نتیجه برای مجموع کارهای ابتدایی این نیروها به دست می آوریم

همین امر برای سایر نقاط تعاملی سیستم نیز اتفاق خواهد افتاد. در نتیجه به این نتیجه می رسیم که در مورد یک سیستم غیرقابل تغییر، مجموع کار تمام نیروهای داخلی برابر با صفر است و معادلات (49) یا (50) شکل می گیرند.

2. سیستم با اتصالات ایده آل. اجازه دهید سیستمی را در نظر بگیریم که بر روی آن اتصالاتی اعمال می شود که در طول زمان تغییر نمی کنند. بیایید تمام نیروهای بیرونی و درونی که بر نقاط سیستم وارد می شوند را به اتصالات فعال و واکنشی تقسیم کنیم. سپس معادله (49) را می توان به صورت نمایش داد

که در آن کار ابتدایی نیروهای فعال بیرونی و درونی است که بر روی نقطه ای از سیستم عمل می کنند و کار ابتدایی واکنش هایی است که بر همان نقطه اتصالات خارجی و داخلی تحمیل می شود.

همانطور که می بینیم، تغییر در انرژی جنبشی سیستم به کار و نیروهای فعال و واکنش پیوندها بستگی دارد. با این حال، می توان مفهوم چنین سیستم های مکانیکی "ایده آل" را معرفی کرد که در آن وجود اتصالات بر تغییر انرژی جنبشی سیستم در طول حرکت آن تأثیر نمی گذارد. برای چنین اتصالاتی، بدیهی است که شرط باید برآورده شود

اگر برای اتصالاتی که با گذشت زمان تغییر نمی کنند، مجموع کار همه واکنش ها در طول یک جابجایی ابتدایی سیستم برابر با صفر باشد، چنین اتصالاتی ایده آل هستند. اجازه دهید تعدادی از انواع اتصالات ایده آل را مشخص کنیم.

در § 89 مشخص شد که اگر اتصال یک سطح ثابت (یا منحنی) باشد، اصطکاک که در مورد آن می توان نادیده گرفت، آنگاه وقتی اجسام در امتداد چنین سطحی (منحنی) می لغزند، کار واکنش N برابر با صفر است. سپس در § 122 نشان داده شده است که اگر از تغییر شکل ها غفلت کنیم، آنگاه وقتی جسمی بدون لغزش روی یک سطح ناهموار می غلتد، کار واکنش عادی N و نیروی اصطکاک (یعنی جزء مماسی واکنش) برابر با صفر است. . علاوه بر این، کار واکنش R لولا (شکل 10 و 11 را ببینید)، اگر اصطکاک را نادیده بگیریم، نیز برابر با صفر خواهد بود، زیرا نقطه اعمال نیروی R برای هر حرکت سیستم ثابت می ماند. در نهایت، اگر در شکل 309 نقاط مادی را با یک میله صلب (غیر قابل امتداد) به هم متصل کنید، سپس نیروها واکنش های میله خواهد بود. کار هر یک از این واکنش ها هنگام حرکت سیستم برابر با صفر نیست، اما مجموع این کارها، همانطور که ثابت شد، صفر را به دست می دهد. بنابراین، با در نظر گرفتن رزروهای انجام شده، می توان تمام اتصالات فوق را ایده آل در نظر گرفت.

برای یک سیستم مکانیکی که تنها اتصالات ایده آلی که در طول زمان تغییر نمی کنند بر آن تحمیل می شود، وجود خواهد داشت

بنابراین، تغییر در انرژی جنبشی یک سیستم با اتصالات ایده آل که در طول زمان در طول هیچ حرکتی از آن تغییر نمی کند، برابر است با مجموع کار روی این حرکت نیروهای فعال خارجی و داخلی اعمال شده به سیستم.

تمام قضایای قبلی حذف نیروهای داخلی از معادلات حرکت را ممکن می‌سازد، اما تمام نیروهای خارجی، از جمله واکنش‌های قبلاً ناشناخته اتصالات خارجی، در معادلات حفظ می‌شوند. ارزش عملی قضیه در مورد تغییر انرژی جنبشی این است که، با عدم تغییر اتصالات ایده آل در طول زمان، به فرد اجازه می دهد تا تمام واکنش های ناشناخته قبلی اتصالات را از معادلات حرکت حذف کند.

سیستم مکانیکی

انرژی جنبشی یک سیستم مکانیکیمجموع حسابی انرژی جنبشی تمام نقاط مادی آن است

محاسبه انرژی جنبشی یک جامد

1. حرکت رو به جلو

همانطور که مشخص است، در طول حرکت انتقالی، سرعت تمام نقاط بدن در یک لحظه از زمان برابر است، سپس (83) را می توان به شکل نشان داد.

. (84)

وقتی جسمی به جلو حرکت می کند، انرژی جنبشی آن برابر با نصف حاصلضرب جرم و مجذور سرعت مرکز جرم است.

2. حرکت چرخشی جسم صلب

پ در حین حرکت چرخشی، سرعت هر نقطه از بدن

. (85)

بیایید (85) را به (83) جایگزین کنیم:

.

با در نظر گرفتن (59) به دست می آوریم

. (86)

در حین حرکت چرخشی، انرژی جنبشی برابر است با نصف حاصلضرب ممان اینرسی جسم نسبت به محور چرخش و مجذور سرعت زاویه ای.

3 . حرکت صاف

حرکت صفحه را می توان به صورت چرخش نسبت به یک قطب (مثلاً مرکز جرم) و حرکت همراه با قطب نشان داد، سپس

. (87)

انرژی جنبشی یک جسم در حرکت صفحه برابر است با مجموع انرژی های جنبشی حرکت انتقالی همراه با مرکز جرم و حرکت چرخشی نسبت به مرکز جرم.

قضیه: تغییر در انرژی جنبشی یک سیستم مکانیکی در یک جابجایی معین برابر است با مجموع کار انجام شده توسط تمام نیروهای داخلی و خارجی سیستم در یک جابجایی

. (88)

یادداشت:

1. مقدار معرفی شده انرژی جنبشی سیستم، در مقابل تکانه سیستم و گشتاور جنبشی، یک کمیت اسکالر است. که در آن:

س= 0 برای حرکت چرخشی و استراحت.

ک O=0 در حین حرکت انتقالی یا در حالت استراحت.

تی

بنابراین، برخلاف قضیه تغییر تکانه و تکانه زاویه ای، این قضیه برای مطالعه هر نوع حرکتی مناسب است، زیرا تی= 0 فقط برای یک سیستم ثابت.

2. این قضیه برخلاف قضایای مذکور، عمل نیروهای درونی سیستم را در نظر می گیرد.

برخی از موارد محاسبه کار

1. کار لحظه نیروم زنسبت به محور برابر است با حاصل ضرب لحظه و زاویه چرخش  بدن نسبت به محور

. (89)

2. مجموع کار نیروهای داخلییک جسم کاملاً صلب (غیر قابل تغییر شکل) همیشه صفر است.

3. کار گشتاور اصطکاک نورد
.

,

جایی که  - ضریب اصطکاک نورد؛

آر- شعاع سیلندر؛

س- طول قوس برابر با بخش مسیری است که مرکز جرم C در امتداد سطح طی می کند.


- زاویه چرخش محورهای سیلندر در حین حرکت.

ن- واکنش سطح عادی؛

پ- جاذبه زمین؛

اف tr- نیروی اصطکاک لغزشی

معادلات دیفرانسیل حرکت انتقالی، چرخشی و سطحی یک جسم صلب

1. حرکت رو به جلو

در طول حرکت انتقالی، تمام نقاط بدن در امتداد یک مسیر حرکت می کنند و در یک لحظه از زمان شتاب یکسانی دارند. سپس برای توصیف حرکت می توان از قضیه حرکت مرکز جرم (67) استفاده کرد. ما این معادله را روی محورهای مختصات طرح می کنیم

سیستم (90) معادلات دیفرانسیل حرکت انتقالی یک جسم صلب را نشان می دهد.

2. حرکت چرخشی

پ یک جسم صلب تحت تأثیر نیروها حول یک محور می چرخد. مشخصه دینامیکی حرکت دورانی یک جسم صلب، گشتاور جنبشی است ک zو مشخصه عمل دورانی یک نیرو، گشتاور نیرو نسبت به محور است. بنابراین، برای توصیف حرکت چرخشی یک جسم صلب نسبت به یک محور ثابت، از قضیه تغییر تکانه جنبشی استفاده می کنیم (81).

. (91)

در حین حرکت چرخشی
، سپس

,

با توجه به آن من z=const، در پایان ما دریافت می کنیم

. (92)

معادله (92) یک معادله دیفرانسیل برای حرکت چرخشی یک جسم صلب حول یک محور ثابت است.

زاویه پیدا شد  موقعیت جسمی را که در هر زمان حرکت چرخشی انجام می دهد، تعیین می کند.

3. حرکت صاف

موقعیت جسمی که حرکت صفحه را در هر زمان انجام می دهد با موقعیت قطب و زاویه چرخش جسم نسبت به قطب تعیین می شود. اگر مرکز جرم جسم را به عنوان قطب در نظر بگیریم، می توان معادله حرکت آن را با استفاده از قضیه حرکت مرکز جرم (67) پیدا کرد و حرکت چرخشی نسبت به مرکز را با معادله (92) که برای حرکت سیستم نسبت به محوری که از مرکز جرم می گذرد نیز معتبر است. سپس معادلات دیفرانسیل حرکت صفحه یک جسم صلب شکل می گیرند

2.4.1. انرژی جنبشی یک سیستم مکانیکیانرژی جنبشی یک نقطه جرم مادی که با سرعت حرکت می کند کمیت نامیده می شود

انرژی جنبشی یک سیستم مکانیکی مجموع انرژی جنبشی نقاط مادی موجود در این سیستم است:

در مواردی که جرم سیستم به طور پیوسته توزیع می شود، جمع در عبارت (7) با ادغام در ناحیه توزیع جایگزین می شود.

رابطه بین مقادیر انرژی جنبشی یک سیستم مکانیکی در دو سیستم مرجع، که یکی از آنها ساکن است و دیگری با سرعت انتقالی حرکت می کند، جایی که نقطه C مرکز جرم سیستم مکانیکی است، با قضیه کونیگ:

. (8)

اینجا - انرژی جنبشی یک سیستم مکانیکی در یک سیستم مختصات متحرک.

استفاده از عبارات (6، 7، 8) به شما امکان می دهد فرمول هایی برای محاسبه انرژی جنبشی یک جسم جامد بنویسید:

وقتی جسمی با جرم با سرعت به جلو حرکت می کند

هنگام چرخش با سرعت زاویه ای حول محور ثابت جسم با ممان اینرسی

در حرکت موازی یک جسم صلب با سرعت زاویه‌ای در مقدار گشتاور مرکزی اینرسی نسبت به محور عمود بر صفحه حرکت و مقدار گشتاور اینرسی نسبت به محور لحظه‌ای چرخش.

. (11)

2.4.2. ویژگی های انرژی. خصوصیات انرژی یک نیرو شامل توان، کار و انرژی پتانسیل آن است.

قدرتنیرویی که نقطه اعمال آن با سرعت حرکت می کند، قدر نامیده می شود

کاراستحکام - قدرت در یک فاصله ابتداییزمان و جابجایی ابتدایی نقطه کاربرد مربوط به این بازه زمانی توسط قانون تعیین می شود

کار کنیداستحکام - قدرت در یک بازه محدودزمان و تغییر مربوطه در شعاع - بردار نقطه اعمال این نیرو از به - قدر نامیده می شود.

. (14)

کار انجام شده توسط لحظه یک جفت نیرو به روشی مشابه محاسبه می شود.

انرژی بالقوه فقط در مواردی تعریف می شود که عبارت (13) یک دیفرانسیل کل باشد:

هنگامی که شرط (15) برآورده می شود، گفته می شود که نیرو بالقوه است. روابط مربوط به پیش بینی نیرو بر روی محور سیستم مختصات انتخاب شده با تابع:

اگر نقطه اعمال نیرو از موقعیتی به موقعیت دیگر حرکت کرده باشد، با ادغام (15) می توانیم به دست آوریم.

. (17)

توجه: انرژی پتانسیل تا یک مدت ثابت تعیین می شود. ویژگی ذکر شده به ما اجازه می دهد فرض کنیم که انرژی پتانسیل در نقطه ای که انتخاب می کنیم برابر با صفر است (مثلاً در مبدا مختصات).

در صورتی که برای مجموعه نیروهای وارد بر یک سیستم مکانیکی، بتوان بیان انرژی پتانسیل را یادداشت کرد، سیستم مکانیکی نامیده می شود. محافظه کار. چنین سیستم های مکانیکی ویژگی های مهمی دارند - کار نیروهای عامل به نوع مسیر و قانون حرکت در امتداد آن بستگی ندارد. کار هنگام حرکت در امتداد یک حلقه بسته صفر است.

شرایطی که تحت آن یک تابع وجود دارد:

2.4.3. قضیه تغییر انرژی جنبشی.نوشتن قضیه تغییر انرژی جنبشی یک سیستم مکانیکی به صورت دیفرانسیل:

مشتق زمانی انرژی جنبشی یک سیستم مکانیکی برابر با توان نیروهای خارجی و داخلی است.

شکل انتگرالی نوشتن قضیه در مورد تغییر انرژی جنبشی

, (20)

جایی که ؛ ; ; .

در مورد خاصی که عبارت انرژی پتانسیل را می توان برای کل نیروهای خارجی و داخلی سیستم نوشت، قانون بقای انرژی مکانیکی کل رعایت می شود.

و خود سیستم محافظه کار است.

مثال 3. برای سیستم مکانیکی نشان داده شده در شکل 2، یک معادله دیفرانسیل برای حرکت بار بدست آورید.

راه حل. اجازه دهید از قضیه تغییر انرژی جنبشی به شکل دیفرانسیل استفاده کنیم (19). بیایید با اعمال واکنش های مناسب در بدنه های سیستم مکانیکی خود را از نظر ذهنی از اتصالات رها کنیم (شکل 2 را ببینید). توجه: نیروهای اعمال شده در مرکز ثابت جرم بلوک کواکسیال نشان داده نمی شوند، زیرا قدرت آنها صفر است.

بیایید بیانی برای انرژی جنبشی یک سیستم مکانیکی ایجاد کنیم.

انرژی جنبشی یک سیستم مکانیکی مجموع انرژی جنبشی تمام نقاط مادی آن است:

بیایید دیفرانسیل را از بیان انرژی جنبشی محاسبه کنیم و چند تبدیل ساده انجام دهیم:

با حذف مقادیر میانی و با استفاده از نمادی که قبلاً برای نشان دادن کار ابتدایی معرفی شده بود، می نویسیم:

بنابراین، دیفرانسیل انرژی جنبشی یک سیستم مکانیکی برابر است با مجموع کارهای اولیه همه نیروهای خارجی و داخلی که بر نقاطی از سیستم وارد می شوند. این محتوای قضیه تغییر انرژی جنبشی است.

توجه داشته باشید که مجموع کارهای انجام شده توسط نیروهای داخلی سیستم در حالت کلی برابر با صفر نیست. فقط در برخی موارد خاص ناپدید می شود: هنگامی که سیستم یک بدنه کاملاً سفت و سخت است. سیستمی از بدنه‌های کاملاً صلب که با کمک عناصر غیرقابل تغییر شکل (لولاهای ایده‌آل، میله‌های کاملاً صلب، رزوه‌های غیر قابل امتداد و غیره) در تعامل هستند. به همین دلیل، قضیه تغییر انرژی جنبشی تنها موردی از قضایای عمومی دینامیک است که تأثیر نیروهای داخلی را در نظر می گیرد.

می‌توان به تغییر انرژی جنبشی نه در یک بازه زمانی بی‌نهایت کوچک، همانطور که در بالا انجام شد، بلکه در یک دوره زمانی محدود علاقه‌مند بود. سپس با استفاده از ادغام می توانیم به دست آوریم:

در اینجا - مقادیر انرژی جنبشی، به ترتیب، در لحظات زمان - مجموع کل کار نیروهای خارجی و داخلی برای دوره زمانی در نظر گرفته شده است.

برابری حاصل، قضیه تغییر انرژی جنبشی را به شکل نهایی (انتگرال) بیان می کند که می توان آن را به صورت زیر فرموله کرد: تغییر انرژی جنبشی در حین انتقال یک سیستم مکانیکی از یک موقعیت به موقعیت دیگر برابر است با مجموع کل کار تمام نیروهای خارجی و داخلی.