In dieser Lektion werfen wir einen detaillierten Blick auf die Funktion y = sin x, ihre grundlegenden Eigenschaften und ihren Graphen. Zu Beginn der Lektion geben wir die Definition der trigonometrischen Funktion y = sin t auf dem Koordinatenkreis und betrachten den Graphen der Funktion auf dem Kreis und der Geraden. Lassen Sie uns die Periodizität dieser Funktion im Diagramm zeigen und die Haupteigenschaften der Funktion betrachten. Am Ende der Lektion werden wir einige einfache Probleme mithilfe des Graphen einer Funktion und ihrer Eigenschaften lösen.
Thema: Trigonometrische Funktionen
Lektion: Funktion y=sinx, ihre grundlegenden Eigenschaften und Graph
Bei der Betrachtung einer Funktion ist es wichtig, jeden Argumentwert einem einzelnen Funktionswert zuzuordnen. Das Gesetz der Korrespondenz und heißt Funktion.
Definieren wir das Korrespondenzgesetz für .
Jede reelle Zahl entspricht einem einzelnen Punkt auf dem Einheitskreis. Ein Punkt hat eine einzelne Ordinate, die als Sinus der Zahl bezeichnet wird (Abb. 1).
Jeder Argumentwert ist einem einzelnen Funktionswert zugeordnet.
Offensichtliche Eigenschaften ergeben sich aus der Definition von Sinus.
Das zeigt die Abbildung 
Weil ist die Ordinate eines Punktes auf dem Einheitskreis.
Betrachten Sie den Graphen der Funktion. Erinnern wir uns an die geometrische Interpretation des Arguments. Das Argument ist der Zentralwinkel, gemessen im Bogenmaß. Entlang der Achse tragen wir reelle Zahlen oder Winkel im Bogenmaß ein, entlang der Achse die entsprechenden Werte der Funktion.
Beispielsweise entspricht ein Winkel auf dem Einheitskreis einem Punkt im Diagramm (Abb. 2).
Wir haben einen Graphen der Funktion in der Fläche erhalten, aber wenn wir die Periode des Sinus kennen, können wir den Graphen der Funktion über den gesamten Definitionsbereich darstellen (Abb. 3).
Die Hauptperiode der Funktion ist Dies bedeutet, dass der Graph auf einem Segment erhalten und dann im gesamten Definitionsbereich fortgesetzt werden kann.
Betrachten Sie die Eigenschaften der Funktion:
1) Definitionsbereich:
2) Wertebereich: 
3) Ungerade Funktion:
4) Kleinster positiver Zeitraum:
5) Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen mit der Abszissenachse: 
6) Koordinaten des Schnittpunkts des Diagramms mit der Ordinatenachse:
7) Intervalle, in denen die Funktion positive Werte annimmt:
8) Intervalle, in denen die Funktion negative Werte annimmt:
9) Zunehmende Intervalle:
10) Abnehmende Intervalle:
11) Mindestpunktzahl: 
12) Mindestfunktionen:
13) Maximale Punktzahl: 
14) Maximale Funktionen:
Wir haben uns die Eigenschaften der Funktion und ihres Graphen angesehen. Die Eigenschaften werden bei der Lösung von Problemen wiederholt verwendet.
Referenzliste
1. Algebra und Beginn der Analysis, Klasse 10 (in zwei Teilen). Lehrbuch für allgemeinbildende Einrichtungen (Profilniveau), hrsg. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.
2. Algebra und Beginn der Analysis, Klasse 10 (in zwei Teilen). Problembuch für Bildungseinrichtungen (Profilebene), hrsg. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra und mathematische Analyse für die 10. Klasse (Lehrbuch für Schüler von Schulen und Klassen mit vertieftem Mathematikstudium - M.: Prosveshchenie, 1996).
4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Eingehendes Studium der Algebra und mathematischen Analyse.-M.: Bildung, 1997.
5. Sammlung von Problemen in der Mathematik für Bewerber an Hochschulen (herausgegeben von M.I. Skanavi - M.: Higher School, 1992).
6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraischer Simulator.-K.: A.S.K., 1997.
7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Probleme zur Algebra und Prinzipien der Analysis (ein Handbuch für Schüler der Klassen 10-11 allgemeinbildender Einrichtungen). - M.: Prosveshchenie, 2003.
8. Karp A.P. Sammlung von Problemen zur Algebra und Prinzipien der Analyse: Lehrbuch. Zulage für die Klassen 10-11. mit Tiefgang studiert Mathematik.-M.: Bildung, 2006.
Hausaufgaben
Algebra und Beginn der Analysis, Klasse 10 (in zwei Teilen). Problembuch für Bildungseinrichtungen (Profilebene), hrsg.
A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Zusätzliche Webressourcen
3. Bildungsportal zur Prüfungsvorbereitung ().
Funktionj = SündeX
Der Graph der Funktion ist eine Sinuskurve.
Der gesamte sich nicht wiederholende Teil einer Sinuswelle wird Sinuswelle genannt.
Eine halbe Sinuswelle wird Halbsinuswelle (oder Bogen) genannt.
Funktionseigenschaftenj =
SündeX:
3) Dies ist eine seltsame Funktion. 4) Dies ist eine stetige Funktion.
6) Auf dem Segment [-π/2; π/2]-Funktion nimmt im Intervall [π/2; 3π/2] – nimmt ab. 7) In Intervallen nimmt die Funktion positive Werte an. 8) Intervalle steigender Funktion: [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn]. 9) Minimale Punkte der Funktion: -π/2 + 2πn. |
Eine Funktion grafisch darstellen j= Sünde X Es ist zweckmäßig, die folgenden Skalen zu verwenden:
Auf einem Blatt Papier mit einem Quadrat nehmen wir die Länge von zwei Quadraten als Segmenteinheit.
Auf Achse X Messen wir die Länge π. Gleichzeitig stellen wir 3,14 der Einfachheit halber in der Form 3 dar, also ohne Bruch. Dann beträgt auf einem Blatt Papier in einer Zelle π 6 Zellen (dreimal 2 Zellen). Und jede Zelle erhält ihren eigenen natürlichen Namen (von der ersten bis zur sechsten): π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Das sind die Bedeutungen X.
Auf der y-Achse markieren wir 1, die zwei Zellen umfasst.
Lassen Sie uns mithilfe unserer Werte eine Tabelle mit Funktionswerten erstellen X:
√3 | √3 |
Als nächstes erstellen wir einen Zeitplan. Das Ergebnis ist eine Halbwelle, deren höchster Punkt (π/2; 1) ist. Dies ist der Graph der Funktion j= Sünde X auf dem Segment. Fügen wir dem konstruierten Graphen eine symmetrische Halbwelle hinzu (symmetrisch relativ zum Ursprung, also auf der Strecke -π). Der Scheitelpunkt dieser Halbwelle liegt unter der x-Achse mit den Koordinaten (-1; -1). Das Ergebnis wird eine Welle sein. Dies ist der Graph der Funktion j= Sünde X auf dem Segment [-π; π].
Sie können die Welle fortsetzen, indem Sie sie auf dem Segment [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π] usw. Auf all diesen Segmenten sieht der Graph der Funktion genauso aus wie auf dem Segment [-π; π]. Sie erhalten eine durchgehende Wellenlinie mit identischen Wellen.
Funktionj = cosX.
Der Graph einer Funktion ist eine Sinuswelle (manchmal auch Kosinuswelle genannt).
Funktionseigenschaftenj = cosX:
1) Der Definitionsbereich einer Funktion ist die Menge der reellen Zahlen. 2) Der Bereich der Funktionswerte ist das Segment [–1; 1] 3) Dies ist eine gerade Funktion. 4) Dies ist eine stetige Funktion. 5) Koordinaten der Schnittpunkte des Diagramms: 6) Auf dem Segment nimmt die Funktion ab, auf dem Segment [π; 2π] – erhöht sich. 7) Auf Intervallen [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn]-Funktion nimmt positive Werte an. 8) Zunehmende Intervalle: [-π + 2πn; 2πn]. 9) Minimale Punkte der Funktion: π + 2πn. 10) Die Funktion ist nach oben und unten eingeschränkt. Der kleinste Wert der Funktion ist –1, 11) Dies ist eine periodische Funktion mit einer Periode von 2π (T = 2π) |
Funktionj = mf(X).
Nehmen wir die vorherige Funktion j=cos X. Wie Sie bereits wissen, ist sein Diagramm eine Sinuswelle. Wenn wir den Kosinus dieser Funktion mit einer bestimmten Zahl m multiplizieren, dehnt sich die Welle von der Achse aus aus X(oder schrumpft, abhängig vom Wert von m).
Diese neue Welle wird der Graph der Funktion y = mf(x) sein, wobei m eine beliebige reelle Zahl ist.
Somit ist die Funktion y = mf(x) die bekannte Funktion y = f(x) multipliziert mit m.
WennM< 1, то синусоида сжимается к оси X durch den KoeffizientenM. Wennm > 1, dann wird die Sinuskurve von der Achse aus gestrecktX durch den KoeffizientenM.
Beim Dehnen oder Komprimieren können Sie zunächst nur eine Halbwelle einer Sinuswelle zeichnen und dann das gesamte Diagramm vervollständigen.
Funktiony= F(kx).
Wenn die Funktion y=mf(X) führt zu einer Streckung der Sinuskurve von der Achse X oder Kompression zur Achse hin X, dann führt die Funktion y = f(kx) zur Streckung von der Achse j oder Kompression zur Achse hin j.
Darüber hinaus ist k eine beliebige reelle Zahl.
Bei 0< k< 1 синусоида растягивается от оси j durch den Koeffizientenk. Wennk > 1, dann wird die Sinuskurve zur Achse hin gestauchtj durch den Koeffizientenk.
Beim Erstellen eines Diagramms dieser Funktion können Sie zunächst eine Halbwelle einer Sinuswelle erstellen und diese dann zum Vervollständigen des gesamten Diagramms verwenden.
Funktionj = tgX.
Funktionsgraph j= tg X ist eine Tangente.
Es reicht aus, einen Teil des Graphen im Intervall von 0 bis π/2 zu erstellen, und dann können Sie ihn im Intervall von 0 bis 3π/2 symmetrisch fortsetzen.
Funktionseigenschaftenj = tgX:
Funktionj = ctgX
Funktionsgraph j=ctg X ist auch ein Tangentoid (manchmal wird es auch Cotangentoid genannt).
Funktionseigenschaftenj = ctgX:
|BD|- Länge eines Kreisbogens mit Mittelpunkt in einem Punkt A.
α
- Winkel ausgedrückt im Bogenmaß.
Sinus ( Sünde α) ist eine trigonometrische Funktion, die vom Winkel α zwischen der Hypotenuse und dem Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks abhängt und dem Verhältnis der Länge des gegenüberliegenden Schenkels |BC| entspricht zur Länge der Hypotenuse |AC|.
Kosinus ( cos α) ist eine trigonometrische Funktion, die vom Winkel α zwischen der Hypotenuse und dem Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks abhängt und dem Verhältnis der Länge des angrenzenden Schenkels |AB| entspricht zur Länge der Hypotenuse |AC|.
;
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.
Funktionen y = Sünde x und y = weil x periodisch mit Punkt 2π.
Die Sinusfunktion ist ungerade. Die Kosinusfunktion ist gerade.
Die Sinus- und Kosinusfunktionen sind in ihrem Definitionsbereich stetig, also für alle x (siehe Beweis der Kontinuität). Ihre Haupteigenschaften sind in der Tabelle dargestellt (n – ganze Zahl).
| y= Sünde x | y= weil x | |
| Umfang und Kontinuität | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Wertebereich | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Zunehmend | ||
| Absteigend | ||
| Maxima, y = 1 | ||
| Minima, y = - 1 | ||
| Nullen, y = 0 | ||
| Schnittpunkte mit der Ordinatenachse, x = 0 | y= 0 | y= 1 |
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; .
Wenn wir haben:
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Bei :
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Diese Tabelle zeigt die Werte von Sinus und Cosinus für bestimmte Werte des Arguments. 
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;
; . Formeln ableiten > > >
Ableitungen n-ter Ordnung:
{ -∞ <
x < +∞ }
Die Umkehrfunktionen von Sinus und Kosinus sind Arkussinus bzw. Arkuskosinus.
Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten, „Lan“, 2009.
, Wettbewerb „Präsentation für den Unterricht“
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Eisen rostet, ohne Verwendung zu finden,
stehendes Wasser verrottet oder gefriert in der Kälte,
und der Geist eines Menschen, der keinen Nutzen für sich findet, verkümmert.
Leonardo da Vinci
Verwendete Technologien: Problembasiertes Lernen, kritisches Denken, kommunikative Kommunikation.
Ziele:
Aufgaben:
1. Nutzen Sie das vorhandene Wissenspotenzial über die Eigenschaften der Funktion y = sin x in konkreten Situationen.
2. Wenden Sie die bewusste Herstellung von Verbindungen zwischen analytischen und geometrischen Modellen der Funktion y = sin x an.
Entwickeln Sie Eigeninitiative, eine gewisse Bereitschaft und Interesse an der Lösungsfindung; die Fähigkeit, Entscheidungen zu treffen, dabei nicht stehen zu bleiben und Ihren Standpunkt zu verteidigen.
Förderung der kognitiven Aktivität, des Verantwortungsbewusstseins, des gegenseitigen Respekts, des gegenseitigen Verständnisses, der gegenseitigen Unterstützung und des Selbstvertrauens bei den Schülern; Kommunikationskultur.
Während des Unterrichts
Bühne 1. Aktualisierung des Grundwissens, Motivation zum Erlernen neuer Materialien
„Betreten der Lektion.“
An der Tafel stehen drei Aussagen:
Die Studierenden diskutieren zu zweit: Sind die Aussagen wahr? (1 Minute). Die Ergebnisse des Erstgesprächs (ja, nein) werden dann in der Tabelle in der Spalte „Vorher“ eingetragen.
Der Lehrer legt die Ziele und Ziele des Unterrichts fest.
2. Wissen aktualisieren (frontal auf einem Modell eines trigonometrischen Kreises).
Die Funktion s = sin t haben wir bereits kennengelernt.
1) Welche Werte kann die Variable t annehmen. Welchen Umfang hat diese Funktion?
2) In welchem Intervall liegen die Werte des Ausdrucks sin t? Finden Sie den größten und kleinsten Wert der Funktion s = sin t.
3) Lösen Sie die Gleichung sin t = 0.
4) Was passiert mit der Ordinate eines Punktes, wenn er sich im ersten Viertel bewegt? (die Ordinate steigt). Was passiert mit der Ordinate eines Punktes, wenn er sich im zweiten Viertel bewegt? (die Ordinate nimmt allmählich ab). Wie hängt das mit der Monotonie der Funktion zusammen? (Die Funktion s = sin t nimmt auf der Strecke zu und auf der Strecke ab).
5) Schreiben wir die Funktion s = sin t in der uns bekannten Form y = sin x (wir werden sie im üblichen xOy-Koordinatensystem konstruieren) und erstellen wir eine Tabelle der Werte dieser Funktion.
| X | 0 | ||||||
| bei | 0 | 1 | 0 |
Stufe 2. Wahrnehmung, Verständnis, primäre Festigung, unfreiwilliges Auswendiglernen
Stufe 4. Primäre Systematisierung von Wissen und Handlungsmethoden, deren Übertragung und Anwendung in neuen Situationen
6. Nr. 10.18 (b,c)
Stufe 5. Endkontrolle, Korrektur, Beurteilung und Selbsteinschätzung
7. Wir kehren zu den Aussagen (Beginn der Lektion) zurück, besprechen die Verwendung der Eigenschaften der trigonometrischen Funktion y = sin x und füllen die Spalte „Nachher“ in der Tabelle aus.
8. D/z: Abschnitt 10, Nr. 10.7(a), 10.8(b), 10.11(b), 10.16(a)
In dieser Lektion werfen wir einen detaillierten Blick auf die Funktion y = sin x, ihre grundlegenden Eigenschaften und ihren Graphen. Zu Beginn der Lektion geben wir die Definition der trigonometrischen Funktion y = sin t auf dem Koordinatenkreis und betrachten den Graphen der Funktion auf dem Kreis und der Geraden. Lassen Sie uns die Periodizität dieser Funktion im Diagramm zeigen und die Haupteigenschaften der Funktion betrachten. Am Ende der Lektion werden wir einige einfache Probleme mithilfe des Graphen einer Funktion und ihrer Eigenschaften lösen.
Thema: Trigonometrische Funktionen
Lektion: Funktion y=sinx, ihre grundlegenden Eigenschaften und Graph
Bei der Betrachtung einer Funktion ist es wichtig, jeden Argumentwert einem einzelnen Funktionswert zuzuordnen. Das Gesetz der Korrespondenz und heißt Funktion.
Definieren wir das Korrespondenzgesetz für .
Jede reelle Zahl entspricht einem einzelnen Punkt auf dem Einheitskreis. Ein Punkt hat eine einzelne Ordinate, die als Sinus der Zahl bezeichnet wird (Abb. 1).
Jeder Argumentwert ist einem einzelnen Funktionswert zugeordnet.
Offensichtliche Eigenschaften ergeben sich aus der Definition von Sinus.
Das zeigt die Abbildung Weil ist die Ordinate eines Punktes auf dem Einheitskreis.
Betrachten Sie den Graphen der Funktion. Erinnern wir uns an die geometrische Interpretation des Arguments. Das Argument ist der Zentralwinkel, gemessen im Bogenmaß. Entlang der Achse tragen wir reelle Zahlen oder Winkel im Bogenmaß ein, entlang der Achse die entsprechenden Werte der Funktion.
Beispielsweise entspricht ein Winkel auf dem Einheitskreis einem Punkt im Diagramm (Abb. 2).
Wir haben einen Graphen der Funktion in der Fläche erhalten, aber wenn wir die Periode des Sinus kennen, können wir den Graphen der Funktion über den gesamten Definitionsbereich darstellen (Abb. 3).
Die Hauptperiode der Funktion ist Dies bedeutet, dass der Graph auf einem Segment erhalten und dann im gesamten Definitionsbereich fortgesetzt werden kann.
Betrachten Sie die Eigenschaften der Funktion:
1) Definitionsbereich:
2) Wertebereich:
3) Ungerade Funktion:
4) Kleinster positiver Zeitraum:
5) Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen mit der Abszissenachse:
6) Koordinaten des Schnittpunkts des Diagramms mit der Ordinatenachse:
7) Intervalle, in denen die Funktion positive Werte annimmt:
8) Intervalle, in denen die Funktion negative Werte annimmt:
9) Zunehmende Intervalle:
10) Abnehmende Intervalle:
11) Mindestpunktzahl:
12) Mindestfunktionen:
13) Maximale Punktzahl:
14) Maximale Funktionen:
Wir haben uns die Eigenschaften der Funktion und ihres Graphen angesehen. Die Eigenschaften werden bei der Lösung von Problemen wiederholt verwendet.
Referenzliste
1. Algebra und Beginn der Analysis, Klasse 10 (in zwei Teilen). Lehrbuch für allgemeinbildende Einrichtungen (Profilniveau), hrsg. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.
2. Algebra und Beginn der Analysis, Klasse 10 (in zwei Teilen). Problembuch für Bildungseinrichtungen (Profilebene), hrsg. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra und mathematische Analyse für die 10. Klasse (Lehrbuch für Schüler von Schulen und Klassen mit vertieftem Mathematikstudium - M.: Prosveshchenie, 1996).
4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Eingehendes Studium der Algebra und mathematischen Analyse.-M.: Bildung, 1997.
5. Sammlung von Problemen in der Mathematik für Bewerber an Hochschulen (herausgegeben von M.I. Skanavi - M.: Higher School, 1992).
6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraischer Simulator.-K.: A.S.K., 1997.
7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Probleme zur Algebra und Prinzipien der Analysis (ein Handbuch für Schüler der Klassen 10-11 allgemeinbildender Einrichtungen). - M.: Prosveshchenie, 2003.
8. Karp A.P. Sammlung von Problemen zur Algebra und Prinzipien der Analyse: Lehrbuch. Zulage für die Klassen 10-11. mit Tiefgang studiert Mathematik.-M.: Bildung, 2006.
Hausaufgaben
Algebra und Beginn der Analysis, Klasse 10 (in zwei Teilen). Problembuch für Bildungseinrichtungen (Profilebene), hrsg.
A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
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