Ableitung einer negativen Zahl. Typische Fehler bei der Berechnung der Ableitung. Ableitung von Summe und Differenz

Die Formel für die Ableitung der Summe und Differenz von Funktionen wird angegeben. Es wird ein Beweis gegeben und Beispiele für die Anwendung dieser Formel im Detail analysiert.

Formel für die Ableitung der Summe (Differenz) von Funktionen

Seien und Funktionen der unabhängigen Variablen x. Lassen Sie sie in einem bestimmten Wertebereich der Variablen x differenzierbar sein. Dann, in diesem Bereich, die Ableitung der Summe (Differenz) dieser Funktionen ist gleich der Summe (Differenz) der Ableitungen dieser Funktionen:
(1) .

Nachweisen

Da die Funktionen und bei differenzierbar sind, gibt es folgende Grenzwerte, die Ableitungen dieser Funktionen sind:
;
.

Betrachten Sie die Funktion y der Variablen x, die die Summe der Funktionen ist und:
.
Wenden wir die Definition der Ableitung an.


.

Damit haben wir bewiesen, dass die Ableitung der Summe der Funktionen gleich der Summe der Ableitungen ist:
.

Auf die gleiche Weise können Sie zeigen, dass die Ableitung der Funktionsdifferenz gleich der Differenz der Ableitungen ist:
.
Dies lässt sich auch auf andere Weise zeigen, indem man die gerade bewiesene Regel zur Differenzierung der Summe und verwendet:
.

Diese beiden Regeln können als eine Gleichung geschrieben werden:
(1) .

Folge

Oben haben wir uns die Regel zum Ermitteln der Ableitung der Summe zweier Funktionen angesehen. Diese Regel lässt sich auf die Summe und Differenz beliebig vieler differenzierbarer Funktionen verallgemeinern.

Die Ableitung der Summe (Differenz) einer endlichen Anzahl differenzierbarer Funktionen ist gleich der Summe (Differenz) ihrer Ableitungen. Unter Berücksichtigung der Regel, eine Konstante außerhalb des Vorzeichens der Ableitung zu platzieren, kann diese Regel wie folgt geschrieben werden:
.
Oder in erweiterter Form:
(2) .
Hier - Konstanten;
- differenzierbare Funktionen der Variablen x.

Beweise der Untersuchung

Wenn n = 2 , wenden wir Regel (1) und die Regel an, die Konstante außerhalb des Vorzeichens der Ableitung zu platzieren. Wir haben:
.
Wenn n = 3 Wenden Sie Formel (1) für Funktionen an und:
.

Für eine beliebige Zahl n wenden wir die Induktionsmethode an. Gleichung (2) sei erfüllt für . Dann gilt für uns:

.
Das heißt, aus der Annahme, dass Gleichung (2) gilt, folgt, dass Gleichung (2) gilt. Und da Gleichung (2) für gilt, gilt sie für alle.
Die Untersuchung ist bewiesen.

Beispiele

Beispiel 1

Finden Sie die Ableitung
.

Öffnen der Klammern. Dazu wenden wir die Formel an
.
Wir nutzen auch die Eigenschaften von Potenzfunktionen.
;

;
.

Wir wenden Formel (2) für die Ableitung der Summe und Differenz von Funktionen an.
.

Aus der Ableitungstabelle finden wir:
.
Dann
;
;
.

Endlich haben wir:
.

Beispiel 2

Finden Sie die Ableitung einer Funktion nach der Variablen x
.

Reduzieren wir die Wurzeln auf Potenzfunktionen.
.
Wir wenden die Regel der Differenzierung von Summe und Differenz an.
.
Wir wenden die Formeln aus der Ableitungstabelle an.
;
;
;
;
;
.
Ersetzen wir:
.
Wir bringen Brüche auf einen gemeinsamen Nenner.
.
Dabei haben wir berücksichtigt, dass die gegebene Funktion unter definiert ist.
.

In dieser Lektion lernen wir, Formeln und Differenzierungsregeln anzuwenden.

Beispiele. Finden Sie Ableitungen von Funktionen.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Anwenden der Regel ICH, Formeln 4, 2 und 1. Wir bekommen:

y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x 6 -2x+5. Wir lösen auf ähnliche Weise und verwenden dieselben Formeln und Formeln 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Anwenden der Regel ICH, Formeln 3, 5 Und 6 Und 1.

Anwenden der Regel IV, Formeln 5 Und 1 .

Im fünften Beispiel gemäß der Regel ICH Die Ableitung der Summe ist gleich der Summe der Ableitungen, und wir haben gerade die Ableitung des ersten Termes gefunden (Beispiel 4 ), daher werden wir Derivate finden 2 Und 3 Bedingungen und für den 1 Summand können wir das Ergebnis sofort schreiben.

Lassen Sie uns differenzieren 2 Und 3 Begriffe gemäß der Formel 4 . Dazu transformieren wir die Wurzeln der dritten und vierten Potenz im Nenner in Potenzen mit negativem Exponenten und dann entsprechend 4 Formel finden wir Ableitungen von Potenzen.

Schauen Sie sich dieses Beispiel und das Ergebnis an. Haben Sie das Muster erkannt? Bußgeld. Das bedeutet, dass wir eine neue Formel haben und diese zu unserer Ableitungstabelle hinzufügen können.

Lösen wir das sechste Beispiel und leiten wir eine weitere Formel ab.

Nutzen wir die Regel IV und Formel 4 . Lassen Sie uns die resultierenden Brüche reduzieren.

Schauen wir uns diese Funktion und ihre Ableitung an. Sie verstehen natürlich das Muster und sind bereit, die Formel zu benennen:

Neue Formeln lernen!

Beispiele.

1. Finden Sie das Inkrement des Arguments und das Inkrement der Funktion y= x 2, wenn der Anfangswert des Arguments gleich war 4 , und neu - 4,01 .

Lösung.

Neuer Argumentwert x=x 0 +Δx. Ersetzen wir die Daten: 4,01=4+Δx, daher die Erhöhung des Arguments Δx=4,01-4=0,01. Das Inkrement einer Funktion ist per Definition gleich der Differenz zwischen dem neuen und dem vorherigen Wert der Funktion, d.h. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Da wir eine Funktion haben y=x2, Das Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Antwort: Argumentinkrement Δx=0,01; Funktionsinkrement Δу=0,0801.

Das Funktionsinkrement hätte anders gefunden werden können: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4,01) -y(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

2. Finden Sie den Neigungswinkel der Tangente an den Funktionsgraphen y=f(x) am Punkt x 0, Wenn f "(x 0) = 1.

Lösung.

Der Wert der Ableitung am Tangentenpunkt x 0 und ist der Wert des Tangens des Tangentenwinkels (die geometrische Bedeutung der Ableitung). Wir haben: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, als tg45°=1.

Antwort: Die Tangente an den Graphen dieser Funktion bildet einen Winkel mit der positiven Richtung der Ox-Achse gleich 45°.

3. Leiten Sie die Formel für die Ableitung der Funktion her y=x n.

Differenzierung ist die Aktion, die Ableitung einer Funktion zu finden.

Verwenden Sie beim Finden von Ableitungen Formeln, die auf der Grundlage der Definition einer Ableitung abgeleitet wurden, genauso wie wir die Formel für den Ableitungsgrad abgeleitet haben: (x n)" = nx n-1.

Das sind die Formeln.

Tabelle der Derivate Das Auswendiglernen wird durch das Aussprechen mündlicher Formulierungen erleichtert:

1. Die Ableitung einer konstanten Größe ist gleich Null.

2. Die x-Primzahl ist gleich eins.

3. Der konstante Faktor kann aus dem Vorzeichen der Ableitung entnommen werden.

4. Die Ableitung eines Grades ist gleich dem Produkt des Exponenten dieses Grades mit einem Grad mit derselben Basis, aber der Exponent ist um eins kleiner.

5. Die Ableitung einer Wurzel ist gleich eins dividiert durch zwei gleiche Wurzeln.

6. Die Ableitung von eins dividiert durch x ist gleich minus eins dividiert durch x im Quadrat.

7. Die Ableitung des Sinus ist gleich dem Kosinus.

8. Die Ableitung des Kosinus ist gleich minus Sinus.

9. Die Ableitung des Tangens ist gleich eins dividiert durch das Quadrat des Kosinus.

10. Die Ableitung des Kotangens ist gleich minus eins geteilt durch das Quadrat des Sinus.

Wir lehren Differenzierungsregeln.

1. Die Ableitung einer algebraischen Summe ist gleich der algebraischen Summe der Ableitungen der Terme.

2. Die Ableitung eines Produkts ist gleich dem Produkt der Ableitung des ersten Faktors und des zweiten Faktors plus dem Produkt des ersten Faktors und der Ableitung des zweiten.

3. Die Ableitung von „y“ geteilt durch „ve“ ist gleich einem Bruch, bei dem der Zähler „y prim multipliziert mit „ve“ minus „y multipliziert mit ve prim“ ist und der Nenner „ve quadriert“ ist.

4. Ein Sonderfall der Formel 3.

Lasst uns gemeinsam lernen!

Seite 1 von 1 1

Beweis und Herleitung von Formeln für die Ableitung des natürlichen Logarithmus und des Logarithmus zur Basis a. Beispiele für die Berechnung von Ableitungen von ln 2x, ln 3x und ln nx. Beweis der Formel für die Ableitung des Logarithmus n-ter Ordnung mit der Methode der mathematischen Induktion.

Siehe auch: Logarithmus - Eigenschaften, Formeln, Diagramm
Natürlicher Logarithmus - Eigenschaften, Formeln, Diagramm

Herleitung von Formeln für die Ableitungen des natürlichen Logarithmus und des Logarithmus zur Basis a

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus von x ist gleich eins dividiert durch x:
(1) (ln x)′ =.

Die Ableitung des Logarithmus zur Basis a ist gleich eins dividiert durch die Variable x multipliziert mit dem natürlichen Logarithmus von a:
(2) (log a x)′ =.

Nachweisen

Es gebe eine positive Zahl ungleich eins. Betrachten Sie eine Funktion, die von einer Variablen x abhängt, die ein Logarithmus zur Basis ist:
.
Diese Funktion ist unter definiert. Finden wir seine Ableitung nach der Variablen x. Per Definition ist die Ableitung der folgende Grenzwert:
(3) .

Lassen Sie uns diesen Ausdruck umwandeln, um ihn auf bekannte mathematische Eigenschaften und Regeln zu reduzieren. Dazu müssen wir folgende Fakten kennen:
A) Eigenschaften des Logarithmus. Wir benötigen folgende Formeln:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Stetigkeit des Logarithmus und Grenzwerteigenschaft für eine stetige Funktion:
(7) .
Hier ist eine Funktion, die einen Grenzwert hat und dieser Grenzwert positiv ist.
IN) Die Bedeutung der zweiten bemerkenswerten Grenze:
(8) .

Wenden wir diese Fakten auf unser Limit an. Zuerst transformieren wir den algebraischen Ausdruck
.
Dazu wenden wir die Eigenschaften (4) und (5) an.

.

Nutzen wir Eigenschaft (7) und den zweiten bemerkenswerten Grenzwert (8):
.

Und schließlich wenden wir Eigenschaft (6) an:
.
Logarithmus zur Basis e angerufen natürlicher Logarithmus. Es wird wie folgt bezeichnet:
.
Dann ;
.

Somit haben wir die Formel (2) für die Ableitung des Logarithmus erhalten.

Ableitung des natürlichen Logarithmus

Wir schreiben noch einmal die Formel für die Ableitung des Logarithmus zur Basis a auf:
.
Diese Formel hat die einfachste Form für den natürlichen Logarithmus, für den , . Dann
(1) .

Aufgrund dieser Einfachheit wird der natürliche Logarithmus in der mathematischen Analyse und in anderen Bereichen der Mathematik im Zusammenhang mit der Differentialrechnung sehr häufig verwendet. Logarithmische Funktionen mit anderen Basen können mithilfe der Eigenschaft (6) durch den natürlichen Logarithmus ausgedrückt werden:
.

Die Ableitung des Logarithmus nach der Basis ergibt sich aus Formel (1), wenn man aus dem Differenzierungszeichen die Konstante herausnimmt:
.

Andere Möglichkeiten, die Ableitung eines Logarithmus zu beweisen

Hier gehen wir davon aus, dass wir die Formel für die Ableitung der Exponentialfunktion kennen:
(9) .
Dann können wir die Formel für die Ableitung des natürlichen Logarithmus ableiten, vorausgesetzt, der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.

Beweisen wir die Formel für die Ableitung des natürlichen Logarithmus: Anwendung der Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion:
.
In unserem Fall . Die Umkehrfunktion zum natürlichen Logarithmus ist die Exponentialfunktion:
.
Seine Ableitung wird durch Formel (9) bestimmt. Variablen können mit einem beliebigen Buchstaben bezeichnet werden. Ersetzen Sie in Formel (9) die Variable x durch y:
.
Seit damals
.
Dann
.
Die Formel ist bewiesen.

Jetzt beweisen wir die Formel für die Ableitung des natürlichen Logarithmus mit Regeln zur Differenzierung komplexer Funktionen. Da die Funktionen und dann zueinander invers sind
.
Differenzieren wir diese Gleichung nach der Variablen x:
(10) .
Die Ableitung von x ist gleich eins:
.
Wir wenden die Differenzierungsregel komplexer Funktionen an:
.
Hier . Ersetzen wir in (10):
.
Von hier
.

Beispiel

Finden Sie Ableitungen von ln 2x, ln 3x Und lnnx.

Die ursprünglichen Funktionen haben eine ähnliche Form. Daher finden wir die Ableitung der Funktion y = log nx. Dann ersetzen wir n = 2 und n = 3. Und so erhalten wir Formeln für die Ableitungen von ln 2x Und ln 3x .

Wir suchen also nach der Ableitung der Funktion
y = log nx .
Stellen wir uns diese Funktion als eine komplexe Funktion vor, die aus zwei Funktionen besteht:
1) Funktionen abhängig von einer Variablen: ;
2) Funktionen abhängig von einer Variablen: .
Dann setzt sich die ursprüngliche Funktion aus den Funktionen und zusammen:
.

Finden wir die Ableitung der Funktion nach der Variablen x:
.
Finden wir die Ableitung der Funktion nach der Variablen:
.
Wir wenden die Formel für die Ableitung einer komplexen Funktion an.
.
Hier haben wir es eingerichtet.

Also fanden wir:
(11) .
Wir sehen, dass die Ableitung nicht von n abhängt. Dieses Ergebnis ist ganz natürlich, wenn wir die ursprüngliche Funktion mit der Formel für den Logarithmus des Produkts umwandeln:
.
- das ist eine Konstante. Seine Ableitung ist Null. Dann gilt nach der Differenzierungsregel der Summe:
.

; ; .

Ableitung des Logarithmus des Moduls x

Finden wir die Ableitung einer weiteren sehr wichtigen Funktion – des natürlichen Logarithmus des Moduls x:
(12) .

Betrachten wir den Fall. Dann sieht die Funktion so aus:
.
Seine Ableitung wird durch Formel (1) bestimmt:
.

Betrachten wir nun den Fall. Dann sieht die Funktion so aus:
,
Wo .
Aber auch die Ableitung dieser Funktion haben wir im obigen Beispiel gefunden. Es hängt nicht von n ab und ist gleich
.
Dann
.

Wir kombinieren diese beiden Fälle in einer Formel:
.

Dementsprechend gilt für den Logarithmus zur Basis von a:
.

Ableitungen höherer Ordnungen des natürlichen Logarithmus

Betrachten Sie die Funktion
.
Wir haben seine Ableitung erster Ordnung gefunden:
(13) .

Finden wir die Ableitung zweiter Ordnung:
.
Finden wir die Ableitung dritter Ordnung:
.
Finden wir die Ableitung vierter Ordnung:
.

Sie können feststellen, dass die Ableitung n-ter Ordnung die Form hat:
(14) .
Beweisen wir dies durch mathematische Induktion.

Nachweisen

Setzen wir den Wert n = 1 in Formel (14) ein:
.
Da , dann wenn n = 1 , Formel (14) ist gültig.

Nehmen wir an, dass Formel (14) für n = k erfüllt ist. Beweisen wir, dass dies impliziert, dass die Formel für n = k gültig ist + 1 .

Tatsächlich gilt für n = k:
.
Differenzieren Sie nach der Variablen x:

.
Also haben wir:
.
Diese Formel stimmt mit Formel (14) für n = k + überein 1 . Aus der Annahme, dass Formel (14) für n = k gültig ist, folgt also, dass Formel (14) für n = k + gültig ist 1 .

Daher gilt die Formel (14) für die Ableitung n-ter Ordnung für jedes n.

Ableitungen höherer Ordnungen des Logarithmus zur Basis a

Um die Ableitung n-ter Ordnung eines Logarithmus zur Basis a zu finden, müssen Sie sie durch den natürlichen Logarithmus ausdrücken:
.
Mit Formel (14) ermitteln wir die n-te Ableitung:
.

Derivat

Die Berechnung der Ableitung einer mathematischen Funktion (Differenzierung) ist ein sehr häufiges Problem bei der Lösung höherer Mathematik. Bei einfachen (elementaren) mathematischen Funktionen ist dies eine relativ einfache Sache, da Ableitungstabellen für elementare Funktionen seit langem erstellt und leicht zugänglich sind. Die Ableitung einer komplexen mathematischen Funktion zu finden, ist jedoch keine triviale Aufgabe und erfordert oft erheblichen Aufwand und Zeit.

Finden Sie Derivate online

Unser Online-Service ermöglicht es Ihnen, sinnlose lange Berechnungen loszuwerden Finden Sie Derivate online in einem Moment. Darüber hinaus nutzen Sie unseren auf der Website befindlichen Dienst www.site, können Sie berechnen Online-Derivat sowohl von einer elementaren Funktion als auch von einer sehr komplexen Funktion, die keine analytische Lösung hat. Die Hauptvorteile unserer Website im Vergleich zu anderen sind: 1) Es gibt keine strengen Anforderungen an die Methode zur Eingabe einer mathematischen Funktion zur Berechnung der Ableitung (zum Beispiel können Sie bei der Eingabe der Sinus-x-Funktion diese als sin x oder sin eingeben (x) oder sin[x] usw. d.); 2) Die Online-Ableitungsberechnung erfolgt sofort im online und absolut kostenlos; 3) Wir ermöglichen Ihnen, die Ableitung einer Funktion zu finden jede Bestellung, die Reihenfolge der Ableitung zu ändern ist sehr einfach und verständlich; 4) Wir ermöglichen es Ihnen, die Ableitung fast jeder mathematischen Funktion online zu finden, selbst sehr komplexer Funktionen, die von anderen Diensten nicht gelöst werden können. Die bereitgestellte Antwort ist immer korrekt und darf keine Fehler enthalten.

Durch die Verwendung unseres Servers können Sie 1) die Ableitung online für Sie berechnen und so zeitraubende und langwierige Berechnungen vermeiden, bei denen Ihnen ein Fehler oder Tippfehler unterlaufen könnte; 2) Wenn Sie die Ableitung einer mathematischen Funktion selbst berechnen, bieten wir Ihnen die Möglichkeit, das erhaltene Ergebnis mit den Berechnungen unseres Dienstes zu vergleichen und sicherzustellen, dass die Lösung korrekt ist oder einen eingeschlichenen Fehler findet; 3) Nutzen Sie unseren Service, anstatt Tabellen mit Ableitungen einfacher Funktionen zu verwenden, bei denen es oft zeitaufwändig ist, die gewünschte Funktion zu finden.

Alles, was von Ihnen verlangt wird, ist Finden Sie Derivate online- besteht darin, unseren Service zu nutzen

Das Lösen physikalischer Probleme oder Beispiele in der Mathematik ist ohne Kenntnis der Ableitung und der Methoden zu ihrer Berechnung völlig unmöglich. Die Ableitung ist eines der wichtigsten Konzepte in der mathematischen Analyse. Wir haben beschlossen, den heutigen Artikel diesem grundlegenden Thema zu widmen. Was ist eine Ableitung, was ist ihre physikalische und geometrische Bedeutung, wie berechnet man die Ableitung einer Funktion? Alle diese Fragen lassen sich zu einer einzigen zusammenfassen: Wie ist die Ableitung zu verstehen?

Geometrische und physikalische Bedeutung der Ableitung

Lass es eine Funktion geben f(x) , in einem bestimmten Intervall angegeben (a, b) . Zu diesem Intervall gehören die Punkte x und x0. Wenn sich x ändert, ändert sich auch die Funktion selbst. Das Argument ändern - der Unterschied in seinen Werten x-x0 . Dieser Unterschied wird geschrieben als Delta x und heißt Argumentinkrement. Eine Änderung oder Erhöhung einer Funktion ist die Differenz zwischen den Werten einer Funktion an zwei Punkten. Definition von Derivat:

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist die Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion an einem bestimmten Punkt zum Inkrement des Arguments, wenn dieses gegen Null tendiert.

Ansonsten kann man es so schreiben:

Welchen Sinn hat es, eine solche Grenze zu finden? Und hier ist, was es ist:

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist gleich der Tangente des Winkels zwischen der OX-Achse und der Tangente an den Graphen der Funktion an einem bestimmten Punkt.

Physikalische Bedeutung der Ableitung: Die Ableitung des Weges nach der Zeit ist gleich der Geschwindigkeit der geradlinigen Bewegung.

Tatsächlich weiß seit der Schulzeit jeder, dass Geschwindigkeit ein besonderer Weg ist x=f(t) und Zeit T . Durchschnittsgeschwindigkeit über einen bestimmten Zeitraum:

Um die Bewegungsgeschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt herauszufinden t0 Sie müssen das Limit berechnen:

Regel eins: Legen Sie eine Konstante fest

Die Konstante kann aus dem Ableitungszeichen entnommen werden. Darüber hinaus muss dies getan werden. Gehen Sie beim Lösen von Beispielen in der Mathematik als Regel vor: Wenn Sie einen Ausdruck vereinfachen können, müssen Sie ihn unbedingt vereinfachen .

Beispiel. Berechnen wir die Ableitung:

Regel zwei: Ableitung der Summe der Funktionen

Die Ableitung der Summe zweier Funktionen ist gleich der Summe der Ableitungen dieser Funktionen. Dasselbe gilt für die Ableitung der Funktionsdifferenz.

Wir werden diesen Satz nicht beweisen, sondern ein praktisches Beispiel betrachten.

Finden Sie die Ableitung der Funktion:

Regel drei: Ableitung des Funktionsprodukts

Die Ableitung des Produkts zweier differenzierbarer Funktionen wird nach folgender Formel berechnet:

Beispiel: Finden Sie die Ableitung einer Funktion:

Lösung:

Es ist wichtig, hier über die Berechnung von Ableitungen komplexer Funktionen zu sprechen. Die Ableitung einer komplexen Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitung dieser Funktion nach dem Zwischenargument und der Ableitung des Zwischenarguments nach der unabhängigen Variablen.

Im obigen Beispiel stoßen wir auf den Ausdruck:

In diesem Fall ist das Zwischenargument 8x hoch fünf. Um die Ableitung eines solchen Ausdrucks zu berechnen, berechnen wir zunächst die Ableitung der externen Funktion nach dem Zwischenargument und multiplizieren dann mit der Ableitung des Zwischenarguments selbst nach der unabhängigen Variablen.

Regel vier: Ableitung des Quotienten zweier Funktionen

Formel zur Bestimmung der Ableitung des Quotienten zweier Funktionen:

Wir haben versucht, von Grund auf über Derivate für Dummies zu sprechen. Dieses Thema ist nicht so einfach, wie es scheint. Seien Sie also gewarnt: In den Beispielen stecken oft Fallstricke. Seien Sie also vorsichtig bei der Berechnung von Ableitungen.

Bei Fragen zu diesem und anderen Themen können Sie sich an den Studierendenservice wenden. Wir helfen Ihnen in kurzer Zeit, den schwierigsten Test zu lösen und die Aufgaben zu verstehen, auch wenn Sie noch nie zuvor Ableitungsrechnungen durchgeführt haben.