Ableitung der Exponentialfunktion zur x-Potenz. Ein erstaunliches Merkmal der Ableitung von e hoch x Potenzfunktion y = x p

Beweis und Herleitung der Formeln für die Ableitung der Exponentialfunktion (e hoch x) und der Exponentialfunktion (a hoch x). Beispiele für die Berechnung von Ableitungen von e^2x, e^3x und e^nx. Formeln für Ableitungen höherer Ordnung.

Siehe auch: Exponentialfunktion - Eigenschaften, Formeln, Diagramm
Exponent, e hoch x - Eigenschaften, Formeln, Diagramm

Grundformeln

Die Ableitung eines Exponenten ist gleich dem Exponenten selbst (die Ableitung von e zur x-ten Potenz ist gleich e zur x-ten Potenz):
(1) (e x )′ = e x.

Die Ableitung einer Exponentialfunktion mit der Basis a ist gleich der Funktion selbst multipliziert mit dem natürlichen Logarithmus von a:
(2) .

Eine Exponentialfunktion ist eine Exponentialfunktion, deren Basis gleich der Zahl e ist, die dem folgenden Grenzwert entspricht:
.
Dabei kann es sich entweder um eine natürliche Zahl oder eine reelle Zahl handeln. Als nächstes leiten wir Formel (1) für die Ableitung der Exponentialfunktion ab.

Herleitung der exponentiellen Ableitungsformel

Betrachten Sie die Exponentialfunktion, e hoch x:
y = e x .
Diese Funktion ist für alle definiert. Finden wir seine Ableitung nach der Variablen x. Per Definition ist die Ableitung der folgende Grenzwert:
(3) .

Lassen Sie uns diesen Ausdruck umwandeln, um ihn auf bekannte mathematische Eigenschaften und Regeln zu reduzieren. Dazu benötigen wir folgende Fakten:
A) Exponenteneigenschaft:
(4) ;
B) Eigenschaft des Logarithmus:
(5) ;
IN) Stetigkeit des Logarithmus und Grenzwerteigenschaft für eine stetige Funktion:
(6) .
Hier ist eine Funktion, die einen Grenzwert hat und dieser Grenzwert positiv ist.
G) Die Bedeutung der zweiten bemerkenswerten Grenze:
(7) .

Wenden wir diese Fakten auf unser Limit (3) an. Wir verwenden Eigenschaft (4):
;
.

Machen wir einen Ersatz. Dann ; .
Aufgrund der Kontinuität der Exponentialfunktion
.
Wenn also , . Als Ergebnis erhalten wir:
.

Machen wir einen Ersatz. Dann . Bei , . Und wir haben:
.

Wenden wir die Logarithmuseigenschaft (5) an:
. Dann
.

Wenden wir Eigenschaft (6) an. Da es einen positiven Grenzwert gibt und der Logarithmus stetig ist, gilt:
.
Hier haben wir auch die zweite bemerkenswerte Grenze (7) verwendet. Dann
.

Somit haben wir Formel (1) für die Ableitung der Exponentialfunktion erhalten.

Herleitung der Formel für die Ableitung einer Exponentialfunktion

Nun leiten wir Formel (2) für die Ableitung der Exponentialfunktion mit einer Basis vom Grad a ab. Wir glauben das und . Dann die Exponentialfunktion
(8)
Definiert für jeden.

Lassen Sie uns Formel (8) umwandeln. Dazu nutzen wir die Eigenschaften der Exponentialfunktion und des Logarithmus.
;
.
Also haben wir Formel (8) in die folgende Form umgewandelt:
.

Ableitungen höherer Ordnung von e nach der x-Potenz

Lassen Sie uns nun Ableitungen höherer Ordnung finden. Schauen wir uns zunächst den Exponenten an:
(14) .
(1) .

Wir sehen, dass die Ableitung der Funktion (14) gleich der Funktion (14) selbst ist. Wenn wir (1) differenzieren, erhalten wir Ableitungen zweiter und dritter Ordnung:
;
.

Dies zeigt, dass die Ableitung n-ter Ordnung auch gleich der ursprünglichen Funktion ist:
.

Ableitungen höherer Ordnung der Exponentialfunktion

Betrachten Sie nun eine Exponentialfunktion mit einer Basis vom Grad a:
.
Wir haben seine Ableitung erster Ordnung gefunden:
(15) .

Wenn wir (15) differenzieren, erhalten wir Ableitungen zweiter und dritter Ordnung:
;
.

Wir sehen, dass jede Differentiation zur Multiplikation der ursprünglichen Funktion mit führt. Daher hat die Ableitung n-ter Ordnung die folgende Form:
.

Zur Vereinfachung und Klarheit beim Studium des Themas präsentieren wir eine Übersichtstabelle.

Lassen Sie uns analysieren, wie die Formeln der angegebenen Tabelle erhalten wurden, oder mit anderen Worten, wir werden die Ableitung von Ableitungsformeln für jeden Funktionstyp beweisen.

Ableitung einer Konstante

Um diese Formel abzuleiten, legen wir die Definition der Ableitung einer Funktion an einem Punkt zugrunde. Wir verwenden x 0 = x, wobei X nimmt den Wert einer beliebigen reellen Zahl an, oder mit anderen Worten: X ist eine beliebige Zahl aus dem Definitionsbereich der Funktion f (x) = C. Schreiben wir den Grenzwert des Verhältnisses des Inkrements einer Funktion zum Inkrement des Arguments als ∆ x → 0 auf:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Bitte beachten Sie, dass der Ausdruck 0 ∆ x unter das Grenzzeichen fällt. Es handelt sich nicht um die Unsicherheit „Null geteilt durch Null“, da der Zähler keinen unendlich kleinen Wert enthält, sondern genau Null. Mit anderen Worten: Das Inkrement einer konstanten Funktion ist immer Null.

Die Ableitung der konstanten Funktion f (x) = C ist also im gesamten Definitionsbereich gleich Null.

Beispiel 1

Die konstanten Funktionen sind gegeben:

f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Lösung

Beschreiben wir die gegebenen Bedingungen. In der ersten Funktion sehen wir die Ableitung der natürlichen Zahl 3. Im folgenden Beispiel müssen Sie die Ableitung von bilden A, Wo A- jede reelle Zahl. Das dritte Beispiel gibt uns die Ableitung der irrationalen Zahl 4. 13 7 22, die vierte ist die Ableitung von Null (Null ist eine ganze Zahl). Schließlich haben wir im fünften Fall die Ableitung des rationalen Bruchs – 8 7.

Antwort: Ableitungen gegebener Funktionen sind für jede reelle Zahl Null X(über den gesamten Definitionsbereich)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Ableitung einer Potenzfunktion

Kommen wir zur Potenzfunktion und der Formel für ihre Ableitung, die die Form hat: (x p) " = p x p - 1, wobei der Exponent P ist eine beliebige reelle Zahl.

Beweis 2

Hier ist der Beweis der Formel, wenn der Exponent eine natürliche Zahl ist: p = 1, 2, 3, …

Wir verlassen uns wieder auf die Definition eines Derivats. Schreiben wir den Grenzwert des Verhältnisses des Inkrements einer Potenzfunktion zum Inkrement des Arguments auf:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Um den Ausdruck im Zähler zu vereinfachen, verwenden wir die Binomialformel von Newton:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Auf diese Weise:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 ( C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + . 1 + 0 + .

Damit haben wir die Formel für die Ableitung einer Potenzfunktion bewiesen, wenn der Exponent eine natürliche Zahl ist.

Beweis 3

Beweise für den Fall liefern, wann P- Für jede reelle Zahl außer Null verwenden wir die logarithmische Ableitung (hier sollten wir den Unterschied zur Ableitung einer logarithmischen Funktion verstehen). Für ein umfassenderes Verständnis empfiehlt es sich, die Ableitung einer logarithmischen Funktion zu untersuchen und die Ableitung einer impliziten Funktion und die Ableitung einer komplexen Funktion besser zu verstehen.

Betrachten wir zwei Fälle: wann X positiv und wann X Negativ.

Also x > 0. Dann: x p > 0 . Logarithmieren wir die Gleichung y = x p zur Basis e und wenden wir die Eigenschaft des Logarithmus an:

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

Zu diesem Zeitpunkt haben wir eine implizit spezifizierte Funktion erhalten. Definieren wir seine Ableitung:

(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

Nun betrachten wir den Fall, wenn X - eine negative Zahl.

Wenn der Indikator P eine gerade Zahl ist, dann ist die Potenzfunktion für x definiert< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Dann x p< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Wenn P eine ungerade Zahl ist, dann ist die Potenzfunktion für x definiert< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1

Der letzte Übergang ist möglich, da if P ist also eine ungerade Zahl p - 1 entweder eine gerade Zahl oder Null (für p = 1), also negativ X die Gleichheit (- x) p - 1 = x p - 1 ist wahr.

Wir haben also die Formel für die Ableitung einer Potenzfunktion für jedes reelle p bewiesen.

Beispiel 2

Gegebene Funktionen:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Bestimmen Sie ihre Ableitungen.

Lösung

Wir transformieren einige der gegebenen Funktionen basierend auf den Eigenschaften des Grades in tabellarische Form y = x p und verwenden dann die Formel:

f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Ableitung einer Exponentialfunktion

Lassen Sie uns die Ableitungsformel auf der Grundlage der Definition ableiten:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Wir haben Unsicherheit. Um es zu erweitern, schreiben wir eine neue Variable z = a ∆ x - 1 (z → 0 als ∆ x → 0). In diesem Fall ist a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Für den letzten Übergang wurde die Formel für den Übergang zu einer neuen Logarithmusbasis verwendet.

Setzen wir in den ursprünglichen Grenzwert ein:

(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Erinnern wir uns an den zweiten bemerkenswerten Grenzwert und dann erhalten wir die Formel für die Ableitung der Exponentialfunktion:

(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

Beispiel 3

Die Exponentialfunktionen sind gegeben:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Es ist notwendig, ihre Ableitungen zu finden.

Lösung

Wir verwenden die Formel für die Ableitung der Exponentialfunktion und die Eigenschaften des Logarithmus:

f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Ableitung einer logarithmischen Funktion

Lassen Sie uns einen Beweis der Formel für die Ableitung einer logarithmischen Funktion für jede liefern X im Definitionsbereich und alle zulässigen Werte der Basis a des Logarithmus. Basierend auf der Definition des Derivats erhalten wir:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

Aus der angegebenen Gleichungskette wird deutlich, dass die Transformationen auf der Eigenschaft des Logarithmus beruhten. Die Gleichheit lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e gilt gemäß dem zweiten bemerkenswerten Grenzwert.

Beispiel 4

Logarithmische Funktionen sind gegeben:

f 1 (x) = log ln 3 x , f 2 (x) = ln x

Es ist notwendig, ihre Ableitungen zu berechnen.

Lösung

Wenden wir die abgeleitete Formel an:

f 1 " (x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3) ; f 2 " (x) = (ln x) " = 1 x ln e = 1 x

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist also eins dividiert durch X.

Ableitungen trigonometrischer Funktionen

Lassen Sie uns einige trigonometrische Formeln und den ersten wunderbaren Grenzwert verwenden, um die Formel für die Ableitung einer trigonometrischen Funktion abzuleiten.

Nach der Definition der Ableitung der Sinusfunktion erhalten wir:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Mit der Formel für die Sinusdifferenz können wir die folgenden Aktionen ausführen:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Schließlich verwenden wir die erste wunderbare Grenze:

sin " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Also die Ableitung der Funktion Sünde x Wille weil x.

Wir werden auch die Formel für die Ableitung des Kosinus beweisen:

cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Diese. die Ableitung der cos x-Funktion wird sein – Sünde x.

Wir leiten die Formeln für die Ableitungen von Tangens und Kotangens anhand der Differenzierungsregeln her:

t g " x = sin x cos x " = sin " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x Sünde 2 x = - Sünde 2 x + cos 2 x Sünde 2 x = - 1 Sünde 2 x

Ableitungen inverser trigonometrischer Funktionen

Der Abschnitt über die Ableitung von Umkehrfunktionen bietet umfassende Informationen zum Beweis der Formeln für die Ableitungen von Arkussinus, Arkuskosinus, Arkustangens und Arkuskotangens, daher werden wir das Material hier nicht wiederholen.

Ableitungen hyperbolischer Funktionen

Die Formeln für die Ableitungen des hyperbolischen Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens können wir mithilfe der Differentiationsregel und der Formel für die Ableitung der Exponentialfunktion herleiten:

s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

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Grundlegendes Konzept

Bevor wir die Frage der Ableitung einer Exponentialfunktion nach der Potenz $x$ untersuchen, erinnern wir uns an die Definitionen

1. Funktionen;
2. Sequenzlimit;
3. Derivat;
4. Aussteller.

Dies ist für ein klares Verständnis der Ableitung einer Exponentialfunktion hoch $x$ notwendig.

Definition 1

Eine Funktion ist eine Beziehung zwischen zwei Variablen.

Nehmen wir $y=f(x)$, wobei $x$ und $y$ Variablen sind. Hier wird $x$ als Argument und $y$ als Funktion bezeichnet. Das Argument kann beliebige Werte annehmen. Die Variable $y$ wiederum ändert sich je nach Argument nach einem bestimmten Gesetz. Das heißt, das Argument $x$ ist die unabhängige Variable und die Funktion $y$ ist die abhängige Variable. Für jeden Wert $x$ gibt es einen eindeutigen Wert $y$.

Wenn aufgrund eines Gesetzes jede natürliche Zahl $n=1, 2, 3, ...$ mit einer Zahl $x_n$ verknüpft ist, dann sagen wir, dass die Zahlenfolge $x_1,x_2,..., x_n$ ist definiert. Andernfalls wird eine solche Sequenz als $\(x_n\)$ geschrieben. Alle Zahlen $x_n$ werden Mitglieder oder Elemente der Folge genannt.

Definition 2

Der Grenzwert einer Folge ist der endliche oder unendlich entfernte Punkt der Zahlengeraden. Der Grenzwert wird wie folgt geschrieben: $\lim x_n = \lim\limits_(n\to\infty)x_n = a$. Diese Notation bedeutet, dass die Variable $x_n$ zu $a$ $x_n\zu a$ tendiert.

Die Ableitung der Funktion $f$ am Punkt $x_0$ wird als folgender Grenzwert bezeichnet:

$\lim\limits_(x\to x_0)\frac(f(x) - f(x_o))(x-x_o)$. Es wird mit $f"(x_0)$ bezeichnet.

Die Zahl $e$ entspricht dem folgenden Grenzwert:

$e=\lim\limits_(x\to\infty) (1+\frac(1)(n))\ approx2.718281828459045...$

In diesem Grenzwert ist $n$ eine natürliche oder reelle Zahl.

Nachdem wir die Konzepte von Grenzwert, Ableitung und Exponent beherrscht haben, können wir mit dem Beweis der Formel $(e^x)"=e^x$ beginnen.

Ableitung der Ableitung einer Exponentialfunktion zur Potenz $x$

Wir haben $e^x$, wobei $x: -\infty

$y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(x+\Delta x)-e^x)(\Delta x)$.

Durch die Eigenschaft des Exponenten $e^(a+bx)=e^a*e^b$ können wir den Zähler des Grenzwerts transformieren:

$e^(x+\Delta x)-e^x = e^x*e^(\Delta x)-e^x = e^x(e^(\Delta x)-1)$.

Das heißt, $y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(x+\Delta x)-e^x)(\Delta x)=\lim\limits_(\Delta x\ zu 0) \frac(e^x(e^(\Delta x)-1))(\Delta x)$.

Bezeichnen wir $t=e^(\Delta x)-1$. Wir erhalten $e^(\Delta x)=t+1$, und durch die Eigenschaft des Logarithmus ergibt sich, dass $\Delta x = ln(t+1)$.

Da die Exponentialfunktion stetig ist, gilt $\lim\limits_(\Delta x\to 0) e^(\Delta x)=e^0=1.$ Wenn also $\Delta x\to 0$, dann $ t \ auf 0$.

Als Ergebnis zeigen wir die Transformation:

$y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(\Delta x)-1)(\Delta x)=e^x\lim\limits_(t\to 0)\frac (t)(ln(t+1))$.

Bezeichnen wir $n=\frac (1)(t)$, dann $t=\frac(1)(n)$. Es stellt sich heraus, dass, wenn $t\to 0$, dann $n\to\infty$.

Lassen Sie uns unser Limit transformieren:

$y"=e^x\lim\limits_(t\to 0)\frac(t)(ln(t+1))=e^x\lim\limits_(n\to\infty)\frac(1) (n\cdot ln(\frac(1)(n)+1)^n)$.

Aufgrund der Eigenschaft des Logarithmus $b\cdot ln c=ln c^b$ gilt

$n\cdot ln (\frac(1)(n)+1)=ln(\frac(1)(n)+1)^n=ln(1+\frac(1)(n))^n$ .

Das Limit wird wie folgt umgerechnet:

$y"=e^x\lim\limits_(n\to\infty)\frac(1)(n\cdot ln(\frac(1)(n)+1)) = e^x\lim\limits_( n\to\infty)\frac(1)(ln(\frac(1)(n)+1)^n)= e^x\frac(1)(\lim\limits_(n\to\infty) ln (\frac(1)(n)+1)^n)$.

Gemäß der Stetigkeitseigenschaft des Logarithmus und der Grenzwerteigenschaft für eine stetige Funktion: $\lim\limits_(x\to x_0)ln(f(x))=ln(\lim\limits_f(x))$, wobei $f(x)$ einen positiven Grenzwert $\lim\limits_(x\to x_0)f(x)$ hat. Aufgrund der Tatsache, dass der Logarithmus stetig ist und es einen positiven Grenzwert $\lim\limits_(n\to\infty)(\frac(1)(n)+1)^n$ gibt, können wir Folgendes ableiten:

$\lim\limits_(n\to\infty)ln(1+\frac(1)(n))^n=ln\lim\limits_(n\to\infty)ln(1+\frac(1)( n))^n=ln e=1$.

Verwenden wir den Wert des zweiten bemerkenswerten Grenzwerts $\lim\limits_(n\to\infty)(1+\frac(1)(n))^n=e$. Wir bekommen:

$y"= e^x\frac(1)(\lim\limits_(n\to\infty) ln(\frac(1)(n)+1)^n) = e^x\cdot\frac(1 )(ln e) = e^x\cdot\frac(1)(1)=e^x$.

Somit haben wir die Formel für die Ableitung einer Exponentialfunktion abgeleitet und können behaupten, dass die Ableitung einer Exponentialfunktion hoch $x$ äquivalent zur Ableitung einer Exponentialfunktion hoch $x$ ist:

Es gibt auch andere Möglichkeiten, diese Formel mithilfe anderer Formeln und Regeln abzuleiten.

Beispiel 1

Schauen wir uns ein Beispiel für die Ermittlung der Ableitung einer Funktion an.

Zustand: Finden Sie die Ableitung der Funktion $y=2^x + 3^x + 10^x + e^x$.

Lösung: Auf die Terme $2^x, 3^x$ und $10^x$ wenden wir die Formel $(a^x)"=a^x\cdot ln a$ an. Gemäß der abgeleiteten Formel $(e^x)" =e^x$ der vierte Term $e^x$ ändert sich nicht.

Antwort: $y" = 2^x\cdot ln 2 + 3^x\cdot ln 3 + 10^x\cdot ln 10 + e^x$.

Daher haben wir die Formel $(e^x)"=e^x$ abgeleitet, die Grundkonzepte definiert und ein Beispiel für die Ermittlung der Ableitung einer Funktion mit einem Exponenten als einem der Terme analysiert.

Viele Zahlen erlangten ihre Größe und abergläubische Bedeutung in der Antike. Heutzutage kommen neue Mythen hinzu. Um die Zahl Pi ranken sich viele Legenden; die berühmten Fibonacci-Zahlen sind nicht viel weniger berühmt als sie. Aber das Überraschendste ist vielleicht die Zahl e, auf die er nicht verzichten kann moderne Mathematik, Physik und sogar Wirtschaftswissenschaften.

Der arithmetische Wert von e beträgt ungefähr 2,718. Warum nicht genau, sondern ungefähr? Da diese Zahl irrational und transzendent ist, kann sie nicht als Bruch mit natürlichen ganzen Zahlen oder als Polynom mit rationalen Koeffizienten ausgedrückt werden. Für die meisten Berechnungen ist die angegebene Genauigkeit von 2,718 ausreichend, obwohl der moderne Stand der Computertechnologie es ermöglicht, seinen Wert mit einer Genauigkeit von mehr als einer Billion Dezimalstellen zu bestimmen.

Das Hauptmerkmal der Zahl e besteht darin, dass die Ableitung ihrer Exponentialfunktion f (x) = e x gleich dem Wert der Funktion e x selbst ist. Keine andere mathematische Beziehung hat eine so ungewöhnliche Eigenschaft. Lassen Sie uns etwas ausführlicher darüber sprechen.

Was ist eine Grenze?

Lassen Sie uns zunächst das Konzept der Grenze verstehen. Betrachten Sie einen mathematischen Ausdruck, zum Beispiel i = 1/n. Kann sehen, das, wenn „n“ zunimmt", wird der Wert von „i“ abnehmen, und da „n“ gegen Unendlich tendiert (was durch das Zeichen ∞ angezeigt wird), tendiert „i“ zum Grenzwert (häufiger einfach als Grenze bezeichnet) gleich Null. Der Ausdruck für den Grenzwert (bezeichnet als lim) für den betrachteten Fall kann als lim n →∞ (1/ n) = 0 geschrieben werden.

Für unterschiedliche Ausdrücke gelten unterschiedliche Grenzwerte. Eine dieser Grenzen, die in sowjetischen und russischen Lehrbüchern als zweite bemerkenswerte Grenze aufgeführt ist, ist der Ausdruck lim n →∞ (1+1/ n) n. Bereits im Mittelalter wurde festgestellt, dass die Grenze dieses Ausdrucks die Zahl e ist.

Der erste bemerkenswerte Grenzwert beinhaltet den Ausdruck lim n →∞ (Sin n / n) = 1.

Wie man die Ableitung von e x findet – in diesem Video.

Was ist die Ableitung einer Funktion?

Um das Konzept einer Ableitung zu erklären, sollten wir uns daran erinnern, was eine Funktion in der Mathematik ist. Um den Text nicht mit komplexen Definitionen zu überladen, konzentrieren wir uns auf das intuitive mathematische Konzept einer Funktion, das darin besteht, dass darin eine oder mehrere Größen den Wert einer anderen Größe vollständig bestimmen, wenn sie miteinander in Beziehung stehen. Beispielsweise bestimmt in der Formel S = π ∙ r 2 die Fläche eines Kreises der Wert des Radius r vollständig und eindeutig die Fläche des Kreises S.

Je nach Typ können Funktionen algebraisch, trigonometrisch, logarithmisch usw. sein. Sie können zwei, drei oder mehr miteinander verbundene Argumente haben. Beispielsweise wird die zurückgelegte Strecke S, die ein Objekt mit gleichmäßig beschleunigter Geschwindigkeit zurücklegt, durch die Funktion S = 0,5 ∙ a ∙ t 2 + V ∙ t beschrieben, wobei „t“ die Zeit der Bewegung ist, das Argument „a „ ist die Beschleunigung (kann entweder ein positiver oder ein negativer Wert sein) und „V“ ist die Anfangsgeschwindigkeit der Bewegung. Somit hängt die zurückgelegte Strecke von den Werten von drei Argumenten ab, von denen zwei („a“ und „V“) konstant sind.

Anhand dieses Beispiels wollen wir das elementare Konzept einer Ableitung einer Funktion demonstrieren. Es charakterisiert die Änderungsrate der Funktion an einem bestimmten Punkt. In unserem Beispiel ist dies die Bewegungsgeschwindigkeit des Objekts zu einem bestimmten Zeitpunkt. Bei den Konstanten „a“ und „V“ hängt es nur von der Zeit „t“ ab, d. h. in der wissenschaftlichen Sprache muss man die Ableitung der Funktion S nach der Zeit „t“ bilden.

Dieser Vorgang wird Differenzierung genannt und durch Berechnen der Grenze des Verhältnisses des Wachstums einer Funktion zum Wachstum ihres Arguments um einen vernachlässigbar kleinen Betrag durchgeführt. Die Lösung solcher Probleme für einzelne Funktionen ist oft schwierig und wird hier nicht besprochen. Es ist auch erwähnenswert, dass einige Funktionen an bestimmten Stellen überhaupt keine solchen Einschränkungen haben.

In unserem Beispiel ist die Ableitung S Mit der Zeit nimmt „t“ die Form S" = ds/dt = a ∙ t + V an, woraus ersichtlich ist, dass sich die Geschwindigkeit S" in Abhängigkeit von „t“ nach einem linearen Gesetz ändert.

Ableitung des Exponenten

Eine Exponentialfunktion wird als Exponentialfunktion bezeichnet, deren Basis die Zahl e ist. Sie wird normalerweise in der Form F (x) = e x angezeigt, wobei der Exponent x eine variable Größe ist. Diese Funktion ist über den gesamten Bereich der reellen Zahlen vollständig differenzierbar. Wenn x wächst, nimmt es ständig zu und ist immer größer als Null. Seine Umkehrfunktion ist der Logarithmus.

Dem berühmten Mathematiker Taylor gelang es, diese Funktion zu einer nach ihm benannten Reihe e x = 1 + x/1 zu erweitern! + x 2 /2! + x 3 /3! + … im x-Bereich von - ∞ bis + ∞.

Gesetz basierend auf dieser Funktion, heißt exponentiell. Er beschreibt:

• Anstieg der Zinseszinsen der Banken;
• Anstieg der Tierpopulationen und der Weltbevölkerung;
• Zeit der Totenstarre und vieles mehr.

Wiederholen wir noch einmal die bemerkenswerte Eigenschaft dieser Abhängigkeit – der Wert ihrer Ableitung an jedem Punkt ist immer gleich dem Wert der Funktion an diesem Punkt, d. h. (e x)“ = e x.

Stellen wir die Ableitungen für die allgemeinsten Fälle der Exponentialfunktion dar:

• (e ax)“ = a ∙ e ax ;
• (e f (x))" = f"(x) ∙ e f (x) .

Mithilfe dieser Abhängigkeiten ist es einfach, Ableitungen für andere bestimmte Typen dieser Funktion zu finden.

Einige interessante Fakten zur Zahl e

Mit dieser Zahl sind die Namen von Wissenschaftlern wie Napier, Oughtred, Huygens, Bernoulli, Leibniz, Newton, Euler und anderen verbunden. Letzterer führte tatsächlich die Notation e für diese Zahl ein und fand auch die ersten 18 Zeichen, indem er die Reihe e = 1 + 1/1 verwendete, die er für die Berechnung entdeckt hatte! + 2/2! + 3/3! ...

Die Zahl e erscheint an den unerwartetsten Stellen. Es geht beispielsweise in die Kettennetzgleichung ein, die den Durchhang eines Seils unter dem Einfluss seines Eigengewichts beschreibt, wenn seine Enden an Stützen befestigt sind.

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Das Thema der Videolektion ist die Ableitung der Exponentialfunktion.

Bei der Ableitung der allerersten Formel der Tabelle gehen wir von der Definition der Ableitungsfunktion an einem Punkt aus. Lass uns wohin gehen X– jede reelle Zahl, d. h. X– eine beliebige Zahl aus dem Definitionsbereich der Funktion. Schreiben wir den Grenzwert des Verhältnisses des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments auf:

Es ist zu beachten, dass unter dem Grenzzeichen der Ausdruck erhalten wird, der nicht die Unsicherheit von Null dividiert durch Null ist, da der Zähler keinen unendlich kleinen Wert, sondern genau Null enthält. Mit anderen Worten: Das Inkrement einer konstanten Funktion ist immer Null.

Auf diese Weise, Ableitung einer konstanten Funktionist im gesamten Definitionsbereich gleich Null.

Ableitung einer Potenzfunktion.

Die Formel für die Ableitung einer Potenzfunktion hat die Form , wobei der Exponent P– jede reelle Zahl.

Beweisen wir zunächst die Formel für den natürlichen Exponenten, also für p = 1, 2, 3, …

Wir werden die Definition von Derivat verwenden. Schreiben wir den Grenzwert des Verhältnisses des Inkrements einer Potenzfunktion zum Inkrement des Arguments auf:

Um den Ausdruck im Zähler zu vereinfachen, wenden wir uns der Newton-Binomialformel zu:

Somit,

Dies beweist die Formel für die Ableitung einer Potenzfunktion für einen natürlichen Exponenten.

Ableitung einer Exponentialfunktion.

Wir präsentieren die Ableitung der Ableitungsformel basierend auf der Definition:

Wir sind in der Ungewissheit angekommen. Um es zu erweitern, führen wir eine neue Variable ein und bei . Dann . Beim letzten Übergang haben wir die Formel für den Übergang zu einer neuen logarithmischen Basis verwendet.

Setzen wir in die ursprüngliche Grenze ein:

Wenn wir uns die zweite bemerkenswerte Grenze in Erinnerung rufen, gelangen wir zur Formel für die Ableitung der Exponentialfunktion:

Ableitung einer logarithmischen Funktion.

Lassen Sie uns die Formel für die Ableitung einer logarithmischen Funktion für alle beweisen X aus dem Definitionsbereich und allen gültigen Werten der Basis A Logarithmus Per Definition der Ableitung gilt:

Wie Sie bemerkt haben, wurden beim Beweis die Transformationen mithilfe der Eigenschaften des Logarithmus durchgeführt. Gleichwertigkeit ist aufgrund der zweiten bemerkenswerten Grenze wahr.

Ableitungen trigonometrischer Funktionen.

Um Formeln für Ableitungen trigonometrischer Funktionen abzuleiten, müssen wir uns einige trigonometrische Formeln sowie den ersten bemerkenswerten Grenzwert merken.

Durch Definition der Ableitung für die Sinusfunktion haben wir .

Verwenden wir die Sinusdifferenzformel:

Bleibt noch die erste bemerkenswerte Grenze:

Somit ist die Ableitung der Funktion Sünde x Es gibt weil x.

Die Formel für die Ableitung des Kosinus wird auf genau die gleiche Weise bewiesen.

Daher die Ableitung der Funktion weil x Es gibt –Sünde x.

Wir werden Formeln für die Ableitungstabelle für Tangens und Kotangens mithilfe bewährter Differenzierungsregeln (Ableitung eines Bruchs) ableiten.

Ableitungen hyperbolischer Funktionen.

Die Differenzierungsregeln und die Formel für die Ableitung der Exponentialfunktion aus der Ableitungstabelle ermöglichen es uns, Formeln für die Ableitungen des hyperbolischen Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens abzuleiten.

Ableitung der Umkehrfunktion.

Um Verwirrung bei der Darstellung zu vermeiden, bezeichnen wir das Argument der Funktion, mit der die Differenzierung durchgeführt wird, tiefgestellt, d. h. es ist die Ableitung der Funktion f(x) Von X.

Lassen Sie uns nun formulieren Regel zum Ermitteln der Ableitung einer Umkehrfunktion.

Lassen Sie die Funktionen y = f(x) Und x = g(y) gegenseitig invers, definiert auf den Intervallen bzw. Wenn es an einem Punkt eine endliche Ableitung der Funktion ungleich Null gibt f(x), dann gibt es an dem Punkt eine endliche Ableitung der Umkehrfunktion g(y), Und . In einem anderen Beitrag .

Diese Regel kann für jeden umformuliert werden X Aus dem Intervall erhalten wir .

Lassen Sie uns die Gültigkeit dieser Formeln überprüfen.

Finden wir die Umkehrfunktion für den natürlichen Logarithmus (Hier j ist eine Funktion, und X- Streit). Nachdem ich diese Gleichung für gelöst habe X, wir bekommen (hier X ist eine Funktion, und j– ihr Argument). Also, und zueinander inverse Funktionen.

Aus der Ableitungstabelle sehen wir das Und .

Stellen wir sicher, dass die Formeln zum Ermitteln der Ableitungen der Umkehrfunktion zu denselben Ergebnissen führen: