Finden der größten und kleinsten Werte. So finden Sie den kleinsten Wert einer Funktion in einem Segment: Regeln, Beispiele und Funktionen. Ausreichende Bedingung für das Extremum einer Funktion einer Variablen

Und um es zu lösen, benötigen Sie minimale Kenntnisse des Themas. Ein weiteres Schuljahr geht zu Ende, alle wollen in den Urlaub fahren, und um diesen Moment näher zu bringen, komme ich gleich zur Sache:

Beginnen wir mit der Gegend. Der in der Bedingung genannte Bereich ist begrenzt geschlossen Menge von Punkten auf einer Ebene. Zum Beispiel die Menge der durch ein Dreieck begrenzten Punkte, einschließlich des GANZEN Dreiecks (falls von Grenzen mindestens einen Punkt „herauspicken“, dann wird die Region nicht mehr geschlossen). In der Praxis gibt es auch Bereiche mit rechteckigen, runden und etwas komplexeren Formen. Es ist zu beachten, dass in der Theorie der mathematischen Analyse strenge Definitionen vorgegeben sind Einschränkungen, Isolation, Grenzen usw., aber ich denke, jeder ist sich dieser Konzepte auf einer intuitiven Ebene bewusst, und jetzt ist nichts mehr nötig.

Eine ebene Fläche wird standardmäßig mit dem Buchstaben bezeichnet und in der Regel analytisch – durch mehrere Gleichungen – angegeben (nicht unbedingt linear); seltener Ungleichheiten. Typische Redewendung: „durch Linien begrenzter, geschlossener Bereich.“

Ein wesentlicher Bestandteil der betrachteten Aufgabe ist die Konstruktion eines Bereichs in der Zeichnung. Wie kann man das machen? Sie müssen alle aufgelisteten Linien zeichnen (in diesem Fall 3). gerade) und analysieren Sie, was passiert ist. Der durchsuchte Bereich ist normalerweise leicht schattiert und sein Rand ist mit einer dicken Linie markiert:


Der gleiche Bereich kann auch eingestellt werden Lineare Ungleichungen: , die aus irgendeinem Grund oft eher als aufgezählte Liste geschrieben werden als System.
Da die Grenze zur Region gehört, sind natürlich alle Ungleichungen lax.

Und nun der Kern der Aufgabe. Stellen Sie sich vor, dass die Achse vom Ursprung direkt auf Sie zukommt. Betrachten Sie eine Funktion, die kontinuierlich in jedem Flächenpunkt. Der Graph dieser Funktion stellt einige dar Oberfläche, und das kleine Glück ist, dass wir zur Lösung des heutigen Problems nicht wissen müssen, wie diese Oberfläche aussieht. Es kann höher oder tiefer liegen, die Ebene schneiden – das alles spielt keine Rolle. Und wichtig ist: gem Die Sätze von Weierstrass, kontinuierlich V begrenzt geschlossen In diesem Bereich erreicht die Funktion ihren größten Wert (das höchste") und das Geringste (das Niedrigste") Werte, die gefunden werden müssen. Solche Werte werden erreicht oder V stationäre Punkte, zur Region gehörendD , oder an Punkten, die an der Grenze dieses Gebietes liegen. Dies führt zu einem einfachen und transparenten Lösungsalgorithmus:

Beispiel 1

In einem begrenzten geschlossenen Bereich

Lösung: Zunächst müssen Sie den Bereich in der Zeichnung darstellen. Leider ist es für mich technisch schwierig, ein interaktives Modell des Problems zu erstellen, und deshalb werde ich gleich die endgültige Abbildung präsentieren, die alle „verdächtigen“ Punkte zeigt, die bei der Recherche gefunden wurden. Sie werden normalerweise nacheinander aufgelistet, sobald sie entdeckt werden:

Basierend auf der Präambel ist es zweckmäßig, die Entscheidung in zwei Punkte zu unterteilen:

I) Finden Sie stationäre Punkte. Dies ist eine Standardaktion, die wir im Unterricht wiederholt durchgeführt haben. über Extrema mehrerer Variablen:

Stationärer Punkt gefunden gehört Bereiche: (markieren Sie es auf der Zeichnung), was bedeutet, dass wir den Wert der Funktion an einem bestimmten Punkt berechnen sollten:

- wie im Artikel Der größte und kleinste Wert einer Funktion auf einem Segment, wichtige Ergebnisse werde ich fett hervorheben. Es ist praktisch, sie mit einem Bleistift in einem Notizbuch nachzuzeichnen.

Achten Sie auf unser zweites Glück – es hat keinen Sinn, es zu überprüfen ausreichende Bedingung für ein Extremum. Warum? Auch wenn die Funktion an einem Punkt beispielsweise erreicht lokales Minimum, dann BEDEUTET dies NICHT, dass der resultierende Wert sein wird minimal in der gesamten Region (siehe Beginn der Lektion über unbedingte Extreme) .

Was tun, wenn der stationäre Punkt NICHT zur Region gehört? Fast nichts! Das ist zu beachten und mit dem nächsten Punkt fortzufahren.

II) Wir erkunden die Grenze der Region.

Da die Grenze aus den Seiten eines Dreiecks besteht, ist es sinnvoll, die Studie in drei Unterabschnitte zu unterteilen. Aber es ist besser, es trotzdem nicht zu tun. Aus meiner Sicht ist es zunächst vorteilhafter, die zu den Koordinatenachsen parallelen Segmente zu betrachten und zunächst die auf den Achsen selbst liegenden. Um die gesamte Abfolge und Logik der Handlungen zu erfassen, versuchen Sie, das Ende „in einem Atemzug“ zu studieren:

1) Befassen wir uns mit der Unterseite des Dreiecks. Ersetzen Sie dazu direkt in die Funktion:

Alternativ können Sie es auch so machen:

Geometrisch bedeutet dies, dass die Koordinatenebene (was auch durch die Gleichung gegeben ist)„schnitzt“ heraus Oberflächen eine „räumliche“ Parabel, deren Spitze sofort in Verdacht gerät. Lass es uns herausfinden Wo ist sie?:

– Der resultierende Wert „fiel“ in den Bereich, und es kann durchaus sein, dass sich das an der Stelle herausstellt (auf der Zeichnung markiert) Die Funktion erreicht den größten oder kleinsten Wert im gesamten Bereich. So oder so, lassen Sie uns die Berechnungen durchführen:

Die anderen „Kandidaten“ sind natürlich die Enden des Segments. Berechnen wir die Werte der Funktion an Punkten (auf der Zeichnung markiert):

Hier können Sie übrigens einen mündlichen Mini-Check in einer „abgespeckten“ Variante durchführen:

2) Um die rechte Seite des Dreiecks zu studieren, setzen Sie sie in die Funktion ein und „ordnen Sie die Dinge“:

Hier führen wir gleich eine grobe Prüfung durch, indem wir das bereits bearbeitete Ende des Segments „klingeln“ lassen:
, Großartig.

Die geometrische Situation hängt mit dem vorherigen Punkt zusammen:

– Der resultierende Wert „kam auch in den Bereich unseres Interesses“, was bedeutet, dass wir berechnen müssen, was die Funktion am angezeigten Punkt ist:

Schauen wir uns das zweite Ende des Segments an:

Verwendung der Funktion , führen wir eine Kontrollprüfung durch:

3) Wahrscheinlich kann jeder erraten, wie man die verbleibende Seite erkunden kann. Wir setzen es in die Funktion ein und führen Vereinfachungen durch:

Enden des Segments sind bereits recherchiert, im Entwurf prüfen wir aber noch, ob wir die Funktion richtig gefunden haben :
– stimmte mit dem Ergebnis von Unterabsatz 1 überein;
– stimmte mit dem Ergebnis des zweiten Unterabsatzes überein.

Es bleibt abzuwarten, ob es in dem Segment etwas Interessantes gibt:

- Es gibt! Wenn wir die Gerade in die Gleichung einsetzen, erhalten wir die Ordinate dieser „Interessantheit“:

Wir markieren einen Punkt auf der Zeichnung und ermitteln den entsprechenden Wert der Funktion:

Überprüfen wir die Berechnungen anhand der „Budget“-Version :
, Befehl.

Und der letzte Schritt: Wir schauen uns SORGFÄLTIG alle „fetten“ Zahlen an, ich empfehle Anfängern sogar, eine einzige Liste zu erstellen:

aus denen wir die größten und kleinsten Werte auswählen. Antwort Schreiben wir im Stil des Findens das Problem auf der größte und kleinste Wert einer Funktion auf einem Segment:

Für alle Fälle möchte ich noch einmal auf die geometrische Bedeutung des Ergebnisses eingehen:
– hier ist der höchste Punkt der Oberfläche in der Region;
– hier ist der tiefste Punkt der Oberfläche in der Gegend.

In der analysierten Aufgabe haben wir 7 „verdächtige“ Punkte identifiziert, deren Anzahl jedoch von Aufgabe zu Aufgabe variiert. Für eine dreieckige Region besteht der minimale „Forschungssatz“ aus drei Punkten. Dies geschieht beispielsweise, wenn die Funktion Folgendes angibt Flugzeug– Es ist völlig klar, dass es keine stationären Punkte gibt und die Funktion ihre maximalen/kleinsten Werte nur an den Eckpunkten des Dreiecks erreichen kann. Aber es gibt nur ein oder zwei ähnliche Beispiele – normalerweise hat man es mit irgendeinem zu tun Oberfläche 2. Ordnung.

Wenn Sie solche Aufgaben ein wenig lösen, können Ihnen Dreiecke den Kopf verdrehen, und deshalb habe ich ungewöhnliche Beispiele für Sie vorbereitet, um es quadratisch zu machen :))

Beispiel 2

Finden Sie den größten und kleinsten Wert einer Funktion in einem geschlossenen, durch Linien begrenzten Bereich

Beispiel 3

Finden Sie den größten und kleinsten Wert einer Funktion in einem begrenzten geschlossenen Bereich.

Achten Sie besonders auf die rationale Reihenfolge und Technik der Untersuchung der Grenzen der Region sowie auf die Kette der Zwischenprüfungen, wodurch Rechenfehler fast vollständig vermieden werden. Im Allgemeinen können Sie es so lösen, wie Sie möchten, aber bei manchen Problemen, zum Beispiel in Beispiel 2, besteht die Möglichkeit, dass es Ihnen das Leben deutlich schwerer macht. Eine ungefähre Auswahl der Abschlussaufgaben am Ende der Lektion.

Lassen Sie uns den Lösungsalgorithmus systematisieren, sonst ging er bei meiner Sorgfalt als Spinne irgendwie in der langen Kommentarkette des 1. Beispiels verloren:

– Im ersten Schritt bauen wir eine Fläche, es empfiehlt sich, diese zu schattieren und den Rand mit einer fetten Linie hervorzuheben. Während der Lösung erscheinen Punkte, die auf der Zeichnung markiert werden müssen.

– Finden Sie stationäre Punkte und berechnen Sie die Werte der Funktion nur in denen von ihnen die zur Region gehören. Die resultierenden Werte markieren wir im Text (kreisen sie beispielsweise mit einem Bleistift ein). Wenn ein stationärer Punkt NICHT zur Region gehört, dann kennzeichnen wir diesen Umstand mit einem Icon oder verbal. Wenn überhaupt keine stationären Punkte vorhanden sind, schließen wir schriftlich, dass sie fehlen. Auf jeden Fall darf dieser Punkt nicht übersprungen werden!

– Wir erkunden die Grenze der Region. Zunächst ist es hilfreich, die Geraden zu verstehen, die parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen (falls es überhaupt welche gibt). Wir heben auch die an „verdächtigen“ Punkten berechneten Funktionswerte hervor. Oben wurde viel über die Lösungstechnik gesagt und noch etwas anderes wird weiter unten gesagt – lesen, noch einmal lesen, sich damit befassen!

– Wählen Sie aus den ausgewählten Zahlen den größten und kleinsten Wert aus und geben Sie die Antwort an. Manchmal kommt es vor, dass eine Funktion solche Werte an mehreren Punkten gleichzeitig erreicht – in diesem Fall sollten sich alle diese Punkte in der Antwort widerspiegeln. Lassen Sie zum Beispiel und es stellte sich heraus, dass dies der kleinste Wert ist. Dann schreiben wir das auf

Die letzten Beispiele behandeln weitere nützliche Ideen, die sich in der Praxis als nützlich erweisen werden:

Beispiel 4

Finden Sie den größten und kleinsten Wert einer Funktion in einem geschlossenen Bereich .

Ich habe die Formulierung des Autors beibehalten, in der die Region in Form einer doppelten Ungleichung angegeben wird. Diese Bedingung kann von einem äquivalenten System oder in einer traditionelleren Form für dieses Problem geschrieben werden:

Ich erinnere Sie daran nichtlinear Wir sind auf Ungleichungen gestoßen, und wenn Sie die geometrische Bedeutung der Notation nicht verstehen, zögern Sie bitte nicht und klären Sie die Situation jetzt ;-)

Lösung Wie immer beginnt man mit der Konstruktion einer Fläche, die eine Art „Sohle“ darstellt:

Hmm, manchmal muss man nicht nur den Granit der Wissenschaft durchkauen...

I) Finden Sie stationäre Punkte:

Das System ist der Traum eines Idioten :)

Ein stationärer Punkt gehört zu der Region, liegt nämlich auf ihrer Grenze.

Und so ist es in Ordnung... der Unterricht ist gut verlaufen - das bedeutet es, den richtigen Tee zu trinken =)

II) Wir erkunden die Grenze der Region. Beginnen wir ohne weitere Umschweife mit der x-Achse:

1) Wenn, dann

Finden wir heraus, wo sich der Scheitelpunkt der Parabel befindet:
– Schätzen Sie solche Momente – Sie „treffen“ genau an den Punkt, an dem bereits alles klar ist. Aber wir vergessen immer noch nicht, Folgendes zu überprüfen:

Berechnen wir die Werte der Funktion an den Enden des Segments:

2) Behandeln wir den unteren Teil der „Sohle“ „in einer Sitzung“ – ohne Komplexe ersetzen wir ihn in der Funktion und interessieren uns nur für das Segment:

Kontrolle:

Das bringt schon etwas Spannung in das eintönige Fahren auf der Rändelschiene. Lassen Sie uns kritische Punkte finden:

Lass uns entscheiden quadratische Gleichung, erinnerst du dich noch an etwas dazu? ...Denken Sie aber natürlich daran, sonst würden Sie diese Zeilen nicht lesen =) Wenn in den beiden vorherigen Beispielen Berechnungen in Dezimalbrüchen praktisch waren (was übrigens selten vorkommt), dann hier die üblichen gewöhnlichen Brüche erwarten uns. Wir finden die „X“-Wurzeln und verwenden die Gleichung, um die entsprechenden „Spiel“-Koordinaten der „Kandidaten“-Punkte zu bestimmen:


Berechnen wir die Werte der Funktion an den gefundenen Punkten:

Überprüfen Sie die Funktion selbst.

Jetzt studieren wir sorgfältig die gewonnenen Trophäen und schreiben sie auf Antwort:

Das sind „Kandidaten“, das sind „Kandidaten“!

Um es selbst zu lösen:

Beispiel 5

Finden Sie den kleinsten und größten Wert einer Funktion in einem geschlossenen Bereich

Ein Eintrag mit geschweiften Klammern lautet wie folgt: „eine Menge von Punkten, so dass.“

Manchmal verwenden sie in solchen Beispielen Lagrange-Multiplikator-Methode, aber es ist unwahrscheinlich, dass ein wirklicher Bedarf besteht, es zu verwenden. Wenn also zum Beispiel eine Funktion mit der gleichen Fläche „de“ gegeben ist, dann ist es nach der Substitution in diese – mit der Ableitung von – keine Schwierigkeiten; Darüber hinaus ist alles „in einer Zeile“ (mit Zeichen) dargestellt, ohne dass der obere und der untere Halbkreis getrennt betrachtet werden müssen. Es gibt aber natürlich auch komplexere Fälle, in denen auf die Lagrange-Funktion verzichtet wird (wobei zum Beispiel die gleiche Kreisgleichung ist) Es ist schwer, durchzukommen – genauso wie es schwierig ist, ohne eine gute Erholung auszukommen!

Habt alle eine gute Zeit und bis bald nächste Saison!

Lösungen und Antworten:

Beispiel 2: Lösung: Lassen Sie uns den Bereich in der Zeichnung darstellen:

Lassen Sie die Funktion y =F(X) ist stetig im Intervall [ a, b]. Bekanntlich erreicht eine solche Funktion auf diesem Segment ihre Maximal- und Minimalwerte. Die Funktion kann diese Werte entweder am internen Punkt des Segments annehmen [ a, b] oder an der Grenze des Segments.

Um den größten und kleinsten Wert einer Funktion auf dem Segment zu finden [ a, b] notwendig:

1) Finden Sie die kritischen Punkte der Funktion im Intervall ( a, b);

2) Berechnen Sie die Werte der Funktion an den gefundenen kritischen Punkten;

3) Berechnen Sie die Werte der Funktion am Ende des Segments, also wann X=A und x = B;

4) Wählen Sie aus allen berechneten Werten der Funktion den größten und kleinsten aus.

Beispiel. Finden Sie den größten und kleinsten Wert einer Funktion

auf dem Segment.

Kritische Punkte finden:

Diese Punkte liegen innerhalb des Segments; j(1) = ‒ 3; j(2) = ‒ 4; j(0) = ‒ 8; j(3) = 1;

am Punkt X= 3 und an der Stelle X= 0.

Untersuchung einer Funktion für Konvexität und Wendepunkt.

Funktion j = F (X) angerufen konvex zwischen (A, B) , wenn sein Graph unter der an irgendeinem Punkt in diesem Intervall gezogenen Tangente liegt und aufgerufen wird konvex nach unten (konkav), wenn sein Graph über der Tangente liegt.

Der Punkt, durch den Konvexität durch Konkavität ersetzt wird oder umgekehrt, wird aufgerufen Wendepunkt.

Algorithmus zur Untersuchung von Konvexität und Wendepunkt:

1. Finden Sie kritische Punkte zweiter Art, also Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich Null ist oder nicht existiert.

2. Zeichnen Sie kritische Punkte auf der Zahlenlinie ein und teilen Sie sie in Intervalle auf. Finden Sie das Vorzeichen der zweiten Ableitung in jedem Intervall. Wenn, dann ist die Funktion nach oben konvex, wenn, dann ist die Funktion nach unten konvex.

3. Wenn sich beim Durchlaufen eines kritischen Punktes zweiter Art das Vorzeichen ändert und an diesem Punkt die zweite Ableitung gleich Null ist, dann ist dieser Punkt die Abszisse des Wendepunktes. Finden Sie seine Ordinate.

Asymptoten des Graphen einer Funktion. Untersuchung einer Funktion für Asymptoten.

Definition. Die Asymptote des Graphen einer Funktion heißt gerade, die die Eigenschaft hat, dass der Abstand von jedem Punkt im Diagramm zu dieser Linie gegen Null tendiert, wenn sich der Punkt im Diagramm auf unbestimmte Zeit vom Ursprung entfernt.

Es gibt drei Arten von Asymptoten: vertikal, horizontal und geneigt.

Definition. Die Gerade heißt vertikale Asymptote Funktionsgrafiken y = f(x), wenn mindestens einer der einseitigen Grenzen der Funktion an diesem Punkt gleich unendlich ist, also

Wo ist der Diskontinuitätspunkt der Funktion, das heißt, sie gehört nicht zum Definitionsbereich?

Beispiel.

D ( j) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

X= 2 – Bruchpunkt.

Definition. Gerade y =A angerufen horizontale Asymptote Funktionsgrafiken y = f(x) bei , wenn

Beispiel.

Definition. Gerade y =kx +B (k≠ 0) heißt schräge Asymptote Funktionsgrafiken y = f(x) bei , wo

Allgemeines Schema zum Studieren von Funktionen und zum Erstellen von Graphen.

Funktionsforschungsalgorithmusy = f(x) :

1. Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion D (j).

2. Finden Sie (falls möglich) die Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen (falls möglich). X= 0 und bei j = 0).

3. Untersuchen Sie die Funktion auf Gleichmäßigkeit und Ungeradezahl ( j (‒ X) = j (X) ‒ Parität; j(‒ X) = ‒ j (X) ‒ seltsam).

4. Finden Sie die Asymptoten des Funktionsgraphen.

5. Finden Sie die Intervalle der Monotonie der Funktion.

6. Finden Sie die Extrema der Funktion.

7. Finden Sie die Konvexitätsintervalle (Konkavität) und Wendepunkte des Funktionsgraphen.

8. Erstellen Sie auf der Grundlage der durchgeführten Untersuchungen einen Graphen der Funktion.

Beispiel. Erkunden Sie die Funktion und erstellen Sie ihren Graphen.

1) D (j) =

X= 4 – Bruchpunkt.

2) Wann X = 0,

(0; ‒ 5) – Schnittpunkt mit Oh.

Bei j = 0,

3) j(‒ X)= eine Funktion allgemeiner Form (weder gerade noch ungerade).

4) Wir untersuchen auf Asymptoten.

a) vertikal

b) horizontal

c) Finden Sie die schrägen Asymptoten wo

‒schräge Asymptotengleichung

5) In dieser Gleichung ist es nicht notwendig, Intervalle der Monotonie der Funktion zu finden.

6)

Diese kritischen Punkte unterteilen den gesamten Definitionsbereich der Funktion in die Intervalle (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) und (10; +∞). Es ist zweckmäßig, die erzielten Ergebnisse in Form der folgenden Tabelle darzustellen.

Die Funktion $z=f(x,y)$ sei in einem begrenzten geschlossenen Bereich $D$ definiert und stetig. Die gegebene Funktion in diesem Bereich soll endliche partielle Ableitungen erster Ordnung haben (außer vielleicht für eine endliche Anzahl von Punkten). Um den größten und kleinsten Wert einer Funktion zweier Variablen in einem bestimmten geschlossenen Bereich zu finden, sind drei Schritte eines einfachen Algorithmus erforderlich.

Algorithmus zum Finden der größten und kleinsten Werte der Funktion $z=f(x,y)$ in einem geschlossenen Bereich $D$.

1. Finden Sie die kritischen Punkte der Funktion $z=f(x,y)$, die zum Bereich $D$ gehört. Berechnen Sie die Funktionswerte an kritischen Punkten.
2. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion $z=f(x,y)$ an der Grenze der Region $D$ und ermitteln Sie die Punkte möglicher Maximal- und Minimalwerte. Berechnen Sie die Funktionswerte an den erhaltenen Punkten.
3. Wählen Sie aus den in den beiden vorherigen Absätzen erhaltenen Funktionswerten den größten und den kleinsten aus.

Was sind kritische Punkte? Anzeigen Ausblenden

Unter kritische Punkte implizieren Punkte, an denen beide partiellen Ableitungen erster Ordnung gleich Null sind (d. h. $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ und $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) oder mindestens eine partielle Ableitung existiert nicht.

Oft werden die Punkte genannt, an denen partielle Ableitungen erster Ordnung gleich Null sind stationäre Punkte. Somit sind stationäre Punkte eine Teilmenge der kritischen Punkte.

Beispiel Nr. 1

Finden Sie den größten und kleinsten Wert der Funktion $z=x^2+2xy-y^2-4x$ in einem geschlossenen Bereich, der durch die Linien $x=3$, $y=0$ und $y=x begrenzt wird +1$.

Wir folgen dem oben Gesagten, befassen uns aber zunächst mit der Zeichnung einer bestimmten Fläche, die wir mit dem Buchstaben $D$ bezeichnen. Wir erhalten die Gleichungen von drei Geraden, die diesen Bereich begrenzen. Die Gerade $x=3$ verläuft durch den Punkt $(3;0)$ parallel zur Ordinatenachse (Oy-Achse). Die Gerade $y=0$ ist die Gleichung der Abszissenachse (Ox-Achse). Nun, um die Linie $y=x+1$ zu konstruieren, werden wir zwei Punkte finden, durch die wir diese Linie zeichnen. Sie können natürlich anstelle von $x$ auch ein paar beliebige Werte ersetzen. Wenn wir beispielsweise $x=10$ einsetzen, erhalten wir: $y=x+1=10+1=11$. Wir haben den Punkt $(10;11)$ gefunden, der auf der Geraden $y=x+1$ liegt. Es ist jedoch besser, die Punkte zu finden, an denen die Gerade $y=x+1$ die Geraden $x=3$ und $y=0$ schneidet. Warum ist das besser? Denn wir schlagen gleich mehrere Fliegen mit einer Klappe: Wir erhalten zwei Punkte, um die Gerade $y=x+1$ zu konstruieren und finden gleichzeitig heraus, an welchen Punkten diese Gerade andere Linien schneidet, die den gegebenen Bereich begrenzen. Die Linie $y=x+1$ schneidet die Linie $x=3$ am Punkt $(3;4)$, und die Linie $y=0$ schneidet sich am Punkt $(-1;0)$. Um den Lösungsfortschritt nicht durch Hilfserklärungen zu verstopfen, werde ich die Frage nach der Erlangung dieser beiden Punkte in einer Anmerkung stellen.

Wie wurden die Punkte $(3;4)$ und $(-1;0)$ erhalten? Anzeigen Ausblenden

Beginnen wir am Schnittpunkt der Geraden $y=x+1$ und $x=3$. Die Koordinaten des gewünschten Punktes gehören sowohl zur ersten als auch zur zweiten Geraden. Um die unbekannten Koordinaten zu finden, müssen Sie daher das Gleichungssystem lösen:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$

Die Lösung für ein solches System ist trivial: Wenn wir $x=3$ in die erste Gleichung einsetzen, erhalten wir: $y=3+1=4$. Der Punkt $(3;4)$ ist der gewünschte Schnittpunkt der Geraden $y=x+1$ und $x=3$.

Suchen wir nun den Schnittpunkt der Geraden $y=x+1$ und $y=0$. Stellen wir noch einmal das Gleichungssystem zusammen und lösen es:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$

Wenn wir $y=0$ in die erste Gleichung einsetzen, erhalten wir: $0=x+1$, $x=-1$. Der Punkt $(-1;0)$ ist der gewünschte Schnittpunkt der Linien $y=x+1$ und $y=0$ (x-Achse).

Alles ist bereit, um eine Zeichnung zu erstellen, die wie folgt aussieht:

Die Frage nach dem Zettel liegt auf der Hand, denn auf dem Bild ist alles zu sehen. Es ist jedoch zu bedenken, dass eine Zeichnung nicht als Beweismittel dienen kann. Die Zeichnung dient nur zur Veranschaulichung.

Unser Gebiet wurde durch die Gleichungen der Linien definiert, die es begrenzten. Offensichtlich definieren diese Linien ein Dreieck, oder? Oder ist es nicht ganz offensichtlich? Oder vielleicht erhalten wir einen anderen Bereich, der durch dieselben Linien begrenzt wird:

Die Bedingung besagt natürlich, dass der Bereich geschlossen ist, daher ist das gezeigte Bild falsch. Um solche Unklarheiten zu vermeiden, ist es jedoch besser, Regionen durch Ungleichheiten zu definieren. Interessiert uns der Teil der Ebene, der unter der Geraden $y=x+1$ liegt? Ok, also $y ≤ x+1$. Sollte sich unser Bereich oberhalb der Linie $y=0$ befinden? Großartig, das bedeutet $y ≥ 0$. Die letzten beiden Ungleichungen lassen sich übrigens leicht zu einer zusammenfassen: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(aligned) \right. $$

Diese Ungleichungen definieren den Bereich $D$, und zwar eindeutig, ohne dass eine Mehrdeutigkeit zulässig ist. Aber wie hilft uns das bei der Frage, die am Anfang der Notiz gestellt wurde? Es wird auch helfen :) Wir müssen prüfen, ob der Punkt $M_1(1;1)$ zur Fläche $D$ gehört. Setzen wir $x=1$ und $y=1$ in das Ungleichungssystem ein, das diese Region definiert. Wenn beide Ungleichungen erfüllt sind, liegt der Punkt innerhalb der Region. Wenn mindestens eine der Ungleichungen nicht erfüllt ist, gehört der Punkt nicht zur Region. Also:

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right $$.

Beide Ungleichungen sind gültig. Punkt $M_1(1;1)$ gehört zur Region $D$.

Jetzt ist es an der Zeit, das Verhalten der Funktion an der Grenze der Region zu untersuchen, d. h. Lass uns gehen. Beginnen wir mit der Geraden $y=0$.

Die Gerade $y=0$ (Abszissenachse) begrenzt den Bereich $D$ unter der Bedingung $-1 ≤ x ≤ 3$. Ersetzen wir $y=0$ in die gegebene Funktion $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Wir bezeichnen die Funktion einer Variablen $x$, die als Ergebnis der Substitution erhalten wurde, als $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Nun müssen wir für die Funktion $f_1(x)$ den größten und kleinsten Wert im Intervall $-1 ≤ x ≤ 3$ finden. Finden wir die Ableitung dieser Funktion und setzen sie mit Null gleich:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Der Wert $x=2$ gehört zum Segment $-1 ≤ x ≤ 3$, daher werden wir auch $M_2(2;0)$ zur Liste der Punkte hinzufügen. Berechnen wir außerdem die Werte der Funktion $z$ an den Enden des Segments $-1 ≤ x ≤ 3$, d.h. an den Punkten $M_3(-1;0)$ und $M_4(3;0)$. Übrigens, wenn der Punkt $M_2$ nicht zum betrachteten Segment gehörte, wäre es natürlich nicht nötig, den Wert der Funktion $z$ darin zu berechnen.

Berechnen wir also die Werte der Funktion $z$ an den Punkten $M_2$, $M_3$, $M_4$. Sie können die Koordinaten dieser Punkte natürlich in den ursprünglichen Ausdruck $z=x^2+2xy-y^2-4x$ einsetzen. Für den Punkt $M_2$ erhalten wir beispielsweise:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Die Berechnungen können jedoch etwas vereinfacht werden. Dazu ist es wichtig, sich daran zu erinnern, dass auf dem Segment $M_3M_4$ $z(x,y)=f_1(x)$ gilt. Ich schreibe das im Detail auf:

\begin(aligned) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(ausgerichtet)

Solche detaillierten Aufzeichnungen sind in der Regel natürlich nicht erforderlich und wir werden in Zukunft alle Berechnungen kurz aufschreiben:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Wenden wir uns nun der Geraden $x=3$ zu. Diese Gerade begrenzt den Bereich $D$ unter der Bedingung $0 ≤ y ≤ 4$. Ersetzen wir $x=3$ in die gegebene Funktion $z$. Als Ergebnis dieser Substitution erhalten wir die Funktion $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Für die Funktion $f_2(y)$ müssen wir den größten und kleinsten Wert im Intervall $0 ≤ y ≤ 4$ finden. Finden wir die Ableitung dieser Funktion und setzen sie mit Null gleich:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Der Wert $y=3$ gehört zum Segment $0 ≤ y ≤ 4$, daher werden wir auch $M_5(3;3)$ zu den zuvor gefundenen Punkten hinzufügen. Darüber hinaus ist es notwendig, den Wert der Funktion $z$ an den Punkten an den Enden des Segments $0 ≤ y ≤ 4$ zu berechnen, d.h. an den Punkten $M_4(3;0)$ und $M_6(3;4)$. Am Punkt $M_4(3;0)$ haben wir bereits den Wert von $z$ berechnet. Berechnen wir den Wert der Funktion $z$ an den Punkten $M_5$ und $M_6$. Ich möchte Sie daran erinnern, dass auf dem Segment $M_4M_6$ $z(x,y)=f_2(y)$ gilt, also:

\begin(aligned) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(ausgerichtet)

Und schließlich betrachten wir die letzte Grenze der Region $D$, d. h. gerade Linie $y=x+1$. Diese Gerade begrenzt den Bereich $D$ unter der Bedingung $-1 ≤ x ≤ 3$. Wenn wir $y=x+1$ in die Funktion $z$ einsetzen, erhalten wir:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Wieder einmal haben wir eine Funktion einer Variablen $x$. Und wieder müssen wir den größten und kleinsten Wert dieser Funktion im Intervall $-1 ≤ x ≤ 3$ finden. Finden wir die Ableitung der Funktion $f_(3)(x)$ und setzen sie mit Null gleich:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Der Wert $x=1$ gehört zum Intervall $-1 ≤ x ≤ 3$. Wenn $x=1$, dann $y=x+1=2$. Fügen wir $M_7(1;2)$ zur Liste der Punkte hinzu und finden wir heraus, welchen Wert die Funktion $z$ an diesem Punkt hat. Punkte an den Enden des Segments $-1 ≤ x ≤ 3$, d.h. Die Punkte $M_3(-1;0)$ und $M_6(3;4)$ wurden bereits früher betrachtet, wir haben den Wert der Funktion darin bereits gefunden.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Der zweite Schritt der Lösung ist abgeschlossen. Wir haben sieben Werte erhalten:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Wenden wir uns an . Wenn wir aus den im dritten Absatz erhaltenen Zahlen den größten und kleinsten Wert auswählen, erhalten wir:

$$z_(min)=-4; \; z_(max)=6.$$

Das Problem ist gelöst, es bleibt nur noch die Antwort aufzuschreiben.

Antwort: $z_(min)=-4; \; z_(max)=6$.

Beispiel Nr. 2

Finden Sie den größten und kleinsten Wert der Funktion $z=x^2+y^2-12x+16y$ im Bereich $x^2+y^2 ≤ 25$.

Lassen Sie uns zunächst eine Zeichnung erstellen. Die Gleichung $x^2+y^2=25$ (dies ist die Grenzlinie einer bestimmten Fläche) definiert einen Kreis mit einem Mittelpunkt im Ursprung (d. h. am Punkt $(0;0)$) und einem Radius von 5. Die Ungleichung $x^2 +y^2 ≤ $25 erfüllt alle Punkte innerhalb und auf dem genannten Kreis.

Wir werden entsprechend handeln. Lassen Sie uns partielle Ableitungen finden und die kritischen Punkte herausfinden.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

Es gibt keine Punkte, an denen die gefundenen partiellen Ableitungen nicht existieren. Finden wir heraus, an welchen Punkten beide partiellen Ableitungen gleichzeitig gleich Null sind, d.h. Lasst uns stationäre Punkte finden.

$$ \left \( \begin(aligned) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\ & y=-8. \end(aligned) \right $$.

Wir haben einen stationären Punkt $(6;-8)$ erhalten. Der gefundene Punkt gehört jedoch nicht zum Bereich $D$. Dies lässt sich leicht zeigen, ohne dass man auf eine Zeichnung zurückgreifen muss. Überprüfen wir, ob die Ungleichung $x^2+y^2 ≤ 25$ gilt, die unsere Region $D$ definiert. Wenn $x=6$, $y=-8$, dann $x^2+y^2=36+64=100$, d.h. die Ungleichung $x^2+y^2 ≤ 25$ gilt nicht. Schlussfolgerung: Punkt $(6;-8)$ gehört nicht zum Bereich $D$.

Es gibt also keine kritischen Punkte innerhalb der Region $D$. Lass uns weitergehen zu... Wir müssen das Verhalten der Funktion an der Grenze eines bestimmten Bereichs untersuchen, d. h. auf dem Kreis $x^2+y^2=25$. Wir können $y$ natürlich durch $x$ ausdrücken und den resultierenden Ausdruck dann in unsere Funktion $z$ einsetzen. Aus der Kreisgleichung erhalten wir: $y=\sqrt(25-x^2)$ oder $y=-\sqrt(25-x^2)$. Wenn wir beispielsweise $y=\sqrt(25-x^2)$ in die gegebene Funktion einsetzen, erhalten wir:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Die weitere Lösung wird völlig identisch mit der Untersuchung des Verhaltens der Funktion an der Grenze der Region im vorherigen Beispiel Nr. 1 sein. Allerdings erscheint es mir sinnvoller, in dieser Situation die Lagrange-Methode anzuwenden. Wir werden uns nur für den ersten Teil dieser Methode interessieren. Nachdem wir den ersten Teil der Lagrange-Methode angewendet haben, erhalten wir Punkte, an denen wir die Funktion $z$ auf Minimal- und Maximalwerte untersuchen.

Wir bilden die Lagrange-Funktion:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Wir finden die partiellen Ableitungen der Lagrange-Funktion und stellen das entsprechende Gleichungssystem auf:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (ausgerichtet) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0 rechts. \left \( \begin(aligned) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end(aligned)\right.$ $

Um dieses System zu lösen, weisen wir sofort darauf hin, dass $\lambda\neq -1$. Warum $\lambda\neq -1$? Versuchen wir, $\lambda=-1$ in die erste Gleichung einzusetzen:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Der resultierende Widerspruch $0=6$ zeigt an, dass der Wert $\lambda=-1$ inakzeptabel ist. Ausgabe: $\lambda\neq -1$. Lassen Sie uns $x$ und $y$ durch $\lambda$ ausdrücken:

\begin(aligned) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(ausgerichtet)

Ich glaube, dass hier deutlich wird, warum wir speziell die Bedingung $\lambda\neq -1$ festgelegt haben. Dies wurde durchgeführt, um den Ausdruck $1+\lambda$ störungsfrei in die Nenner einzupassen. Das heißt, um sicherzustellen, dass der Nenner $1+\lambda\neq 0$ ist.

Setzen wir die resultierenden Ausdrücke für $x$ und $y$ in die dritte Gleichung des Systems ein, d. h. in $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Aus der resultierenden Gleichheit folgt, dass $1+\lambda=2$ oder $1+\lambda=-2$. Daher haben wir zwei Werte des Parameters $\lambda$, nämlich: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Dementsprechend erhalten wir zwei Wertepaare $x$ und $y$:

\begin(aligned) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(ausgerichtet)

Wir haben also zwei Punkte eines möglichen bedingten Extremums erhalten, d. h. $M_1(3;-4)$ und $M_2(-3;4)$. Finden wir die Werte der Funktion $z$ an den Punkten $M_1$ und $M_2$:

\begin(aligned) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(ausgerichtet)

Wir sollten die größten und kleinsten Werte aus den im ersten und zweiten Schritt erhaltenen Werten auswählen. Aber in diesem Fall ist die Auswahl gering :) Wir haben:

$$ z_(min)=-75; \; z_(max)=125. $$

Antwort: $z_(min)=-75; \; z_(max)=$125.

\(\blacktriangleright\) Um den größten/kleinsten Wert einer Funktion auf dem Segment \(\) zu finden, ist es notwendig, den Graphen der Funktion auf diesem Segment schematisch darzustellen.
Bei Problemen aus diesem Unterthema kann dies mithilfe der Ableitung erfolgen: Ermitteln Sie die Intervalle für zunehmende (\(f">0\) ) und abnehmende (\(f"<0\) ) функции, критические точки (где \(f"=0\) или \(f"\) не существует).

\(\blacktriangleright\) Vergessen Sie nicht, dass die Funktion den größten/kleinsten Wert nicht nur an den inneren Punkten des Segments \(\), sondern auch an seinen Enden annehmen kann.

\(\blacktriangleright\) Der größte/kleinste Wert der Funktion ist der Koordinatenwert \(y=f(x)\) .

\(\blacktriangleright\) Die Ableitung einer komplexen Funktion \(f(t(x))\) wird nach der Regel gefunden: \[(\Large(f"(x)=f"(t)\cdot t"(x)))\]
\[\begin(array)(|r|c|c|) \hline & \text(Function ) f(x) & \text(Derivative ) f"(x)\\ \hline \textbf(1) & c & 0\\&&\\ \textbf(2) & x^a & a\cdot x^(a-1)\\&&\\ \textbf(3) & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \ textbf(4) & \log_ax & \dfrac1(x\cdot \ln a)\\&&\\ \textbf(5) & e^x & e^x\\&&\\ \textbf(6) & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf(7) & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf(8) & \cos x & -\sin x\\ \hline \end(array) \quad \quad \quad \quad \begin(array)(|r|c|c|) \hline & \text(Funktion ) f(x) & \text(Ableitung ) f"(x) \\ \hline \textbf(9) & \mathrm(tg)\, x & \dfrac1(\cos^2 x)\\&&\\ \textbf(10) & \mathrm(ctg)\, x & -\ ,\dfrac1(\sin^2 x)\\&&\\ \textbf(11) & \arcsin x & \dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(12) & \ arccos x & -\,\dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(13) & \mathrm(arctg)\, x & \dfrac1(1+x^2)\\ &&\\ \textbf(14) & \mathrm(arcctg)\, x & -\,\dfrac1(1+x^2)\\ \hline \end(array)\]

Aufgabe 1 #2357

Aufgabenniveau: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen

Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion \(y = e^(x^2 - 4)\) auf dem Segment \([-10; -2]\).

ODZ: \(x\) – beliebig.

1) \

\ Somit ist \(y" = 0\) für \(x = 0\) .

3) Finden wir Intervalle mit konstantem Vorzeichen \(y"\) auf dem betrachteten Segment \([-10; -2]\):

4) Skizze eines Graphen auf der Strecke \([-10; -2]\):

Somit erreicht die Funktion ihren kleinsten Wert bei \([-10; -2]\) bei \(x = -2\) .

\ Gesamt: \(1\) – der kleinste Wert der Funktion \(y\) auf \([-10; -2]\) .

Antwort 1

Aufgabe 2 #2355

Aufgabenniveau: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen

\(y = \sqrt(2)\cdot\sqrt(x^2 + 1)\) auf dem Segment \([-1; 1]\) .

ODZ: \(x\) – beliebig.

1) \

Suchen wir kritische Punkte (d. h. interne Punkte des Definitionsbereichs der Funktion, an denen ihre Ableitung gleich \(0\) ist oder nicht existiert): \[\sqrt(2)\cdot\dfrac(x)(\sqrt(x^2 + 1)) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\,.\] Die Ableitung existiert für jedes \(x\) .

2) Finden Sie Intervalle mit konstantem Vorzeichen \(y"\):

3) Finden wir Intervalle mit konstantem Vorzeichen \(y"\) auf dem betrachteten Segment \([-1; 1]\):

4) Skizze eines Graphen auf der Strecke \([-1; 1]\):

Somit erreicht die Funktion ihren größten Wert bei \([-1; 1]\) bei \(x = -1\) oder bei \(x = 1\) . Vergleichen wir die Funktionswerte an diesen Punkten.

\ Gesamt: \(2\) – der größte Wert der Funktion \(y\) auf \([-1; 1]\) .

Antwort: 2

Aufgabe 3 #2356

Aufgabenniveau: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen

Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion \(y = \cos 2x\) auf dem Segment \(\) .

ODZ: \(x\) – beliebig.

1) \

Suchen wir kritische Punkte (d. h. interne Punkte des Definitionsbereichs der Funktion, an denen ihre Ableitung gleich \(0\) ist oder nicht existiert): \[-2\cdot \sin 2x = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x = \pi n, n\in\mathbb(Z)\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \dfrac(\pi n)(2), n\in\mathbb(Z)\,.\] Die Ableitung existiert für jedes \(x\) .

2) Finden Sie Intervalle mit konstantem Vorzeichen \(y"\):

(hier gibt es unendlich viele Intervalle, in denen sich die Vorzeichen der Ableitung abwechseln).

3) Finden wir Intervalle mit konstantem Vorzeichen \(y"\) auf dem betrachteten Segment \(\):

4) Skizze eines Graphen auf der Strecke \(\) :

Somit erreicht die Funktion ihren kleinsten Wert auf \(\) bei \(x = \dfrac(\pi)(2)\) .

\ Gesamt: \(-1\) – der kleinste Wert der Funktion \(y\) auf \(\) .

Antwort 1

Aufgabe 4 #915

Aufgabenniveau: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen

Finden Sie den größten Wert der Funktion

\(y = -\log_(17)(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2)\).

ODZ: \(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2 > 0\) . Entscheiden wir uns für ODZ:

1) Bezeichnen wir \(2x^2-2\sqrt(2)x+2=t(x)\) , dann \(y(t)=-\log_(17)t\) .

Suchen wir kritische Punkte (d. h. interne Punkte des Definitionsbereichs der Funktion, an denen ihre Ableitung gleich \(0\) ist oder nicht existiert): \[-\dfrac(1)(\ln 17)\cdot\dfrac(4x-2\sqrt(2))(2x^2-2\sqrt(2)x+2) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 4x-2\sqrt(2) = 0\]– auf der ODZ, von wo aus wir die Wurzel \(x = \dfrac(\sqrt(2))(2)\) finden. Die Ableitung der Funktion \(y\) existiert nicht, wenn \(2x^2-2\sqrt(2)x+2 = 0\), aber diese Gleichung hat eine negative Diskriminante und hat daher keine Lösungen. Um den größten/kleinsten Wert einer Funktion zu finden, müssen Sie verstehen, wie ihr Diagramm schematisch aussieht.

2) Finden Sie Intervalle mit konstantem Vorzeichen \(y"\):

3) Skizze der Grafik:

Somit erreicht die Funktion ihren größten Wert bei \(x = \dfrac(\sqrt(2))(2)\) :

\(y\left(\dfrac(\sqrt(2))(2)\right) = -\log_(17)1 = 0\),

Gesamt: \(0\) – der größte Wert der Funktion \(y\) .

Antwort: 0

Aufgabe 5 #2344

Aufgabenniveau: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen

Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion

\(y = \log_(3)(x^2 + 8x + 19)\).

ODZ: \(x^2 + 8x + 19 > 0\) . Entscheiden wir uns für ODZ:

1) Bezeichnen wir \(x^2 + 8x + 19=t(x)\) , dann \(y(t)=\log_(3)t\) .

Suchen wir kritische Punkte (d. h. interne Punkte des Definitionsbereichs der Funktion, an denen ihre Ableitung gleich \(0\) ist oder nicht existiert): \[\dfrac(1)(\ln 3)\cdot\dfrac(2x+8)(x^2 + 8x + 19) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x+8 = 0\]– auf der ODZ, von wo aus wir die Wurzel \(x = -4\) finden. Die Ableitung der Funktion \(y\) existiert nicht, wenn \(x^2 + 8x + 19 = 0\), aber diese Gleichung hat eine negative Diskriminante und daher keine Lösungen. Um den größten/kleinsten Wert einer Funktion zu finden, müssen Sie verstehen, wie ihr Diagramm schematisch aussieht.

2) Finden Sie Intervalle mit konstantem Vorzeichen \(y"\):

3) Skizze der Grafik:

Somit ist \(x = -4\) der Minimalpunkt der Funktion \(y\) und an diesem wird der kleinste Wert erreicht:

\(y(-4) = \log_(3)3 = 1\) .

Gesamt: \(1\) – der kleinste Wert der Funktion \(y\) .

Antwort 1

Aufgabe 6 #917

Aufgabenniveau: Schwieriger als das Einheitliche Staatsexamen

Finden Sie den größten Wert der Funktion

\(y = -e^((x^2 - 12x + 36 + 2\ln 2))\).

Ein kleines und ziemlich einfaches Problem, wie es einem schwimmenden Studenten als Lebensretter dient. In der Natur ist es Mitte Juli, also ist es Zeit, sich mit Ihrem Laptop am Strand niederzulassen. Am frühen Morgen begann der Sonnenstrahl der Theorie zu spielen, um sich bald auf die Praxis zu konzentrieren, die trotz der erklärten Leichtigkeit Glasscherben im Sand enthält. In diesem Zusammenhang empfehle ich Ihnen, sich gewissenhaft mit den wenigen Beispielen dieser Seite auseinanderzusetzen. Um praktische Probleme zu lösen, muss man dazu in der Lage sein Derivate finden und den Inhalt des Artikels verstehen Monotonieintervalle und Extrema der Funktion.

Zunächst kurz zum Wesentlichen. In der Lektion über Kontinuität der Funktion Ich habe die Kontinuität an einem Punkt und die Kontinuität in einem Intervall definiert. Das beispielhafte Verhalten einer Funktion auf einem Segment wird ähnlich formuliert. Eine Funktion ist in einem Intervall stetig, wenn:

1) es ist im Intervall stetig;
2) kontinuierlich an einem Punkt rechts und zwar auf den Punkt links.

Im zweiten Absatz haben wir über das sogenannte gesprochen einseitige Kontinuität Funktionen an einem Punkt. Es gibt verschiedene Ansätze, es zu definieren, aber ich bleibe bei der Linie, die ich zuvor begonnen habe:

Die Funktion ist im Punkt stetig rechts, wenn sie an einem bestimmten Punkt definiert ist und ihr rechter Grenzwert mit dem Wert der Funktion an einem bestimmten Punkt übereinstimmt: . Es ist an der Stelle kontinuierlich links, wenn an einem bestimmten Punkt definiert und sein linker Grenzwert gleich dem Wert an diesem Punkt ist:

Stellen Sie sich vor, dass die grünen Punkte Nägel sind, an denen ein magisches Gummiband befestigt ist:

Nehmen Sie die rote Linie gedanklich in die Hand. Offensichtlich bleibt die Funktion erhalten, egal wie weit wir den Graphen nach oben und unten (entlang der Achse) strecken begrenzt– oben ein Zaun, unten ein Zaun und schon weidet unser Produkt auf der Koppel. Auf diese Weise, Eine auf einem Intervall stetige Funktion ist darauf beschränkt. Im Zuge der mathematischen Analyse wird diese scheinbar einfache Tatsache dargelegt und streng bewiesen. Der erste Satz von Weierstrass....Viele Menschen ärgern sich darüber, dass elementare Aussagen in der Mathematik mühsam begründet werden, aber das hat eine wichtige Bedeutung. Angenommen, ein bestimmter Bewohner des Frottee-Mittelalters zog einen Graphen in den Himmel, der über die Grenzen der Sichtbarkeit hinausging, und dieser wurde eingefügt. Vor der Erfindung des Teleskops war die eingeschränkte Funktion im Weltraum überhaupt nicht offensichtlich! Woher wissen Sie wirklich, was uns hinter dem Horizont erwartet? Schließlich galt die Erde einst als flach, sodass heute selbst eine gewöhnliche Teleportation einen Beweis erfordert =)

Entsprechend Der zweite Satz von Weierstrass, kontinuierlich auf einem Segmentdie Funktion erreicht ihr Ziel genaue Obergrenze und deins exakte Unterkante .

Die Nummer wird auch angerufen der maximale Wert der Funktion auf dem Segment und werden mit bezeichnet, und die Zahl ist der minimale Wert der Funktion auf dem Segment markiert.

In unserem Fall:

Notiz : Theoretisch sind Aufnahmen üblich .

Grob gesagt ist der größte Wert dort, wo sich der höchste Punkt im Diagramm befindet, und der kleinste Wert dort, wo sich der niedrigste Punkt befindet.

Wichtig! Wie bereits im Artikel darüber betont Extrema der Funktion, größter Funktionswert Und kleinster Funktionswert – NICHT DAS GLEICHE, Was maximale Funktion Und minimale Funktion. Im betrachteten Beispiel ist die Zahl also das Minimum der Funktion, aber nicht der Minimalwert.

Was passiert übrigens außerhalb des Segments? Ja, selbst eine Überschwemmung interessiert uns im Kontext des betrachteten Problems überhaupt nicht. Die Aufgabe besteht lediglich darin, zwei Zahlen zu finden und alle!

Darüber hinaus ist die Lösung daher rein analytisch Es ist nicht nötig, eine Zeichnung anzufertigen!

Der Algorithmus liegt an der Oberfläche und ergibt sich aus der obigen Abbildung:

1) Finden Sie die Werte der Funktion in kritische Punkte, die zu diesem Segment gehören.

Ein weiterer Vorteil: Hier ist es nicht erforderlich, die hinreichende Bedingung für ein Extremum zu prüfen, da, wie gerade gezeigt, das Vorhandensein eines Minimums oder Maximums erforderlich ist garantiert noch nicht, was ist der minimale oder maximale Wert? Die Demonstrationsfunktion erreicht ein Maximum und durch den Willen des Schicksals ist dieselbe Zahl der größte Wert der Funktion auf dem Segment. Aber natürlich kommt es nicht immer zu einem solchen Zufall.

Im ersten Schritt ist es also schneller und einfacher, die Werte der Funktion an kritischen Punkten des Segments zu berechnen, ohne sich darum zu kümmern, ob sie Extrema enthalten oder nicht.

2) Wir berechnen die Werte der Funktion an den Enden des Segments.

3) Wählen Sie unter den im 1. und 2. Absatz gefundenen Funktionswerten die kleinste und größte Zahl aus und notieren Sie die Antwort.

Wir setzen uns ans Ufer des blauen Meeres und schlagen mit den Absätzen ins flache Wasser:

Beispiel 1

Finden Sie den größten und kleinsten Wert einer Funktion in einem Segment

Lösung:
1) Berechnen wir die Werte der Funktion an kritischen Punkten, die zu diesem Segment gehören:

Berechnen wir den Wert der Funktion am zweiten kritischen Punkt:

2) Berechnen wir die Werte der Funktion an den Enden des Segments:

3) „Fette“ Ergebnisse wurden mit Exponenten und Logarithmen erhalten, was ihren Vergleich erheblich erschwert. Aus diesem Grund bewaffnen wir uns mit einem Taschenrechner oder Excel und berechnen ungefähre Werte. Vergessen wir dabei nicht:

Jetzt ist alles klar.

Antwort:

Bruchrational-Instanz für unabhängige Lösung:

Beispiel 6

Finden Sie die Maximal- und Minimalwerte einer Funktion auf einem Segment