Quadratische Funktion. Parabel – Eigenschaften und Graph einer quadratischen Funktion Wie die Parabelformel aussieht

Betrachten Sie eine Linie in der Ebene und einen Punkt, der nicht auf dieser Linie liegt. UND Ellipse, Und Hyperbel kann einheitlich als geometrischer Ort von Punkten definiert werden, für die das Verhältnis der Entfernung zu einem bestimmten Punkt zur Entfernung zu einer bestimmten geraden Linie ein konstanter Wert ist

Rang ε. Bei 0 1 - Hyperbel. Der Parameter ε ist Exzentrizität von Ellipse und Hyperbel. Von den möglichen positiven Werten des Parameters ε erweist sich einer, nämlich ε = 1, als ungenutzt. Dieser Wert entspricht dem geometrischen Ort von Punkten, die von einem gegebenen Punkt und von einer gegebenen Linie gleich weit entfernt sind.

Definition 8.1. Der Ort von Punkten in einer Ebene, die von einem festen Punkt und von einer festen Linie gleich weit entfernt sind, wird genannt Parabel.

Der Fixpunkt heißt Brennpunkt der Parabel, und die gerade Linie - Leitlinie einer Parabel. Gleichzeitig wird davon ausgegangen Exzentrizität der Parabel gleich eins.

Aus geometrischen Überlegungen folgt, dass die Parabel symmetrisch bezüglich der Geraden ist, die senkrecht zur Leitlinie steht und durch den Brennpunkt der Parabel verläuft. Diese Gerade wird als Symmetrieachse der Parabel oder einfach bezeichnet die Achse der Parabel. Eine Parabel schneidet ihre Symmetrieachse in einem einzigen Punkt. Dieser Punkt heißt der Scheitelpunkt der Parabel. Es befindet sich in der Mitte des Segments, das den Brennpunkt der Parabel mit dem Schnittpunkt ihrer Achse mit der Leitlinie verbindet (Abb. 8.3).

Parabelgleichung. Um die Gleichung einer Parabel abzuleiten, wählen wir die Ebene aus Herkunft am Scheitelpunkt der Parabel, wie x-Achse- die Achse der Parabel, deren positive Richtung durch die Position des Fokus vorgegeben wird (siehe Abb. 8.3). Dieses Koordinatensystem heißt kanonisch für die betreffende Parabel und die entsprechenden Variablen sind kanonisch.

Bezeichnen wir den Abstand vom Fokus zur Leitlinie mit p. Er heißt Brennparameter der Parabel.

Dann hat der Fokus die Koordinaten F(p/2; 0) und die Leitlinie d wird durch die Gleichung x = - p/2 beschrieben. Der Ort der Punkte M(x; y), die vom Punkt F und von der Linie d gleich weit entfernt sind, ist durch die Gleichung gegeben

Lassen Sie uns Gleichung (8.2) quadrieren und ähnliche darstellen. Wir erhalten die Gleichung

Was heisst kanonische Parabelgleichung.

Beachten Sie, dass die Quadrierung in diesem Fall eine äquivalente Transformation der Gleichung (8.2) ist, da beide Seiten der Gleichung nicht negativ sind, ebenso wie der Ausdruck unter der Wurzel.

Art der Parabel. Wenn die Parabel y 2 = x, deren Form wir als bekannt betrachten, mit einem Koeffizienten 1/(2ð) entlang der Abszissenachse komprimiert wird, erhält man eine Parabel allgemeiner Form, die durch Gleichung (8.3) beschrieben wird.

Beispiel 8.2. Finden wir die Koordinaten des Fokus und die Gleichung der Leitlinie einer Parabel, wenn sie durch einen Punkt verläuft, dessen kanonische Koordinaten (25; 10) sind.

In kanonischen Koordinaten hat die Parabelgleichung die Form y 2 = 2px. Da der Punkt (25; 10) auf der Parabel liegt, ist 100 = 50p und daher p = 2. Daher ist y 2 = 4x die kanonische Gleichung der Parabel, x = - 1 die Gleichung ihrer Leitlinie und die Der Fokus liegt auf dem Punkt (1; 0).

Optische Eigenschaft einer Parabel. Die Parabel hat Folgendes optische Eigenschaft. Wenn eine Lichtquelle im Brennpunkt der Parabel platziert wird, verlaufen alle Lichtstrahlen nach der Reflexion an der Parabel parallel zur Achse der Parabel (Abb. 8.4). Die optische Eigenschaft bedeutet, dass an jedem Punkt M der Parabel Normalenvektor Die Tangente bildet mit dem Fokusradius MF und der Abszissenachse gleiche Winkel.

OPR 1.Parabel ist der geometrische Ort von Punkten auf der Ebene, deren Abstände zu einem Punkt, dem sogenannten Fokus, und zu einer geraden Linie, der sogenannten Leitlinie, gleich sind.

Um die Gleichung einer Parabel abzuleiten, führen wir ein rechtwinkliges Koordinatensystem in der Ebene ein, sodass die x-Achse durch den Fokus senkrecht zur Leitlinie verläuft, und wir betrachten seine positive Richtung als die Richtung von der Leitlinie zum Fokus. Platzieren wir den Koordinatenursprung in der Mitte zwischen dem Fokus und der Leitlinie. Lassen Sie uns die Gleichung der Parabel im ausgewählten Koordinatensystem herleiten.

Sei M ( X; bei) ist ein beliebiger Punkt auf der Ebene.

Bezeichnen wir mit R Abstand vom Punkt M zum Fokus F, let R= FM,

durch D ist der Abstand vom Punkt zur Leitlinie und durch R Abstand vom Fokus zum Regisseur.

Größe R wird Parabelparameter genannt; seine geometrische Bedeutung wird unten offenbart.

Punkt M liegt genau dann auf einer gegebenen Parabel, wenn r = d.

In diesem Fall haben wir

Die gleichung

j 2 = 2 p x

angerufen kanonische Parabelgleichung .

Eigenschaften einer Parabel

1. Die Parabel geht durch den Ursprung, weil Die Koordinaten des Ursprungs erfüllen die Gleichung einer Parabel.

2. Die Parabel ist symmetrisch zur OX-Achse, weil Punkte mit Koordinaten ( X, j) Und ( X, − j) erfüllen die Parabelgleichung.

3. Wenn R> 0, dann sind die Äste der Parabel nach rechts gerichtet und die Parabel liegt in der rechten Halbebene.

4. Punkt O heißt Scheitelpunkt der Parabel, Symmetrieachse (Achse). Oh) - die Achse der Parabel.

Stufe III

3.1. Übertreibung berührt Zeilen 5 X – 6j – 16 = 0, 13X – 10j– – 48 = 0. Geben Sie die Gleichung der Hyperbel an, vorausgesetzt, dass ihre Achsen mit den Koordinatenachsen übereinstimmen.

3.2. Schreiben Sie Gleichungen für Tangenten an eine Hyperbel

1) Durch einen Punkt gehen A(4, 1), B(5, 2) und C(5, 6);

2) parallel zur Geraden 10 X – 3j + 9 = 0;

3) senkrecht zur Geraden 10 X – 3j + 9 = 0.

Parabel ist der geometrische Ort der Punkte in der Ebene, deren Koordinaten die Gleichung erfüllen

Parabelparameter:

Punkt F(P/2, 0) aufgerufen wird Fokus Parabeln, Größe P – Parameter , Punkt UM(0, 0) – Spitze . In diesem Fall die Gerade VON, um die die Parabel symmetrisch ist, definiert die Achse dieser Kurve.

Größe Wo M(X, j) – ein beliebiger Punkt einer Parabel, genannt Fokusradius , gerade D: X = –P/2 – Schulleiterin (es schneidet nicht den inneren Bereich der Parabel). Größe wird Exzentrizität der Parabel genannt.

Die wichtigste charakteristische Eigenschaft einer Parabel: Alle Punkte der Parabel haben den gleichen Abstand von der Leitlinie und dem Brennpunkt (Abb. 24).

Es gibt andere Formen der kanonischen Parabelgleichung, die andere Richtungen ihrer Zweige im Koordinatensystem bestimmen (Abb. 25):

Für parametrische Definition einer Parabel als Parameter T der Ordinatenwert des Parabelpunktes kann genommen werden:

Wo T ist eine beliebige reelle Zahl.

Beispiel 1. Bestimmen Sie die Parameter und die Form einer Parabel mithilfe ihrer kanonischen Gleichung:

Lösung. 1. Gleichung j 2 = –8X definiert eine Parabel mit Scheitelpunkt im Punkt UM Oh. Seine Zweige sind nach links gerichtet. Vergleichen Sie diese Gleichung mit der Gleichung j 2 = –2px, wir finden: 2 P = 8, P = 4, P/2 = 2. Daher liegt der Fokus auf dem Punkt F(–2; 0), Leitliniengleichung D: X= 2 (Abb. 26).

2. Gleichung X 2 = –4j definiert eine Parabel mit Scheitelpunkt im Punkt Ö(0; 0), symmetrisch um die Achse Oy. Seine Äste sind nach unten gerichtet. Vergleichen Sie diese Gleichung mit der Gleichung X 2 = –2py, wir finden: 2 P = 4, P = 2, P/2 = 1. Daher liegt der Fokus auf dem Punkt F(0; –1), Leitliniengleichung D: j= 1 (Abb. 27).

Beispiel 2. Bestimmen Sie Parameter und Kurventyp X 2 + 8X – 16j– 32 = 0. Erstellen Sie eine Zeichnung.

Lösung. Lassen Sie uns die linke Seite der Gleichung mit der Methode der vollständigen Quadratextraktion transformieren:

X 2 + 8X– 16j – 32 =0;

(X + 4) 2 – 16 – 16j – 32 =0;

(X + 4) 2 – 16j – 48 =0;

(X + 4) 2 – 16(j + 3).

Als Ergebnis erhalten wir

(X + 4) 2 = 16(j + 3).

Dies ist die kanonische Gleichung einer Parabel mit dem Scheitelpunkt im Punkt (–4, –3), dem Parameter P= 8, Äste zeigen nach oben (), Achse X= –4. Der Fokus liegt auf dem Punkt F(–4; –3 + P/2), d.h. F(–4; 1) Schulleiterin D gegeben durch die Gleichung j = –3 – P/2 oder j= –7 (Abb. 28).

Beispiel 4. Schreiben Sie eine Gleichung für eine Parabel, deren Scheitelpunkt im Punkt liegt V(3; –2) und konzentrieren Sie sich auf den Punkt F(1; –2).

Lösung. Scheitelpunkt und Brennpunkt einer gegebenen Parabel liegen auf einer Geraden parallel zur Achse Ochse(gleiche Ordinaten), die Äste der Parabel sind nach links gerichtet (die Abszisse des Fokus ist kleiner als die Abszisse des Scheitelpunkts), der Abstand vom Fokus zum Scheitelpunkt beträgt P/2 = 3 – 1 = 2, P= 4. Daher die erforderliche Gleichung

(j+ 2) 2 = –2 4( X– 3) oder ( j + 2) 2 = = –8(X – 3).

Aufgaben zur eigenständigen Lösung

Ich nivelliere

1.1. Bestimmen Sie die Parameter der Parabel und konstruieren Sie sie:

1) j 2 = 2X; 2) j 2 = –3X;

3) X 2 = 6j; 4) X 2 = –j.

1.2. Schreiben Sie die Gleichung einer Parabel mit ihrem Scheitelpunkt im Ursprung, wenn Sie Folgendes wissen:

1) Die Parabel liegt symmetrisch zur Achse in der linken Halbebene Ochse Und P = 4;

2) Die Parabel liegt symmetrisch zur Achse Oy und geht durch den Punkt M(4; –2).

3) Die Leitlinie ist durch Gleichung 3 gegeben j + 4 = 0.

1.3. Schreiben Sie eine Gleichung für eine Kurve, deren Punkte alle den gleichen Abstand vom Punkt (2; 0) und der Geraden haben X = –2.

Stufe II

2.1. Bestimmen Sie den Typ und die Parameter der Kurve.

Lektion: Wie konstruiert man eine Parabel oder eine quadratische Funktion?

THEORETISCHER TEIL

Eine Parabel ist ein Diagramm einer Funktion, die durch die Formel ax 2 +bx+c=0 beschrieben wird.
Um eine Parabel zu bauen, müssen Sie einem einfachen Algorithmus folgen:

1) Parabelformel y=ax 2 +bx+c,
Wenn a>0 dann sind die Äste der Parabel gerichtet hoch,
andernfalls sind die Äste der Parabel gerichtet runter.
Freies Mitglied C dieser Punkt schneidet die Parabel mit der OY-Achse;

2) wird es durch die Formel gefunden x=(-b)/2a, wir setzen das gefundene x in die Parabelgleichung ein und finden j;

3)Funktionsnullstellen oder mit anderen Worten, die Schnittpunkte der Parabel mit der OX-Achse, sie werden auch Wurzeln der Gleichung genannt. Um die Wurzeln zu finden, setzen wir die Gleichung mit 0 gleich Axt 2 +bx+c=0;

Arten von Gleichungen:

a) Die vollständige quadratische Gleichung hat die Form Axt 2 +bx+c=0 und wird durch die Diskriminante gelöst;
b) Unvollständige quadratische Gleichung der Form Axt 2 +bx=0. Um es zu lösen, müssen Sie x aus den Klammern herausnehmen und dann jeden Faktor mit 0 gleichsetzen:
Axt 2 +bx=0,
x(ax+b)=0,
x=0 und ax+b=0;
c) Unvollständige quadratische Gleichung der Form Axt 2 +c=0. Um es zu lösen, müssen Sie das Unbekannte auf eine Seite und das Bekannte auf die andere verschieben. x =±√(c/a);

4) Finden Sie mehrere zusätzliche Punkte, um die Funktion zu konstruieren.

PRAKTISCHER TEIL

Und so analysieren wir nun anhand eines Beispiels alles Schritt für Schritt:
Beispiel 1:
y=x 2 +4x+3
c=3 bedeutet, dass die Parabel OY im Punkt x=0 y=3 schneidet. Die Äste der Parabel zeigen nach oben, da a=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4- 8+3=-1 Scheitelpunkt liegt am Punkt (-2;-1)
Finden wir die Wurzeln der Gleichung x 2 +4x+3=0
Mithilfe der Diskriminante finden wir die Wurzeln
a=1 b=4 c=3
D=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x 1 =(-4+2)/2=-1
x 2 =(-4-2)/2=-3

Nehmen wir mehrere beliebige Punkte, die in der Nähe des Scheitelpunkts x = -2 liegen

x -4 -3 -1 0
Jahr 3 0 0 3

Ersetzen Sie anstelle von x in der Gleichung y=x 2 +4x+3 Werte
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Aus den Funktionswerten ist ersichtlich, dass die Parabel symmetrisch zur Geraden x = -2 ist

Beispiel #2:
y=-x 2 +4x
c=0 bedeutet, dass die Parabel OY im Punkt x=0 y=0 schneidet. Die Äste der Parabel schauen nach unten, da a=-1 -1. Finden wir die Wurzeln der Gleichung -x 2 +4x=0
Unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 +bx=0. Um es zu lösen, müssen Sie x aus den Klammern herausnehmen und dann jeden Faktor mit 0 gleichsetzen.
x(-x+4)=0, x=0 und x=4.

Nehmen wir mehrere beliebige Punkte, die in der Nähe des Scheitelpunkts x=2 liegen
x 0 1 3 4
y 0 3 3 0
Ersetzen Sie anstelle von x in der Gleichung y=-x 2 +4x Werte
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Aus den Funktionswerten ist ersichtlich, dass die Parabel symmetrisch zur Geraden x = 2 ist

Beispiel Nr. 3
y=x 2 -4
c=4 bedeutet, dass die Parabel OY im Punkt x=0 y=4 schneidet. Die Äste der Parabel zeigen nach oben, da a=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 der Scheitelpunkt liegt am Punkt (0;- 4 )
Finden wir die Wurzeln der Gleichung x 2 -4=0
Unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 +c=0. Um es zu lösen, müssen Sie das Unbekannte auf eine Seite und das Bekannte auf die andere verschieben. x =±√(c/a)
x 2 =4
x 1 =2
x 2 =-2

Nehmen wir mehrere beliebige Punkte, die in der Nähe des Scheitelpunkts x=0 liegen
x -2 -1 1 2
y 0 -3 -3 0
Ersetzen Sie statt x in der Gleichung y= x 2 -4 Werte
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Aus den Funktionswerten ist ersichtlich, dass die Parabel symmetrisch zur Geraden x = 0 ist

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Lassen Sie uns die grundlegenden Eigenschaften einer Parabel ermitteln. Zerlegen wir einen geraden Kreiskegel mit der Spitze S durch eine Ebene parallel zu einem seiner Erzeugenden. Im Querschnitt erhalten wir eine Parabel. Zeichnen wir eine Ebene ASB durch die Achse ST des Kegels, senkrecht zur Ebene (Abb. 11). Die darin liegende Erzeugende SA wird parallel zur Ebene sein. Schreiben wir in den Kegel eine Kugelfläche ein, die den Kegel entlang des Kreises UV tangiert und die Ebene im Punkt F tangiert. Zeichnen wir eine Gerade durch den Punkt F parallel zur Erzeugenden SA. Bezeichnen wir den Punkt seines Schnittpunkts mit der Erzeugenden SB mit P. Der Punkt F wird als Brennpunkt der Parabel bezeichnet, Punkt P ist ihr Scheitelpunkt und die Gerade PF, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft (und parallel zur Erzeugenden SA verläuft). ) wird die Achse der Parabel genannt. Die Parabel wird keinen zweiten Scheitelpunkt haben – den Schnittpunkt der PF-Achse mit der SA-Generatrix: Dieser Punkt „geht ins Unendliche“. Nennen wir die Leitlinie (übersetzt als „Führung“) die Schnittlinie q 1 q 2 der Ebene mit der Ebene, in der der Kreis UV liegt. Nehmen Sie einen beliebigen Punkt M auf der Parabel und verbinden Sie ihn mit der Spitze des Kegels S. Die Gerade MS berührt die Kugel im Punkt D, der auf dem Kreis UV liegt. Verbinden wir Punkt M mit Fokus F und senken wir die Senkrechte MK von Punkt M zur Leitlinie ab. Dann stellt sich heraus, dass die Abstände eines beliebigen Punktes M einer Parabel zum Fokus (MF) und zur Leitlinie (MK) einander gleich sind (die Haupteigenschaft einer Parabel), d.h. MF=MK.

Beweis: MF=MD (als Tangenten an eine Kugel von einem Punkt). Bezeichnen wir den Winkel zwischen einer der Erzeugenden des Kegels und der ST-Achse als c. Projizieren wir die Segmente MD und MK auf die ST-Achse. Das Segment MD bildet eine Projektion auf die ST-Achse gleich MDcosc, da MD auf der Mantellinie des Kegels liegt; Das Segment MK bildet eine Projektion auf die ST-Achse gleich MKsosc, da das Segment MK parallel zur Generatrix SA verläuft. (Tatsächlich steht die Leitlinie q 1 q 1 senkrecht auf der Ebene ASB. Folglich schneidet die Gerade PF die Leitlinie im Punkt L im rechten Winkel. Aber die Geraden MK und PF liegen in derselben Ebene, und MK ist es auch senkrecht zur Leitlinie). Die Projektionen beider Segmente MK und MD auf die ST-Achse sind einander gleich, da eines ihrer Enden – Punkt M – gemeinsam ist und die anderen beiden D und K in einer Ebene senkrecht zur ST-Achse liegen (Abb.) . Dann ist MDcosc = MKcosc oder MD = MK. Daher ist MF=MK.

Eigentum 1.(Brennwert einer Parabel).

Der Abstand von jedem Punkt der Parabel zur Mitte der Hauptsehne ist gleich ihrem Abstand zur Leitlinie.

Nachweisen.

Punkt F ist der Schnittpunkt der Geraden QR und der Hauptsehne. Dieser Punkt liegt auf der Symmetrieachse Oy. Tatsächlich sind die Dreiecke RNQ und ROF gleich, wie rechtwinklige Dreiecke

Dreiecke mit verletzten Beinen (NQ=OF, OR=RN). Unabhängig davon, welchen Punkt N wir nehmen, schneidet die daraus konstruierte Gerade QR die Hauptsehne in ihrer Mitte F. Nun ist klar, dass das Dreieck FMQ gleichschenklig ist. Tatsächlich ist das Segment MR sowohl der Median als auch die Höhe dieses Dreiecks. Daraus folgt, dass MF=MQ.

Eigentum 2.(Optische Eigenschaft einer Parabel).

Jede Tangente an eine Parabel bildet den gleichen Winkel mit dem Fokusradius, der zum Tangentenpunkt gezogen wird, und der Strahl, der vom Tangentenpunkt ausgeht und mit der Achse gleichgerichtet ist (oder Strahlen, die aus einem einzelnen Fokus austreten und von der Parabel reflektiert werden, verlaufen parallel). zur Achse).

Nachweisen. Für einen auf der Parabel selbst liegenden Punkt N gilt die Gleichung |FN|=|NH|, für einen im inneren Bereich der Parabel liegenden Punkt N'' gilt die Gleichung |FN''|<|N"H"|. Если теперь провести биссектрису l угла FМК, то для любой отличной от М точки M" прямой l найдём:

|FM"|=|M"K"|>|M"K"|, das heißt, der Punkt M" liegt im äußeren Bereich der Parabel. Die gesamte Gerade l liegt also mit Ausnahme des Punktes M im äußeren Bereich, d. h. der innere Bereich der Parabel liegt auf einer Seite von l, was bedeutet, dass l eine Tangente an die Parabel ist. Damit ist die optische Eigenschaft einer Parabel bewiesen: Winkel 1 ist gleich Winkel 2, da l die Winkelhalbierende des Winkels FMC ist.