Philosophie
06.08.2023

Wie sieht der Graph der Wurzel-x-Funktion aus? So zeichnen Sie den Modul einer Funktion und das Wurzeldiagramm auf. I. Aktualisierung des Referenzwissens

Die grundlegenden Eigenschaften der Potenzfunktion werden angegeben, einschließlich Formeln und Eigenschaften der Wurzeln. Es werden die Ableitung, das Integral, die Potenzreihenentwicklung und die komplexe Zahlendarstellung einer Potenzfunktion vorgestellt.

Inhalt

Eine Potenzfunktion y = x p mit Exponent p hat die folgenden Eigenschaften:
(1.1) definiert und kontinuierlich am Set
bei ,
bei ;
(1.2) hat viele Bedeutungen
bei ,
bei ;
(1.3) steigt strikt mit ,
nimmt strikt ab als ;
(1.4) bei ;
bei ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Der Eigenschaftsnachweis erfolgt auf der Seite „Potenzfunktion (Kontinuitäts- und Eigenschaftsnachweis)“

Wurzeln – Definition, Formeln, Eigenschaften

Eine Wurzel einer Zahl x der Potenz n ist eine Zahl, deren Potenz n x ergibt:
.
Hier n = 2, 3, 4, ... - eine natürliche Zahl größer als eins.

Man kann auch sagen, dass die Wurzel einer Zahl x vom Grad n die Wurzel (d. h. Lösung) der Gleichung ist
.
Beachten Sie, dass die Funktion die Umkehrung der Funktion ist.

Die Quadratwurzel von x ist eine Wurzel von 2: .
Die Kubikwurzel von x ist die 3. Wurzel: .

Gleichmäßiger Abschluss

Für gerade Potenzen n = 2 m, die Wurzel ist für x ≥ definiert 0 . Eine häufig verwendete Formel gilt sowohl für positives als auch negatives x:
.
Für die Quadratwurzel:
.

Hier ist die Reihenfolge wichtig, in der die Operationen ausgeführt werden – das heißt, zuerst wird die Quadratur ausgeführt, was zu einer nicht negativen Zahl führt, und dann wird daraus die Wurzel gezogen (die Quadratwurzel kann aus einer nicht negativen Zahl gezogen werden). ). Wenn wir die Reihenfolge ändern würden: , wäre für negatives x die Wurzel undefiniert und damit der gesamte Ausdruck undefiniert.

Seltsamer Grad

Für ungerade Potenzen wird die Wurzel für alle x definiert:
;
.

Eigenschaften und Formeln von Wurzeln

Die Wurzel von x ist eine Potenzfunktion:
.
Wenn x ≥ 0 Es gelten folgende Formeln:
;
;
, ;
.

Diese Formeln können auch für negative Werte von Variablen angewendet werden. Sie müssen nur darauf achten, dass der radikale Ausdruck gerader Potenzen nicht negativ ist.

Private Werte

Die Wurzel von 0 ist 0: .
Wurzel 1 ist gleich 1: .
Die Quadratwurzel von 0 ist 0: .
Die Quadratwurzel aus 1 ist 1: .

Beispiel. Wurzel der Wurzeln

Schauen wir uns ein Beispiel für eine Quadratwurzel aus Wurzeln an:
.
Lassen Sie uns die innere Quadratwurzel mit den obigen Formeln transformieren:
.
Lassen Sie uns nun die ursprüngliche Wurzel transformieren:
.
Also,
.


y = x p für verschiedene Werte des Exponenten p.

Hier sind Diagramme der Funktion für nicht negative Werte des Arguments x. Diagramme einer Potenzfunktion, die für negative Werte von x definiert ist, finden Sie auf der Seite „Potenzfunktion, ihre Eigenschaften und Diagramme“.

Umkehrfunktion

Die Umkehrung einer Potenzfunktion mit dem Exponenten p ist eine Potenzfunktion mit dem Exponenten 1/p.

Wenn, dann.

Ableitung einer Potenzfunktion

Ableitung n-ter Ordnung:
;

Formeln ableiten > > >

Integral einer Potenzfunktion

P ≠ - 1 ;
.

Erweiterung der Potenzreihen

Bei - 1 < x < 1 es findet folgende Zerlegung statt:

Ausdrücke mit komplexen Zahlen

Betrachten Sie die Funktion der komplexen Variablen z:
F (z) = z t.
Drücken wir die komplexe Variable z durch den Modul r und das Argument φ (r = |z|) aus:
z = r e i φ .
Wir stellen die komplexe Zahl t in Form von Real- und Imaginärteilen dar:
t = p + i q .
Wir haben:

Als nächstes berücksichtigen wir, dass das Argument φ nicht eindeutig definiert ist:
,

Betrachten wir den Fall, wenn q = 0 , das heißt, der Exponent ist eine reelle Zahl, t = p. Dann
.

Wenn p eine ganze Zahl ist, dann ist kp eine ganze Zahl. Dann gilt aufgrund der Periodizität trigonometrischer Funktionen:
.
Das heißt, die Exponentialfunktion mit einem ganzzahligen Exponenten hat für ein gegebenes z nur einen Wert und ist daher eindeutig.

Wenn p irrational ist, ergeben die Produkte kp für jedes k keine ganze Zahl. Da k eine unendliche Reihe von Werten durchläuft k = 0, 1, 2, 3, ..., dann hat die Funktion z p unendlich viele Werte. Immer wenn das Argument z inkrementiert wird 2π(eine Umdrehung) bewegen wir uns zu einem neuen Zweig der Funktion.

Wenn p rational ist, kann es wie folgt dargestellt werden:
, Wo m, n- ganze Zahlen, die keine gemeinsamen Teiler enthalten. Dann
.
Erste n Werte, mit k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1 Geben Sie n verschiedene Werte von kp an:
.
Nachfolgende Werte ergeben jedoch Werte, die sich von den vorherigen um eine ganze Zahl unterscheiden. Zum Beispiel, wenn k = k 0+n wir haben:
.
Trigonometrische Funktionen, deren Argumente sich um ein Vielfaches von unterscheiden 2π, haben gleiche Werte. Daher erhalten wir bei einer weiteren Erhöhung von k die gleichen Werte von z p wie für k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Somit ist eine Exponentialfunktion mit rationalem Exponenten mehrwertig und hat n Werte (Zweige). Immer wenn das Argument z inkrementiert wird 2π(eine Umdrehung) bewegen wir uns zu einem neuen Zweig der Funktion. Nach n solchen Umdrehungen kehren wir zum ersten Zweig zurück, von dem aus der Countdown begann.

Insbesondere hat eine Wurzel vom Grad n n Werte. Betrachten Sie als Beispiel die n-te Wurzel einer reellen positiven Zahl z = x. In diesem Fall φ 0 = 0 , z = r = |z| = x, .
.
Für eine Quadratwurzel gilt also n = 2 ,
.
Für gerade k, (- 1 ) k = 1. Für ungerade k, (- 1 ) k = - 1.
Das heißt, die Quadratwurzel hat zwei Bedeutungen: + und -.

Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten, „Lan“, 2009.

Siehe auch:

Betrachten Sie die Funktion y=√x. Der Graph dieser Funktion ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

Graph der Funktion y=√x

Wie Sie sehen, ähnelt der Graph einer gedrehten Parabel bzw. einem ihrer Äste. Wir erhalten einen Ast der Parabel x=y^2. Aus der Abbildung ist ersichtlich, dass der Graph die Oy-Achse nur einmal berührt, und zwar am Punkt mit den Koordinaten (0;0).
Nun lohnt es sich, die Haupteigenschaften dieser Funktion zu beachten.

Eigenschaften der Funktion y=√x

1. Der Definitionsbereich einer Funktion ist ein Strahl.

Antwort. D(f) = [-1,4].

A.G. Mordkovich Algebra 10. Klasse

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