Formel für eine Tangente an den Graphen einer Funktion. Gleichung einer Tangente an den Graphen einer Funktion. Der umfassende Leitfaden (2019)

Eine Tangente ist eine Gerade , der den Graphen der Funktion in einem Punkt berührt und dessen Punkte alle den kürzesten Abstand vom Graphen der Funktion haben. Daher verläuft die Tangente in einem bestimmten Winkel tangential zum Funktionsgraphen, und mehrere Tangenten in unterschiedlichen Winkeln können nicht durch den Tangentenpunkt verlaufen. Tangentengleichungen und Normalgleichungen an den Graphen einer Funktion werden mithilfe der Ableitung konstruiert.

Die Tangentengleichung wird aus der Geradengleichung abgeleitet .

Lassen Sie uns die Tangentengleichung und dann die Normalengleichung zum Funktionsgraphen herleiten.

j = kx + B .

In ihm k- Winkelkoeffizient.

Von hier aus erhalten wir folgenden Eintrag:

j - j 0 = k(X - X 0 ) .

Abgeleiteter Wert F "(X 0 ) Funktionen j = F(X) am Punkt X0 gleich der Steigung k= tg φ Tangente an den Graphen einer durch einen Punkt gezeichneten Funktion M0 (X 0 , j 0 ) , Wo j0 = F(X 0 ) . Das ist geometrische Bedeutung der Ableitung .

Somit können wir ersetzen k An F "(X 0 ) und erhalten Sie Folgendes Gleichung der Tangente an den Graphen einer Funktion :

j - j 0 = F "(X 0 )(X - X 0 ) .

Bei Problemen, bei denen es darum geht, die Gleichung einer Tangente an den Graphen einer Funktion zusammenzustellen (und wir werden uns bald mit ihnen befassen), ist es erforderlich, die aus der obigen Formel erhaltene Gleichung auf zu reduzieren Gleichung einer Geraden in allgemeiner Form. Dazu müssen Sie alle Buchstaben und Zahlen auf die linke Seite der Gleichung verschieben und auf der rechten Seite Null belassen.

Nun zur Normalgleichung. Normal - Dies ist eine Gerade, die durch den Tangentialpunkt zum Funktionsgraphen senkrecht zur Tangente verläuft. Normale Gleichung :

(X - X 0 ) + F "(X 0 )(j - j 0 ) = 0

Zum Aufwärmen werden Sie gebeten, das erste Beispiel selbst zu lösen und sich dann die Lösung anzusehen. Es gibt allen Grund zur Hoffnung, dass diese Aufgabe für unsere Leser keine „kalte Dusche“ sein wird.

Beispiel 0. Erstellen Sie eine Tangentengleichung und eine Normalgleichung für den Graphen einer Funktion an einem Punkt M (1, 1) .

Beispiel 1. Schreiben Sie eine Tangentengleichung und eine Normalgleichung für den Graphen einer Funktion , wenn die Abszisse tangential ist.

Finden wir die Ableitung der Funktion:

Jetzt haben wir alles, was in den Eintrag in der theoretischen Hilfe eingesetzt werden muss, um die Tangensgleichung zu erhalten. Wir bekommen

In diesem Beispiel hatten wir Glück: Die Steigung war Null, sodass es nicht nötig war, die Gleichung separat auf ihre allgemeine Form zu reduzieren. Jetzt können wir die Normalgleichung erstellen:

In der Abbildung unten: Der Graph der Funktion ist burgunderrot, die Tangente ist grün, die Normale ist orange.

Das nächste Beispiel ist ebenfalls nicht kompliziert: Die Funktion ist wie im vorherigen auch ein Polynom, aber die Steigung wird nicht gleich Null sein, daher wird ein weiterer Schritt hinzugefügt, um die Gleichung in eine allgemeine Form zu bringen.

Beispiel 2.

Lösung. Finden wir die Ordinate des Tangentenpunkts:

Finden wir die Ableitung der Funktion:

.

Ermitteln wir den Wert der Ableitung am Tangentialpunkt, also die Steigung der Tangente:

Wir setzen alle erhaltenen Daten in die „leere Formel“ ein und erhalten die Tangensgleichung:

Wir bringen die Gleichung in ihre allgemeine Form (wir sammeln auf der linken Seite alle Buchstaben und Zahlen außer Null und lassen auf der rechten Seite Null):

Wir stellen die Normalgleichung auf:

Beispiel 3. Schreiben Sie die Tangentengleichung und die Normalengleichung an den Funktionsgraphen, wenn die Abszisse der Tangentenpunkt ist.

Lösung. Finden wir die Ordinate des Tangentenpunkts:

Finden wir die Ableitung der Funktion:

.

Ermitteln wir den Wert der Ableitung am Tangentialpunkt, also die Steigung der Tangente:

.

Wir finden die Tangentengleichung:

Bevor Sie die Gleichung in ihre allgemeine Form bringen, müssen Sie sie ein wenig „kämmen“: Multiplizieren Sie Term für Term mit 4. Wir machen das und bringen die Gleichung in ihre allgemeine Form:

Wir stellen die Normalgleichung auf:

Beispiel 4. Schreiben Sie die Tangentengleichung und die Normalengleichung an den Funktionsgraphen, wenn die Abszisse der Tangentenpunkt ist.

Lösung. Finden wir die Ordinate des Tangentenpunkts:

.

Finden wir die Ableitung der Funktion:

Ermitteln wir den Wert der Ableitung am Tangentialpunkt, also die Steigung der Tangente:

.

Wir erhalten die Tangentengleichung:

Wir bringen die Gleichung in ihre allgemeine Form:

Wir stellen die Normalgleichung auf:

Ein häufiger Fehler beim Schreiben von Tangenten- und Normalengleichungen besteht darin, nicht zu bemerken, dass die im Beispiel angegebene Funktion komplex ist, und ihre Ableitung als Ableitung einer einfachen Funktion zu berechnen. Die folgenden Beispiele stammen bereits von komplexe Funktionen(Die entsprechende Lektion öffnet sich in einem neuen Fenster).

Beispiel 5. Schreiben Sie die Tangentengleichung und die Normalengleichung an den Funktionsgraphen, wenn die Abszisse der Tangentenpunkt ist.

Lösung. Finden wir die Ordinate des Tangentenpunkts:

Aufmerksamkeit! Diese Funktion ist komplex, da das Tangentialargument (2 X) ist selbst eine Funktion. Daher finden wir die Ableitung einer Funktion als Ableitung einer komplexen Funktion.

Der Artikel bietet eine detaillierte Erläuterung der Definitionen, der geometrischen Bedeutung der Ableitung mit grafischen Notationen. Die Gleichung einer Tangente wird anhand von Beispielen betrachtet, die Gleichungen einer Tangente an Kurven 2. Ordnung werden gefunden.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definition 1

Der Neigungswinkel der Geraden y = k x + b heißt Winkel α, der von der positiven Richtung der x-Achse zur Geraden y = k x + b in positiver Richtung gemessen wird.

In der Abbildung ist die x-Richtung durch einen grünen Pfeil und einen grünen Bogen und der Neigungswinkel durch einen roten Bogen gekennzeichnet. Die blaue Linie bezieht sich auf die gerade Linie.

Definition 2

Die Steigung der Geraden y = k x + b wird als numerischer Koeffizient k bezeichnet.

Der Winkelkoeffizient ist gleich dem Tangens der Geraden, also k = t g α.

• Der Neigungswinkel einer Geraden ist nur dann gleich 0, wenn sie parallel zu x verläuft und die Steigung gleich Null ist, weil der Tangens von Null gleich 0 ist. Dies bedeutet, dass die Gleichung die Form y = b hat.
• Wenn der Neigungswinkel der Geraden y = k x + b spitz ist, dann sind die Bedingungen 0 erfüllt< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0, und es gibt einen Anstieg im Diagramm.
• Wenn α = π 2, dann ist der Ort der Linie senkrecht zu x. Gleichheit wird durch x = c angegeben, wobei der Wert c eine reelle Zahl ist.
• Ist der Neigungswinkel der Geraden y = k x + b stumpf, dann entspricht er den Bedingungen π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Eine Sekante ist eine Gerade, die durch 2 Punkte der Funktion f (x) verläuft. Mit anderen Worten: Eine Sekante ist eine Gerade, die durch zwei beliebige Punkte im Graphen einer gegebenen Funktion verläuft.

Die Abbildung zeigt, dass A B eine Sekante ist und f (x) eine schwarze Kurve ist. α ist ein roter Bogen, der den Neigungswinkel der Sekante angibt.

Wenn der Winkelkoeffizient einer Geraden gleich dem Tangens des Neigungswinkels ist, ist es klar, dass der Tangens eines rechtwinkligen Dreiecks A B C durch das Verhältnis der gegenüberliegenden Seite zur benachbarten Seite ermittelt werden kann.

Definition 4

Wir erhalten eine Formel zum Finden einer Sekante der Form:

k = t g α = B C A C = f (x B) – f x A x B – x A, wobei die Abszissen der Punkte A und B die Werte x A, x B und f (x A), f (x) sind B) sind die Wertefunktionen an diesen Punkten.

Offensichtlich wird der Winkelkoeffizient der Sekante anhand der Gleichheit k = f (x B) – f (x A) x B – x A oder k = f (x A) – f (x B) x A – x B bestimmt , und die Gleichung muss geschrieben werden als y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) oder
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Die Sekante teilt den Graphen visuell in drei Teile: links von Punkt A, von A nach B, rechts von B. Die folgende Abbildung zeigt, dass es drei Sekanten gibt, die als zusammenfallend gelten, das heißt, sie werden mit a festgelegt ähnliche Gleichung.

Per Definition ist klar, dass in diesem Fall die Gerade und ihre Sekante zusammenfallen.

Eine Sekante kann den Graphen einer bestimmten Funktion mehrmals schneiden. Wenn es für eine Sekante eine Gleichung der Form y = 0 gibt, dann ist die Anzahl der Schnittpunkte mit der Sinuskurve unendlich.

Definition 5

Tangente an den Graphen der Funktion f (x) am Punkt x 0 ; f (x 0) ist eine gerade Linie, die durch einen gegebenen Punkt x 0 verläuft; f (x 0), mit dem Vorhandensein eines Segments, das viele x-Werte nahe bei x 0 hat.

Beispiel 1

Schauen wir uns das folgende Beispiel genauer an. Dann ist klar, dass die durch die Funktion y = x + 1 definierte Linie als Tangente an y = 2 x am Punkt mit den Koordinaten (1; 2) betrachtet wird. Aus Gründen der Übersichtlichkeit müssen Diagramme mit Werten nahe (1; 2) berücksichtigt werden. Die Funktion y = 2 x ist schwarz dargestellt, die blaue Linie ist die Tangente und der rote Punkt ist der Schnittpunkt.

Offensichtlich verschmilzt y = 2 x mit der Geraden y = x + 1.

Um die Tangente zu bestimmen, sollten wir das Verhalten der Tangente A B berücksichtigen, wenn sich Punkt B Punkt A unendlich nähert. Zur Verdeutlichung präsentieren wir eine Zeichnung.

Die durch die blaue Linie angezeigte Sekante A B neigt zur Position der Tangente selbst, und der Neigungswinkel der Sekante α beginnt sich zum Neigungswinkel der Tangente selbst α x zu neigen.

Definition 6

Die Tangente an den Graphen der Funktion y = f (x) im Punkt A wird als Grenzposition der Sekante A B angesehen, da B nach A tendiert, also B → A.

Betrachten wir nun die geometrische Bedeutung der Ableitung einer Funktion an einem Punkt.

Betrachten wir nun die Sekante A B für die Funktion f (x), wobei A und B mit den Koordinaten x 0, f (x 0) und x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) und ∆ x ist wird als Inkrement des Arguments bezeichnet. Jetzt nimmt die Funktion die Form an ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Zur Verdeutlichung geben wir ein Beispiel einer Zeichnung.

Betrachten Sie das resultierende rechtwinklige Dreieck A B C. Wir verwenden zur Lösung die Definition der Tangente, das heißt, wir erhalten die Beziehung ∆ y ∆ x = t g α . Aus der Definition einer Tangente folgt, dass lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Nach der Regel der Ableitung an einem Punkt haben wir, dass die Ableitung f (x) am Punkt x 0 als Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments bezeichnet wird, wobei ∆ x → 0 , dann bezeichnen wir es als f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Daraus folgt, dass f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, wobei k x als Steigung der Tangente bezeichnet wird.

Das heißt, wir stellen fest, dass f ' (x) am Punkt x 0 existieren kann und wie die Tangente an einen gegebenen Graphen der Funktion am Tangentialpunkt gleich x 0 ist, f 0 (x 0), wobei der Wert von Die Steigung der Tangente am Punkt ist gleich der Ableitung am Punkt x 0 . Dann erhalten wir k x = f " (x 0) .

Die geometrische Bedeutung der Ableitung einer Funktion an einem Punkt besteht darin, dass sie das Konzept der Existenz einer Tangente an den Graphen am selben Punkt liefert.

Um die Gleichung einer Geraden auf einer Ebene aufzustellen, ist es notwendig, einen Winkelkoeffizienten mit dem Punkt zu haben, durch den sie verläuft. Seine Notation wird als x 0 am Schnittpunkt angenommen.

Die Tangentengleichung an den Graphen der Funktion y = f (x) am Punkt x 0, f 0 (x 0) hat die Form y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0).

Dies bedeutet, dass der Endwert der Ableitung f "(x 0) die Position der Tangente bestimmen kann, also vertikal, vorausgesetzt lim x → x 0 + 0 f "(x) = ∞ und lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ oder Abwesenheit überhaupt unter der Bedingung lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .

Die Lage der Tangente hängt vom Wert ihres Winkelkoeffizienten k x = f "(x 0) ab. Wenn parallel zur o x-Achse, erhalten wir k k = 0, wenn parallel zu o y - k x = ∞ und die Form der Die Tangentengleichung x = x 0 steigt mit k x > 0 und nimmt mit k x ab< 0 .

Beispiel 2

Stellen Sie eine Gleichung für die Tangente an den Graphen der Funktion y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 am Punkt mit den Koordinaten (1; 3) auf und bestimmen Sie den Neigungswinkel.

Lösung

Durch die Bedingung haben wir, dass die Funktion für alle reellen Zahlen definiert ist. Wir stellen fest, dass der Punkt mit den durch die Bedingung (1; 3) angegebenen Koordinaten ein Tangentialpunkt ist, dann ist x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.

Es ist notwendig, die Ableitung am Punkt mit dem Wert - 1 zu finden. Wir verstehen das

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Der Wert von f' (x) am Tangentialpunkt ist die Steigung der Tangente, die gleich der Tangente der Steigung ist.

Dann ist k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3

Daraus folgt, dass α x = a r c t g 3 3 = π 6

Antwort: Die Tangentengleichung nimmt die Form an

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

Zur Verdeutlichung geben wir ein Beispiel in einer grafischen Darstellung.

Die schwarze Farbe wird für den Graphen der ursprünglichen Funktion verwendet, die blaue Farbe ist das Bild der Tangente und der rote Punkt ist der Tangentenpunkt. Die Abbildung rechts zeigt eine vergrößerte Ansicht.

Beispiel 3

Bestimmen Sie die Existenz einer Tangente an den Graphen einer gegebenen Funktion
y = 3 · x - 1 5 + 1 am Punkt mit den Koordinaten (1 ; 1) . Schreiben Sie eine Gleichung und bestimmen Sie den Neigungswinkel.

Lösung

Durch die Bedingung gilt, dass der Definitionsbereich einer gegebenen Funktion die Menge aller reellen Zahlen ist.

Fahren wir mit der Suche nach der Ableitung fort

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Wenn x 0 = 1, dann ist f' (x) undefiniert, aber die Grenzen werden als lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 geschrieben · 1 + 0 = + ∞ und lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , was bedeutet Existenz vertikale Tangente am Punkt (1; 1).

Antwort: Die Gleichung hat die Form x = 1, wobei der Neigungswinkel gleich π 2 ist.

Der Übersichtlichkeit halber stellen wir es grafisch dar.

Beispiel 4

Finden Sie die Punkte im Diagramm der Funktion y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2, wobei

1. Es gibt keine Tangente;
2. Die Tangente ist parallel zu x;
3. Die Tangente verläuft parallel zur Geraden y = 8 5 x + 4.

Lösung

Dabei ist auf den Geltungsbereich der Definition zu achten. Als Bedingung gilt, dass die Funktion auf der Menge aller reellen Zahlen definiert ist. Wir erweitern das Modul und lösen das System mit Intervallen x ∈ - ∞ ; 2 und [ - 2 ; + ∞) . Wir verstehen das

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Es ist notwendig, die Funktion zu differenzieren. Wir haben das

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Wenn x = − 2, dann existiert die Ableitung nicht, weil die einseitigen Grenzen an diesem Punkt nicht gleich sind:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Wir berechnen den Wert der Funktion am Punkt x = - 2, wo wir ihn erhalten

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, also die Tangente am Punkt ( - 2; - 2) wird nicht existieren.
2. Die Tangente ist parallel zu x, wenn die Steigung Null ist. Dann k x = t g α x = f "(x 0). Das heißt, es ist notwendig, die Werte eines solchen x zu finden, wenn die Ableitung der Funktion es auf Null dreht. Das heißt, die Werte von f ' (x) sind die Tangentialpunkte, bei denen die Tangente parallel zu x verläuft.

Wenn x ∈ - ∞ ; - 2, dann - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, und für x ∈ (- 2; + ∞) erhalten wir 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Berechnen Sie die entsprechenden Funktionswerte

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Daher - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 gelten als erforderliche Punkte des Funktionsgraphen.

Schauen wir uns eine grafische Darstellung der Lösung an.

Die schwarze Linie ist der Graph der Funktion, die roten Punkte sind die Tangentialpunkte.

1. Wenn die Linien parallel sind, sind die Winkelkoeffizienten gleich. Dann ist es notwendig, im Funktionsgraphen nach Punkten zu suchen, an denen die Steigung dem Wert 8 5 entspricht. Dazu müssen Sie eine Gleichung der Form y "(x) = 8 5 lösen. Wenn x ∈ - ∞; - 2 ist, erhalten wir - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, und wenn x ∈ ( - 2 ; + ∞), dann 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

Die erste Gleichung hat keine Wurzeln, da die Diskriminante kleiner als Null ist. Schreiben wir das auf

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Eine andere Gleichung hat also zwei reelle Wurzeln

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

Fahren wir mit der Ermittlung der Werte der Funktion fort. Wir verstehen das

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Punkte mit Werten - 1; 4 15, 5; 8 3 sind die Punkte, an denen die Tangenten parallel zur Geraden y = 8 5 x + 4 verlaufen.

Antwort: schwarze Linie – Graph der Funktion, rote Linie – Graph von y = 8 5 x + 4, blaue Linie – Tangenten an Punkten - 1; 4 15, 5; 8 3.

Für gegebene Funktionen kann es unendlich viele Tangenten geben.

Beispiel 5

Schreiben Sie die Gleichungen aller verfügbaren Tangenten der Funktion y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3, die senkrecht zur Geraden y = - 2 x + 1 2 stehen.

Lösung

Um die Tangentengleichung zu erstellen, müssen der Koeffizient und die Koordinaten des Tangentenpunkts basierend auf der Bedingung der Rechtwinkligkeit der Linien ermittelt werden. Die Definition lautet wie folgt: Das Produkt der Winkelkoeffizienten, die senkrecht zu Geraden stehen, ist gleich - 1, also geschrieben als k x · k ⊥ = - 1. Aus der Bedingung folgt, dass der Winkelkoeffizient senkrecht zur Geraden steht und gleich k ⊥ = - 2 ist, dann gilt k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

Jetzt müssen Sie die Koordinaten der Berührungspunkte ermitteln. Sie müssen x und dann seinen Wert für eine bestimmte Funktion finden. Beachten Sie, dass aus der geometrischen Bedeutung der Ableitung am Punkt
x 0 erhalten wir, dass k x = y "(x 0). Aus dieser Gleichheit ermitteln wir die Werte von x für die Kontaktpunkte.

Wir verstehen das

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Diese trigonometrische Gleichung wird zur Berechnung der Ordinaten der Tangentenpunkte verwendet.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk oder 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk oder 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk oder x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z ist eine Menge von ganzen Zahlen.

Es wurden x Berührungspunkte gefunden. Jetzt müssen Sie mit der Suche nach den Werten von y fortfahren:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 oder y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 oder y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 oder y 0 = - 4 5 + 1 3

Daraus erhalten wir, dass 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 sind die Tangentialpunkte.

Antwort: Die notwendigen Gleichungen werden geschrieben als

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Betrachten Sie für eine visuelle Darstellung eine Funktion und eine Tangente an einer Koordinatenlinie.

Die Abbildung zeigt, dass die Funktion im Intervall [ - 10 ; 10 ], wobei die schwarze Linie der Graph der Funktion ist, die blauen Linien sind Tangenten, die senkrecht zur gegebenen Linie der Form y = - 2 x + 1 2 liegen. Rote Punkte sind Berührungspunkte.

Die kanonischen Gleichungen von Kurven 2. Ordnung sind keine einwertigen Funktionen. Tangentengleichungen für sie werden nach bekannten Schemata erstellt.

Tangente an einen Kreis

So definieren Sie einen Kreis mit Mittelpunkt im Punkt x c e n t e r ; y-Mittelpunkt und Radius R, wenden Sie die Formel x - x-Mittelpunkt 2 + y - y-Mittelpunkt 2 = R 2 an.

Diese Gleichheit kann als Vereinigung zweier Funktionen geschrieben werden:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Die erste Funktion befindet sich oben und die zweite unten, wie in der Abbildung dargestellt.

Um die Gleichung eines Kreises am Punkt x 0 aufzustellen; y 0 , das sich im oberen oder unteren Halbkreis befindet, sollten Sie die Gleichung des Graphen einer Funktion der Form y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r oder y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + finden Y-Mittelpunkt am angegebenen Punkt.

Wenn an Punkten x c e n t e r ; y c e n t e r + R und x c e n t e r ; y c e n t e r - R Tangenten können durch die Gleichungen y = y c e n t e r + R und y = y c e n t e r - R und an den Punkten x c e n t e r + R angegeben werden; y c e n t e r und
x c e n t e r - R ; y c e n t e r parallel zu o y sein wird, dann erhalten wir Gleichungen der Form x = x c e n t e r + R und x = x c e n t e r - R .

Tangente an eine Ellipse

Wenn die Ellipse einen Mittelpunkt bei x c e n t e r hat; y c e n t e r mit den Halbachsen a und b, dann kann es mit der Gleichung x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 angegeben werden.

Eine Ellipse und ein Kreis können durch die Kombination zweier Funktionen, nämlich der oberen und unteren Halbellipse, bezeichnet werden. Dann verstehen wir das

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Liegen die Tangenten an den Eckpunkten der Ellipse, dann sind sie parallel um x oder um y. Betrachten Sie im Folgenden zur Verdeutlichung die Abbildung.

Beispiel 6

Schreiben Sie die Gleichung der Tangente an die Ellipse x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 an Punkten mit Werten von x gleich x = 2.

Lösung

Es müssen die Tangentenpunkte gefunden werden, die dem Wert x = 2 entsprechen. Wir setzen es in die bestehende Gleichung der Ellipse ein und finden das

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Dann 2 ; 5 3 2 + 5 und 2; - 5 3 2 + 5 sind die Tangentenpunkte, die zur oberen und unteren Halbellipse gehören.

Fahren wir mit dem Finden und Lösen der Gleichung der Ellipse in Bezug auf y fort. Wir verstehen das

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Offensichtlich wird die obere Halbellipse durch eine Funktion der Form y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 und die untere Halbellipse y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 angegeben.

Wenden wir einen Standardalgorithmus an, um eine Gleichung für eine Tangente an den Graphen einer Funktion an einem Punkt zu erstellen. Schreiben wir, dass die Gleichung für die erste Tangente an Punkt 2; 5 3 2 + 5 wird aussehen

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Wir finden die Gleichung der zweiten Tangente mit einem Wert am Punkt
2 ; - 5 3 2 + 5 nimmt die Form an

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Grafisch werden Tangenten wie folgt bezeichnet:

Tangente an die Übertreibung

Wenn eine Hyperbel ein Zentrum bei x c e n t e r hat; y c e n t e r und Eckpunkte x c ​​e n t e r + α ; y c e n t e r und x c e n t e r - α ; y c e n t e r , die Ungleichung x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 liegt vor, wenn mit Eckpunkten x c e n t e r ; y c e n t e r + b und x c e n t e r ; y c e n t e r - b , wird dann unter Verwendung der Ungleichung x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 angegeben.

Eine Hyperbel kann als zwei kombinierte Funktionen der Form dargestellt werden

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r oder y = b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

Im ersten Fall sind die Tangenten parallel zu y, im zweiten Fall parallel zu x.

Daraus folgt, dass man, um die Gleichung der Tangente an eine Hyperbel zu finden, herausfinden muss, zu welcher Funktion der Tangentenpunkt gehört. Um dies festzustellen, ist es notwendig, in die Gleichungen einzusetzen und auf Identität zu prüfen.

Beispiel 7

Schreiben Sie eine Gleichung für die Tangente an die Hyperbel x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 an Punkt 7; - 3 3 - 3 .

Lösung

Es ist notwendig, den Lösungsdatensatz zum Finden einer Hyperbel mithilfe von 2 Funktionen zu transformieren. Wir verstehen das

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 und y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Es muss ermittelt werden, zu welcher Funktion ein bestimmter Punkt mit den Koordinaten 7 gehört; - 3 3 - 3 .

Offensichtlich ist es zur Überprüfung der ersten Funktion notwendig y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, dann gehört der Punkt nicht zum Graphen, da die Gleichheit nicht gilt.

Für die zweite Funktion gilt y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, was bedeutet, dass der Punkt zum gegebenen Graphen gehört. Von hier aus sollten Sie den Hang finden.

Wir verstehen das

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Antwort: Die Tangentengleichung kann dargestellt werden als:

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Es wird deutlich so dargestellt:

Tangente an eine Parabel

Um eine Gleichung für die Tangente an die Parabel y = a x 2 + b x + c am Punkt x 0, y (x 0) zu erstellen, müssen Sie einen Standardalgorithmus verwenden, dann nimmt die Gleichung die Form y = y "(x) an 0) x - x 0 + y ( x 0). Eine solche Tangente am Scheitelpunkt ist parallel zu x.

Sie sollten die Parabel x = a y 2 + b y + c als Vereinigung zweier Funktionen definieren. Daher müssen wir die Gleichung nach y lösen. Wir verstehen das

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Stellen wir es grafisch so dar:

Um herauszufinden, ob ein Punkt x 0, y (x 0) zu einer Funktion gehört, gehen Sie vorsichtig nach dem Standardalgorithmus vor. Eine solche Tangente verläuft parallel zu o y relativ zur Parabel.

Beispiel 8

Schreiben Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen x - 2 y 2 - 5 y + 3, wenn wir einen Tangentenwinkel von 150° haben.

Lösung

Wir beginnen die Lösung, indem wir die Parabel als zwei Funktionen darstellen. Wir verstehen das

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

Der Wert der Steigung ist gleich dem Wert der Ableitung am Punkt x 0 dieser Funktion und gleich dem Tangens des Neigungswinkels.

Wir bekommen:

k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

Von hier aus bestimmen wir den x-Wert für die Kontaktpunkte.

Die erste Funktion wird geschrieben als

y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Offensichtlich gibt es keine wirklichen Wurzeln, da wir einen negativen Wert erhalten haben. Wir schließen daraus, dass es für eine solche Funktion keine Tangente mit einem Winkel von 150° gibt.

Die zweite Funktion wird geschrieben als

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Wir wissen, dass es 23 4 Berührungspunkte gibt; - 5 + 3 4 .

Antwort: Die Tangentengleichung nimmt die Form an

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Lassen Sie es uns grafisch so darstellen:

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Die Videolektion „Gleichung einer Tangente an den Graphen einer Funktion“ zeigt Lehrmaterial zur Beherrschung des Themas. Während der Videolektion werden das theoretische Material beschrieben, das zur Formulierung des Konzepts der Gleichung einer Tangente an den Graphen einer Funktion an einem bestimmten Punkt erforderlich ist, ein Algorithmus zum Finden einer solchen Tangente und Beispiele für die Lösung von Problemen mithilfe des untersuchten theoretischen Materials .

Das Video-Tutorial verwendet Methoden, die die Klarheit des Materials verbessern. Die Präsentation enthält Zeichnungen, Diagramme, wichtige Sprachkommentare, Animationen, Hervorhebungen und andere Tools.

Die Videolektion beginnt mit einer Präsentation des Unterrichtsthemas und einem Bild einer Tangente an den Graphen einer Funktion y=f(x) am Punkt M(a;f(a)). Es ist bekannt, dass der Winkelkoeffizient der Tangente, die an einem bestimmten Punkt an den Graphen angelegt wird, gleich der Ableitung der Funktion f΄(a) an diesem Punkt ist. Auch aus dem Algebrakurs kennen wir die Gleichung der Geraden y=kx+m. Die Lösung des Problems, die Tangentengleichung an einem Punkt zu finden, wird schematisch dargestellt, was sich auf das Finden der Koeffizienten k, m reduziert. Wenn wir die Koordinaten eines Punktes kennen, der zum Funktionsgraphen gehört, können wir m ermitteln, indem wir den Koordinatenwert in die Tangentengleichung f(a)=ka+m einsetzen. Daraus finden wir m=f(a)-ka. Wenn wir also den Wert der Ableitung an einem bestimmten Punkt und die Koordinaten des Punktes kennen, können wir die Tangentengleichung auf diese Weise darstellen: y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Das Folgende ist ein Beispiel für die Erstellung einer Tangentengleichung nach dem Diagramm. Gegeben sei die Funktion y=x 2 , x=-2. Mit a=-2 ermitteln wir den Wert der Funktion an einem gegebenen Punkt f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. Wir bestimmen die Ableitung der Funktion f΄(x)=2x. An diesem Punkt ist die Ableitung gleich f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4. Um die Gleichung zusammenzustellen, wurden alle Koeffizienten a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4 gefunden, sodass die Tangentengleichung y=4+(-4)(x+2) lautet. Wenn wir die Gleichung vereinfachen, erhalten wir y = -4-4x.

Das folgende Beispiel schlägt vor, eine Gleichung für die Tangente am Ursprung des Graphen der Funktion y=tgx zu konstruieren. An einem gegebenen Punkt a=0, f(0)=0, f΄(x)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Die Tangentengleichung sieht also wie folgt aus: y=x.

Als Verallgemeinerung wird der Prozess des Zusammenstellens einer Gleichung tangential zum Graphen einer Funktion an einem bestimmten Punkt in Form eines Algorithmus formalisiert, der aus 4 Schritten besteht:

• Geben Sie für die Abszisse des Tangentenpunktes die Bezeichnung a ein;
• f(a) wird berechnet;
• f΄(x) wird bestimmt und f΄(a) berechnet. Die gefundenen Werte von a, f(a), f΄(a) werden in die Tangentengleichungsformel y=f(a)+f΄(a)(x-a) eingesetzt.

In Beispiel 1 wird die Zusammenstellung der Tangentengleichung an den Graphen der Funktion y=1/x am Punkt x=1 betrachtet. Um das Problem zu lösen, verwenden wir einen Algorithmus. Für eine gegebene Funktion am Punkt a=1 ist der Wert der Funktion f(a)=-1. Ableitung der Funktion f΄(x)=1/x 2. Am Punkt a=1 ist die Ableitung f΄(a)= f΄(1)=1. Anhand der erhaltenen Daten wird die Tangensgleichung y=-1+(x-1) oder y=x-2 erstellt.

In Beispiel 2 ist es notwendig, die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion y=x 3 +3x 2 -2x-2 zu finden. Die Hauptbedingung ist die Parallelität der Tangente und der Geraden y=-2x+1. Zuerst ermitteln wir den Winkelkoeffizienten der Tangente, der dem Winkelkoeffizienten der Geraden y=-2x+1 entspricht. Da f΄(a)=-2 für eine gegebene Gerade ist, ist k=-2 für die gewünschte Tangente. Wir finden die Ableitung der Funktion (x 3 +3x 2 -2x-2)΄=3x 2 +6x-2. Wenn wir wissen, dass f΄(a)=-2 ist, finden wir die Koordinaten von Punkt 3a 2 +6a-2=-2. Nachdem wir die Gleichung gelöst haben, erhalten wir 1 = 0 und 2 = -2. Anhand der gefundenen Koordinaten können Sie mit einem bekannten Algorithmus die Tangentengleichung ermitteln. Wir finden den Wert der Funktion an den Punkten f(a 1)=-2, f(a 2)=-18. Der Wert der Ableitung am Punkt f΄(à 1)= f΄(à 2)=-2. Wenn wir die gefundenen Werte in die Tangentengleichung einsetzen, erhalten wir für den ersten Punkt a 1 =0 y=-2x-2 und für den zweiten Punkt a 2 =-2 die Tangentengleichung y=-2x-22.

Beispiel 3 beschreibt die Zusammensetzung der Tangentengleichung zum Zeichnen am Punkt (0;3) an den Graphen der Funktion y=√x. Die Lösung erfolgt über einen bekannten Algorithmus. Der Tangentenpunkt hat die Koordinaten x=a, wobei a>0. Der Wert der Funktion am Punkt f(a)=√x. Die Ableitung der Funktion f΄(х)=1/2√х, also an einem bestimmten Punkt f΄(а)=1/2√а. Wenn wir alle erhaltenen Werte in die Tangentengleichung einsetzen, erhalten wir y=√a+(x-a)/2√a. Wenn wir die Gleichung umwandeln, erhalten wir y=x/2√а+√а/2. Da wir wissen, dass die Tangente durch den Punkt (0;3) verläuft, ermitteln wir den Wert von a. Wir finden a aus 3=√a/2. Daher ist √a=6, a=36. Wir finden die Tangentengleichung y=x/12+3. Die Abbildung zeigt den Graphen der betrachteten Funktion und den konstruierten Solltangens.

Die Schüler werden an die Näherungsgleichungen Δy=≈f΄(x)Δx und f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx erinnert. Nehmen wir x=a, x+Δx=x, Δx=x-a, erhalten wir f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), also f(x)≈f(a)+ f΄( a)(x-a).

In Beispiel 4 muss der ungefähre Wert des Ausdrucks 2,003 6 ermittelt werden. Da es notwendig ist, den Wert der Funktion f(x)=x 6 am Punkt x=2,003 zu finden, können wir die bekannte Formel verwenden und f(x)=x 6, a=2, f(a )= f(2)=64, f ΄(x)=6x 5. Ableitung am Punkt f΄(2)=192. Daher 2,003 6 ≈65-192·0,003. Nachdem wir den Ausdruck berechnet haben, erhalten wir 2,003 6 ≈64,576.

Die Videolektion „Gleichung einer Tangente an den Graphen einer Funktion“ wird für den Einsatz im klassischen Mathematikunterricht in der Schule empfohlen. Für einen Lehrer, der aus der Ferne unterrichtet, hilft Videomaterial dabei, das Thema klarer zu erklären. Den Studierenden kann empfohlen werden, das Video bei Bedarf selbstständig durchzulesen, um ihr Verständnis für das Thema zu vertiefen.

TEXTDEKODIERUNG:

Wir wissen, dass, wenn ein Punkt M (a; f(a)) (em mit den Koordinaten a und ef von a) zum Graphen der Funktion y = f (x) gehört und es an diesem Punkt möglich ist, eine Tangente zu zeichnen zum Graphen der Funktion, der nicht senkrecht zur Abszisse der Achse steht, dann ist der Winkelkoeffizient der Tangente gleich f"(a) (eff Primzahl von a).

Gegeben sei eine Funktion y = f(x) und ein Punkt M (a; f(a)), und es sei auch bekannt, dass f´(a) existiert. Erstellen wir eine Gleichung für die Tangente an den Graphen einer gegebenen Funktion an einem gegebenen Punkt. Diese Gleichung hat, wie die Gleichung jeder geraden Linie, die nicht parallel zur Ordinatenachse ist, die Form y = kx+m (das y ist gleich ka x plus em), daher besteht die Aufgabe darin, die Werte von zu finden die Koeffizienten k und m (ka und em)

Winkelkoeffizient k= f"(a). Um den Wert von m zu berechnen, nutzen wir die Tatsache, dass die gewünschte Gerade durch den Punkt M(a; f (a)) verläuft. Dies bedeutet, dass, wenn wir die Koordinaten des ersetzen Punkt M in die Geradengleichung ein, erhalten wir die korrekte Gleichung: f(a) = ka+m, woraus folgt, dass m = f(a) - ka.

Es müssen noch die gefundenen Werte der Koeffizienten ki und m in die Geradengleichung eingesetzt werden:

y = kx+(f(a) -ka);

y = f(a)+k(x-a);

j= F(A)+ F"(A) (X- A). ( y ist gleich ef aus a plus ef prim aus a, multipliziert mit x minus a).

Wir haben die Gleichung für die Tangente an den Graphen der Funktion y = f(x) am Punkt x=a erhalten.

Wenn beispielsweise y = x 2 und x = -2 (d. h. a = -2), dann ist f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f´(x) = 2x, was f"(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4 bedeutet. (dann ist der ef von a gleich vier, der ef der Primzahl von x ist gleich zwei x, was bedeutet, dass ef prim von a gleich minus vier ist)

Wenn wir die gefundenen Werte a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4 in die Gleichung einsetzen, erhalten wir: y = 4+(-4)(x+2), d.h. y = -4x -4.

(E ist gleich minus vier x minus vier)

Erstellen wir eine Gleichung für die Tangente an den Graphen der Funktion y = tanx (das y ist gleich der Tangente x) im Ursprung. Es gilt: a = 0, f(0) = tan0=0;

f"(x)= , was f"(0) = l bedeutet. Wenn wir die gefundenen Werte a=0, f(a)=0, f´(a) = 1 in die Gleichung einsetzen, erhalten wir: y=x.

Fassen wir unsere Schritte zusammen, um mithilfe eines Algorithmus die Gleichung der Tangente an den Graphen einer Funktion am Punkt x zu finden.

Algorithmus zur Entwicklung einer Gleichung für eine Tangente an den Graphen der Funktion y = f(x):

1) Bezeichnen Sie die Abszisse des Tangentenpunktes mit dem Buchstaben a.

2) Berechnen Sie f(a).

3) Finden Sie f´(x) und berechnen Sie f´(a).

4) Setze die gefundenen Zahlen a, f(a), f´(a) in die Formel ein j= F(A)+ F"(A) (X- A).

Beispiel 1. Erstellen Sie eine Gleichung für die Tangente an den Graphen der Funktion y = - in

Punkt x = 1.

Lösung. Lassen Sie uns den Algorithmus verwenden und dies in diesem Beispiel berücksichtigen

2) f(a)=f(1)=- =-1

3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.

4) Setzen Sie die gefundenen drei Zahlen: a = 1, f(a) = -1, f"(a) = 1 in die Formel ein. Wir erhalten: y = -1+(x-1), y = x-2 .

Antwort: y = x-2.

Beispiel 2. Gegeben sei eine Funktion y = x 3 +3x 2 -2x-2. Schreiben Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion y = f(x) parallel zur Geraden y = -2x +1 auf.

Mit dem Algorithmus zum Zusammenstellen der Tangentengleichung berücksichtigen wir, dass in diesem Beispiel f(x) = x 3 +3x 2 -2x-2, aber die Abszisse des Tangentenpunktes ist hier nicht angegeben.

Fangen wir an, so zu denken. Die gewünschte Tangente muss parallel zur Geraden y = -2x+1 sein. Und parallele Linien haben gleiche Winkelkoeffizienten. Das bedeutet, dass der Winkelkoeffizient der Tangente gleich dem Winkelkoeffizienten der gegebenen Geraden ist: k Tangente. = -2. Hok cas. = f"(a). Somit können wir den Wert von a aus der Gleichung f ´(a) = -2 ermitteln.

Finden wir die Ableitung der Funktion y=F(X):

F"(X)= (x 3 +3x 2 -2x-2)´ =3x 2 +6x-2;F„(a)= 3a 2 +6a-2.

Aus der Gleichung f"(a) = -2, d.h. 3a 2 +6a-2=-2 finden wir a 1 =0, a 2 =-2. Das bedeutet, dass es zwei Tangenten gibt, die die Bedingungen des Problems erfüllen: eine im Punkt mit der Abszisse 0, die andere im Punkt mit der Abszisse -2.

Jetzt können Sie dem Algorithmus folgen.

1) a 1 =0 und 2 =-2.

2) f(ein 1)= 0 3 +3·0 2 -2∙0-2=-2; f(a 2)= (-2) 3 +3·(-2) 2 -2·(-2)-2=6;

3) f"(a 1) = f"(a 2) = -2.

4) Wenn wir die Werte a 1 = 0, f(a 1) = -2, f"(a 1) = -2 in die Formel einsetzen, erhalten wir:

y=-2-2(x-0), y=-2x-2.

Wenn wir die Werte a 2 = -2, f(a 2) =6, f"(a 2) = -2 in die Formel einsetzen, erhalten wir:

y=6-2(x+2), y=-2x+2.

Antwort: y=-2x-2, y=-2x+2.

Beispiel 3. Zeichnen Sie vom Punkt (0; 3) eine Tangente an den Graphen der Funktion y = . Lösung. Lassen Sie uns den Algorithmus zum Erstellen der Tangentengleichung verwenden und dabei berücksichtigen, dass in diesem Beispiel f(x) = . Beachten Sie, dass hier, wie in Beispiel 2, die Abszisse des Tangentenpunkts nicht explizit angegeben wird. Dennoch folgen wir dem Algorithmus.

1) Sei x = a die Abszisse des Tangentialpunktes; Es ist klar, dass a >0.

3) f´(x)=()´=; f´(a) =.

4) Einsetzen der Werte von a, f(a) = , f"(a) = in die Formel

y=f (a) +f "(a) (x-a), wir bekommen:

Gemäß der Bedingung verläuft die Tangente durch den Punkt (0; 3). Wenn wir die Werte x = 0, y = 3 in die Gleichung einsetzen, erhalten wir: 3 = , und dann =6, a =36.

Wie Sie in diesem Beispiel sehen können, ist es uns erst im vierten Schritt des Algorithmus gelungen, die Abszisse des Tangentenpunkts zu finden. Wenn wir den Wert a =36 in die Gleichung einsetzen, erhalten wir: y=+3

In Abb. Abbildung 1 zeigt eine geometrische Darstellung des betrachteten Beispiels: Ein Graph der Funktion y = wird konstruiert, eine Gerade wird gezeichnet y = +3.

Antwort: y = +3.

Wir wissen, dass für eine Funktion y = f(x), die am Punkt x eine Ableitung hat, die ungefähre Gleichheit gilt: Δyf´(x)Δx (Delta y ist ungefähr gleich der eff-Primzahl von x multipliziert mit Delta x)

oder genauer gesagt: f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (eff von x plus Delta x minus ef von x ist ungefähr gleich eff prim von x mal Delta x).

Zur Vereinfachung weiterer Überlegungen ändern wir die Notation:

statt x schreiben wir A,

statt x+Δx schreiben wir x

Anstelle von Δx schreiben wir x-a.

Dann nimmt die oben beschriebene ungefähre Gleichheit die Form an:

f(x)-f(a)f´(a)(x-a)

f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (eff von x ist ungefähr gleich ef von a plus ef prim von a, multipliziert mit der Differenz zwischen x und a).

Beispiel 4. Finden Sie den ungefähren Wert des numerischen Ausdrucks 2,003 6.

Lösung. Wir sprechen davon, den Wert der Funktion y = x 6 am Punkt x = 2,003 zu finden. Verwenden wir die Formel f(x)f(a)+f´(a)(x-a) und berücksichtigen dabei, dass in diesem Beispiel f(x)=x 6, a = 2,f(a) = f(2) = 2 6 =64; x = 2,003, f"(x) = 6x 5 und daher f"(a) = f"(2) = 6 2 5 =192.

Als Ergebnis erhalten wir:

2,003 6 64+192· 0,003, d.h. 2,003 6 =64,576.

Wenn wir einen Taschenrechner verwenden, erhalten wir:

2,003 6 = 64,5781643...

Wie Sie sehen, ist die Näherungsgenauigkeit durchaus akzeptabel.

Jobtyp: 7

Zustand

Die Gerade y=3x+2 tangiert den Graphen der Funktion y=-12x^2+bx-10. Finden Sie b, vorausgesetzt, die Abszisse des Tangentenpunkts ist kleiner als Null.

Lösung

Sei x_0 die Abszisse des Punktes auf dem Graphen der Funktion y=-12x^2+bx-10, durch den die Tangente an diesen Graphen verläuft.

Der Wert der Ableitung am Punkt x_0 ist gleich der Steigung der Tangente, d. h. y"(x_0)=-24x_0+b=3. Andererseits gehört der Tangentenpunkt gleichzeitig zu beiden Graphen des Funktion und der Tangente, also -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2 \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(Fälle)

Wenn wir dieses System lösen, erhalten wir x_0^2=1, was entweder x_0=-1 oder x_0=1 bedeutet. Gemäß der Abszissenbedingung sind die Tangentenpunkte kleiner als Null, also x_0=-1, dann b=3+24x_0=-21.

Antwort

Jobtyp: 7
Thema: Geometrische Bedeutung von Ableitungen. Tangente an den Graphen einer Funktion

Zustand

Die Gerade y=-3x+4 verläuft parallel zur Tangente an den Graphen der Funktion y=-x^2+5x-7. Finden Sie die Abszisse des Tangentenpunkts.

Lösung

Der Winkelkoeffizient der Geraden zum Graphen der Funktion y=-x^2+5x-7 an einem beliebigen Punkt x_0 ist gleich y"(x_0). Aber y"=-2x+5, was y" bedeutet (x_0)=-2x_0+5. Der in der Bedingung angegebene Winkelkoeffizient y=-3x+4 ist gleich -3. Daher finden wir einen Wert von x_0, sodass = -2x_0 +5=-3.

Wir erhalten: x_0 = 4.

Antwort

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen 2017. Profilebene.“ Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Jobtyp: 7
Thema: Geometrische Bedeutung von Ableitungen. Tangente an den Graphen einer Funktion

Zustand

Lösung

Aus der Abbildung bestimmen wir, dass die Tangente durch die Punkte A(-6; 2) und B(-1; 1) verläuft. Bezeichnen wir mit C(-6; 1) den Schnittpunkt der Geraden x=-6 und y=1 und mit \alpha den Winkel ABC (in der Abbildung sieht man, dass er spitz ist). Dann bildet die Gerade AB einen Winkel \pi -\alpha mit der positiven Richtung der Ox-Achse, die stumpf ist.

Bekanntlich ist tg(\pi -\alpha) der Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x_0. beachte das tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. Von hier aus erhalten wir unter Verwendung der Reduktionsformeln: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Antwort

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen 2017. Profilebene.“ Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Jobtyp: 7
Thema: Geometrische Bedeutung von Ableitungen. Tangente an den Graphen einer Funktion

Zustand

Die Gerade y=-2x-4 tangiert den Graphen der Funktion y=16x^2+bx+12. Finden Sie b, vorausgesetzt, die Abszisse des Tangentenpunkts ist größer als Null.

Lösung

Sei x_0 die Abszisse des Punktes auf dem Graphen der Funktion y=16x^2+bx+12 durch die

ist tangential zu diesem Diagramm.

Der Wert der Ableitung am Punkt x_0 ist gleich der Steigung der Tangente, d. h. y"(x_0)=32x_0+b=-2. Andererseits gehört der Tangentenpunkt gleichzeitig zu beiden Graphen des Funktion und der Tangente, also 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Wir erhalten ein Gleichungssystem \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(Fälle)

Wenn wir das System lösen, erhalten wir x_0^2=1, was entweder x_0=-1 oder x_0=1 bedeutet. Gemäß der Abszissenbedingung sind die Tangentenpunkte größer als Null, also x_0=1, dann b=-2-32x_0=-34.

Antwort

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen 2017. Profilebene.“ Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Jobtyp: 7
Thema: Geometrische Bedeutung von Ableitungen. Tangente an den Graphen einer Funktion

Zustand

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y=f(x), definiert im Intervall (-2; 8). Bestimmen Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Tangente an den Funktionsgraphen parallel zur Geraden y=6 verläuft.

Lösung

Die Gerade y=6 verläuft parallel zur Ox-Achse. Daher finden wir Punkte, an denen die Tangente an den Funktionsgraphen parallel zur Ox-Achse verläuft. In diesem Diagramm sind solche Punkte Extrempunkte (Maximal- oder Minimalpunkte). Wie Sie sehen, gibt es 4 Extrempunkte.

Antwort

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen 2017. Profilebene.“ Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Jobtyp: 7
Thema: Geometrische Bedeutung von Ableitungen. Tangente an den Graphen einer Funktion

Zustand

Die Gerade y=4x-6 verläuft parallel zur Tangente an den Graphen der Funktion y=x^2-4x+9. Finden Sie die Abszisse des Tangentenpunkts.

Lösung

Die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion y=x^2-4x+9 an einem beliebigen Punkt x_0 ist gleich y"(x_0). Aber y"=2x-4, was y"(x_0)= bedeutet 2x_0-4. Die in der Bedingung angegebene Steigung der Tangente y =4x-7 ist gleich 4. Parallele Linien haben die gleichen Winkelkoeffizienten, sodass 2x_0-4=4 ist.

Antwort

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen 2017. Profilebene.“ Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Jobtyp: 7
Thema: Geometrische Bedeutung von Ableitungen. Tangente an den Graphen einer Funktion

Zustand

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion y=f(x) und die Tangente daran im Punkt mit der Abszisse x_0. Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x_0.

Lösung

Aus der Abbildung bestimmen wir, dass die Tangente durch die Punkte A(1; 1) und B(5; 4) verläuft. Bezeichnen wir mit C(5; 1) den Schnittpunkt der Geraden x=5 und y=1 und mit \alpha den Winkel BAC (Sie können in der Abbildung sehen, dass er spitz ist). Dann bildet die Gerade AB einen Winkel \alpha mit der positiven Richtung der Ox-Achse.

Betrachten Sie die folgende Abbildung:

Es stellt eine bestimmte Funktion y = f(x) dar, die im Punkt a differenzierbar ist. Punkt M mit den Koordinaten (a; f(a)) ist markiert. Eine Sekante MR wird durch einen beliebigen Punkt P(a + ∆x; f(a + ∆x)) des Graphen gezeichnet.

Wenn nun der Punkt P entlang des Diagramms zum Punkt M verschoben wird, dreht sich die Gerade MR um den Punkt M. In diesem Fall tendiert ∆x gegen Null. Von hier aus können wir die Definition einer Tangente an den Graphen einer Funktion formulieren.

Tangente an den Graphen einer Funktion

Die Tangente an den Graphen einer Funktion ist die Grenzposition der Sekante, wenn das Inkrement des Arguments gegen Null geht. Es versteht sich, dass die Existenz der Ableitung der Funktion f am Punkt x0 bedeutet, dass sie an diesem Punkt des Diagramms vorhanden ist Tangente zu ihm.

In diesem Fall ist der Winkelkoeffizient der Tangente gleich der Ableitung dieser Funktion an diesem Punkt f’(x0). Dies ist die geometrische Bedeutung der Ableitung. Die Tangente an den Graphen einer am Punkt x0 differenzierbaren Funktion f ist eine bestimmte Gerade, die durch den Punkt (x0;f(x0)) verläuft und einen Winkelkoeffizienten f’(x0) hat.

Tangentengleichung

Versuchen wir, die Gleichung der Tangente an den Graphen einer Funktion f am Punkt A(x0; f(x0)) zu erhalten. Die Gleichung einer Geraden mit Steigung k hat folgende Form:

Da unser Steigungskoeffizient gleich der Ableitung ist f’(x0), dann nimmt die Gleichung die folgende Form an: y = f’(x0)*x + b.

Berechnen wir nun den Wert von b. Dazu nutzen wir die Tatsache, dass die Funktion durch Punkt A verläuft.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, von hier aus drücken wir b aus und erhalten b = f(x0) – f’(x0)*x0.

Den resultierenden Wert setzen wir in die Tangentengleichung ein:

y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) – f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x – x0).

y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

Betrachten Sie das folgende Beispiel: Finden Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 am Punkt x = 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Setzen Sie die erhaltenen Werte in die Tangensformel ein, wir erhalten: y = 1 + 4*(x - 2). Wenn wir die Klammern öffnen und ähnliche Begriffe einsetzen, erhalten wir: y = 4*x - 7.

Antwort: y = 4*x - 7.

Allgemeines Schema zum Erstellen der Tangentengleichung zum Graphen der Funktion y = f(x):

1. Bestimmen Sie x0.

2. Berechnen Sie f(x0).

3. Berechnen Sie f’(x)