Dezimalzahlen dividieren und multiplizieren. Dezimalbrüche und Operationen mit ihnen. Dezimalzahlen dividieren und multiplizieren Wie man Dezimalzahlen schreibt

Brüche geschrieben in der Form 0,8; 0,13; 2,856; 5,2; 0,04 wird als Dezimalzahl bezeichnet. Tatsächlich sind Dezimalzahlen eine vereinfachte Schreibweise für gewöhnliche Brüche. Diese Notation lässt sich bequem für alle Brüche verwenden, deren Nenner 10, 100, 1000 usw. sind.

Schauen wir uns Beispiele an (0,5 wird als null Komma fünf gelesen);

(0,15 gelesen als Null Komma fünfzehn);

(5.3 lautet: fünf Punkt drei).

Bitte beachten Sie, dass in der Notation eines Dezimalbruchs ein Komma den ganzzahligen Teil einer Zahl vom Bruchteil trennt, der ganzzahlige Teil eines echten Bruchs ist 0. Die Notation des Bruchteils eines Dezimalbruchs enthält so viele Ziffern wie Es gibt Nullen in der Notation des Nenners des entsprechenden gewöhnlichen Bruchs.

Schauen wir uns ein Beispiel an: , , .

In manchen Fällen kann es notwendig sein, eine natürliche Zahl als eine Dezimalzahl zu behandeln, deren Bruchteil Null ist. Es ist üblich zu schreiben, dass 5 = 5,0; 245 = 245,0 und so weiter. Beachten Sie, dass in der Dezimalschreibweise einer natürlichen Zahl die Einheit der niedrigstwertigen Ziffer zehnmal kleiner ist als die Einheit der benachbarten höchstwertigen Ziffer. Das Schreiben von Dezimalbrüchen hat die gleiche Eigenschaft. Daher gibt es unmittelbar nach dem Dezimalpunkt eine Zehntelstelle, dann eine Hundertstelstelle, dann eine Tausendstelstelle und so weiter. Unten sind die Namen der Ziffern der Zahl 31.85431 aufgeführt, die ersten beiden Spalten sind der ganzzahlige Teil, die restlichen Spalten sind der Bruchteil.

Dieser Bruch wird als einunddreißig Komma fünfundachtzigtausendvierhunderteinunddreißighunderttausendstel gelesen.

Dezimalzahlen addieren und subtrahieren

Die erste Möglichkeit besteht darin, Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche umzuwandeln und eine Addition durchzuführen.

Wie aus dem Beispiel hervorgeht, ist diese Methode sehr umständlich und es ist besser, die zweite Methode zu verwenden, die korrekter ist, ohne Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche umzuwandeln. Um zwei Dezimalbrüche zu addieren, müssen Sie:

• die Anzahl der Nachkommastellen in den Termen ausgleichen;
• Schreiben Sie die Begriffe so untereinander, dass jede Ziffer des zweiten Begriffs unter der entsprechenden Ziffer des ersten Begriffs steht.
• Addieren Sie die resultierenden Zahlen auf die gleiche Weise, wie Sie natürliche Zahlen addieren.
• Setzen Sie in der resultierenden Summe unter den Kommas in den Begriffen ein Komma.

Schauen wir uns Beispiele an:

• Gleichen Sie die Anzahl der Nachkommastellen im Minuend und Subtrahend aus.
• Schreiben Sie den Subtrahend so unter den Minuenden, dass jede Ziffer des Subtrahends unter der entsprechenden Ziffer des Minuenden steht.
• Führen Sie die Subtraktion auf die gleiche Weise durch, wie natürliche Zahlen subtrahiert werden.
• Setzen Sie in der resultierenden Differenz unter den Kommas im Minuend und Subtrahend ein Komma.

Schauen wir uns Beispiele an:

In den oben besprochenen Beispielen ist ersichtlich, dass die Addition und Subtraktion von Dezimalbrüchen Stück für Stück durchgeführt wurde, also auf die gleiche Weise, wie wir ähnliche Operationen mit natürlichen Zahlen durchgeführt haben. Dies ist der Hauptvorteil der dezimalen Schreibweise von Brüchen.

Dezimalzahlen multiplizieren

Um einen Dezimalbruch mit 10, 100, 1000 usw. zu multiplizieren, müssen Sie den Dezimalpunkt in diesem Bruch jeweils um 1, 2, 3 usw. nach rechts verschieben. Wenn also das Komma um 1, 2, 3 usw. nach rechts verschoben wird, erhöht sich der Bruch entsprechend um das 10-, 100-, 1000-fache usw. Um zwei Dezimalbrüche zu multiplizieren, müssen Sie:

• Multiplizieren Sie sie als natürliche Zahlen und ignorieren Sie Kommas.
• Trennen Sie im resultierenden Produkt rechts so viele Ziffern durch ein Komma, wie nach den Kommas in beiden Faktoren zusammen vorhanden sind.

Es gibt Fälle, in denen ein Produkt weniger Ziffern enthält, als durch ein Komma getrennt werden müssen; vor diesem Produkt wird die erforderliche Anzahl von Nullen nach links hinzugefügt und dann das Komma um die erforderliche Anzahl von Ziffern nach links verschoben.

Schauen wir uns Beispiele an: 2 * 4 = 8, dann 0,2 * 0,4 = 0,08; 23 * 35 = 805, dann 0,023 * 0,35 = 0,00805.

Es gibt Fälle, in denen einer der Multiplikatoren gleich 0,1 ist; 0,01; 0,001 usw. ist es bequemer, die folgende Regel zu verwenden.

• Eine Dezimalzahl mit 0,1 multiplizieren; 0,01; 0,001 usw. In diesem Dezimalbruch müssen Sie den Dezimalpunkt jeweils um 1, 2, 3 usw. nach links verschieben.

Schauen wir uns Beispiele an: 2,65 * 0,1 = 0,265; 457,6 * 0,01 = 4,576.

Die Eigenschaften der Multiplikation natürlicher Zahlen gelten auch für Dezimalbrüche.

• ab = ba- kommutative Eigenschaft der Multiplikation;
• (ab) c = a (bc)- die assoziative Eigenschaft der Multiplikation;
• a (b + c) = ab + ac ist eine Verteilungseigenschaft der Multiplikation relativ zur Addition.

Dezimaldivision

Es ist bekannt, dass man eine natürliche Zahl dividieren kann A zu einer natürlichen Zahl B bedeutet, eine solche natürliche Zahl zu finden C, was bei Multiplikation mit B gibt eine Zahl an A. Diese Regel bleibt wahr, wenn mindestens eine der Zahlen a, b, c ist ein Dezimalbruch.

Schauen wir uns ein Beispiel an: Sie müssen 43,52 durch 17 mit einer Ecke dividieren und dabei das Komma ignorieren. In diesem Fall sollte das Komma im Quotienten unmittelbar vor der ersten Ziffer nach dem Komma im Dividenden stehen.

Es gibt Fälle, in denen der Dividend kleiner als der Divisor ist und der ganzzahlige Teil des Quotienten gleich Null ist. Schauen wir uns ein Beispiel an:

Schauen wir uns ein weiteres interessantes Beispiel an.

Der Divisionsvorgang wurde gestoppt, weil die Ziffern des Dividenden aufgebraucht sind und der Rest keine Null hat. Es ist bekannt, dass sich ein Dezimalbruch nicht ändert, wenn ihm rechts beliebig viele Nullen hinzugefügt werden. Dann wird klar, dass die Zahlen der Dividende kein Ende nehmen können.

Um einen Dezimalbruch durch 10, 100, 1000 usw. zu dividieren, müssen Sie den Dezimalpunkt in diesem Bruch um 1, 2, 3 usw. Stellen nach links verschieben. Schauen wir uns ein Beispiel an: 5,14: 10 = 0,514; 2: 100 = 0,02; 37,51: 1000 = 0,03751.

Wenn Dividende und Divisor gleichzeitig um das 10-, 100-, 1000-fache usw. erhöht werden, ändert sich der Quotient nicht.

Betrachten Sie ein Beispiel: 39,44: 1,6 = 24,65, erhöhen Sie den Dividenden und den Divisor um das Zehnfache. 394,4: 16 = 24,65 Es ist fair anzumerken, dass die Division eines Dezimalbruchs durch eine natürliche Zahl im zweiten Beispiel einfacher ist.

Um einen Dezimalbruch durch eine Dezimalzahl zu dividieren, müssen Sie Folgendes tun:

• Verschieben Sie die Kommas im Dividenden und Divisor um so viele Stellen nach rechts, wie nach dem Dezimalpunkt im Divisor vorhanden sind.
• durch eine natürliche Zahl dividieren.

Betrachten wir ein Beispiel: 23,6: 0,02. Beachten Sie, dass der Divisor zwei Dezimalstellen hat. Daher multiplizieren wir beide Zahlen mit 100 und erhalten 2360: 2 = 1180. Teilen Sie das Ergebnis durch 100 und erhalten Sie die Antwort 11,80 oder 23,6: 0, 02 = 11.8.

Vergleich von Dezimalzahlen

Es gibt zwei Möglichkeiten, Dezimalzahlen zu vergleichen. Methode eins: Sie müssen zwei Dezimalbrüche 4,321 und 4,32 vergleichen, die Anzahl der Dezimalstellen ausgleichen und anfangen, Stelle für Stelle, Zehntel mit Zehntel, Hundertstel mit Hundertstel usw. zu vergleichen. Am Ende erhalten wir 4,321 > 4,320.

Die zweite Möglichkeit, Dezimalbrüche zu vergleichen, besteht darin, das obige Beispiel mit 1000 zu multiplizieren und 4321 > 4320 zu vergleichen. Welche Methode bequemer ist, entscheidet jeder für sich.

In diesem Artikel werden wir verstehen, was ein Dezimalbruch ist und welche Merkmale und Eigenschaften er hat. Gehen! 🙂

Ein Dezimalbruch ist ein Sonderfall gewöhnlicher Brüche (wobei der Nenner ein Vielfaches von 10 ist).

Definition

Dezimalzahlen sind Brüche, deren Nenner Zahlen sind, die aus einer Eins und mehreren darauf folgenden Nullen bestehen. Das heißt, es handelt sich um Brüche mit dem Nenner 10, 100, 1000 usw. Ansonsten kann ein Dezimalbruch als Bruch mit dem Nenner 10 oder einer Zehnerpotenz charakterisiert werden.

Beispiele für Brüche:

, ,

Dezimalbrüche werden anders geschrieben als gewöhnliche Brüche. Operationen mit diesen Brüchen unterscheiden sich auch von Operationen mit gewöhnlichen Brüchen. Die Regeln für Operationen mit ihnen ähneln weitgehend den Regeln für Operationen mit ganzen Zahlen. Dies erklärt insbesondere ihren Anspruch, praktische Probleme zu lösen.

Darstellung von Brüchen in Dezimalschreibweise

Der Dezimalbruch hat keinen Nenner; er zeigt die Zahl des Zählers an. Im Allgemeinen wird ein Dezimalbruch nach folgendem Schema geschrieben:

Dabei ist X der ganzzahlige Teil des Bruchs, Y sein Bruchteil und „“ der Dezimalpunkt.

Um einen Bruch korrekt als Dezimalzahl darzustellen, muss es sich um einen regulären Bruch handeln, d. h. mit hervorgehobenem ganzzahligem Teil (wenn möglich) und einem Zähler, der kleiner als der Nenner ist. Dann wird in der Dezimalschreibweise der ganzzahlige Teil vor dem Dezimalpunkt (X) und der Zähler des gemeinsamen Bruchs nach dem Dezimalpunkt (Y) geschrieben.

Wenn der Zähler eine Zahl mit weniger Ziffern als der Anzahl der Nullen im Nenner enthält, wird in Teil Y die fehlende Anzahl an Ziffern in der Dezimalschreibweise mit Nullen vor den Ziffern des Zählers aufgefüllt.

Beispiel:

Wenn ein gewöhnlicher Bruch kleiner als 1 ist, d.h. keinen ganzzahligen Teil hat, dann schreiben Sie für X in Dezimalform 0.

Im Nachkommateil (Y) kann nach der letzten signifikanten Ziffer (nicht Null) eine beliebige Anzahl von Nullen eingegeben werden. Dies hat keinen Einfluss auf den Wert des Bruchs. Umgekehrt können alle Nullen am Ende des Nachkommateils der Dezimalzahl weggelassen werden.

Dezimalzahlen lesen

Teil X wird im Allgemeinen wie folgt gelesen: „X ganze Zahlen.“

Der Y-Teil wird entsprechend der Zahl im Nenner gelesen. Für Nenner 10 müsste lauten: „Y Zehntel“, für Nenner 100: „Y Hundertstel“, für Nenner 1000: „Y Tausendstel“ und so weiter... 😉

Ein anderer Leseansatz, der auf dem Zählen der Ziffern des Bruchteils basiert, gilt als korrekter. Dazu müssen Sie verstehen, dass die Nachkommastellen spiegelbildlich zu den Ziffern des ganzen Teils des Bruchs angeordnet sind.

Die Namen zur korrekten Lesart finden Sie in der Tabelle:

Auf dieser Grundlage sollte das Lesen auf der Einhaltung des Namens der Ziffer der letzten Ziffer des Bruchteils basieren.

• 3.5 wird als „drei Komma fünf“ gelesen
• 0,016 lautet „null Komma sechzehntausendstel“

Einen beliebigen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln

Wenn der Nenner eines gemeinsamen Bruchs 10 oder eine Zehnerpotenz ist, erfolgt die Umrechnung des Bruchs wie oben beschrieben. In anderen Situationen sind zusätzliche Transformationen erforderlich.

Es gibt 2 Übersetzungsmethoden.

Erste Übertragungsmethode

Zähler und Nenner müssen mit einer solchen ganzen Zahl multipliziert werden, dass der Nenner die Zahl 10 oder eine der Zehnerpotenzen ergibt. Und dann wird der Bruch in Dezimalschreibweise dargestellt.

Diese Methode ist auf Brüche anwendbar, deren Nenner nur auf 2 und 5 erweitert werden kann. Dies gilt auch für das vorherige Beispiel . Wenn die Entwicklung andere Primfaktoren enthält (z. B. ), müssen Sie auf die 2. Methode zurückgreifen.

Zweite Übersetzungsmethode

Die zweite Methode besteht darin, den Zähler durch den Nenner in einer Spalte oder auf einem Taschenrechner zu dividieren. Der gesamte Teil, falls vorhanden, nimmt nicht an der Transformation teil.

Die Regel für eine lange Division, die einen Dezimalbruch ergibt, wird unten beschrieben (siehe Division von Dezimalzahlen).

Einen Dezimalbruch in einen gewöhnlichen Bruch umwandeln

Dazu notieren Sie den Bruchteil (rechts vom Dezimalpunkt) als Zähler und das Ergebnis der Ablesung des Bruchteils als entsprechende Zahl im Nenner. Als nächstes müssen Sie, wenn möglich, den resultierenden Bruch reduzieren.

Endlicher und unendlicher Dezimalbruch

Als Endbruch wird ein Dezimalbruch bezeichnet, dessen Bruchteil aus einer endlichen Anzahl von Ziffern besteht.

Alle obigen Beispiele enthalten letzte Dezimalbrüche. Allerdings kann nicht jeder gewöhnliche Bruch als letzte Dezimalzahl dargestellt werden. Wenn die erste Umrechnungsmethode für einen bestimmten Bruch nicht anwendbar ist und die zweite Methode zeigt, dass die Division nicht abgeschlossen werden kann, kann nur ein unendlicher Dezimalbruch erhalten werden.

Es ist unmöglich, einen unendlichen Bruch in seiner vollständigen Form zu schreiben. In unvollständiger Form können solche Brüche dargestellt werden:

1. durch Reduzierung auf die gewünschte Anzahl von Nachkommastellen;
2. als periodischer Bruch.

Ein Bruch heißt periodisch, wenn hinter dem Komma eine sich endlos wiederholende Ziffernfolge erkennbar ist.

Die übrigen Brüche heißen nichtperiodisch. Für nichtperiodische Brüche ist nur die 1. Darstellungsart (Rundung) zulässig.

Ein Beispiel für einen periodischen Bruch: 0,8888888... Hier gibt es eine sich wiederholende Zahl 8, die natürlich bis ins Unendliche wiederholt wird, da es keinen Grund gibt, etwas anderes anzunehmen. Diese Zahl heißt Periode des Bruchs.

Periodische Brüche können rein oder gemischt sein. Ein reiner Dezimalbruch ist ein Bruch, dessen Periode unmittelbar nach dem Dezimalpunkt beginnt. Ein gemischter Bruch hat eine oder mehrere Ziffern vor dem Dezimalpunkt.

54,33333… – periodischer reiner Dezimalbruch

2,5621212121… – periodischer gemischter Bruch

Beispiele für das Schreiben unendlicher Dezimalbrüche:

Das zweite Beispiel zeigt, wie man einen Punkt beim Schreiben eines periodischen Bruchs richtig formatiert.

Periodische Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche umwandeln

Um einen reinen periodischen Bruch in eine gewöhnliche Periode umzuwandeln, schreiben Sie ihn in den Zähler und schreiben Sie in den Nenner eine Zahl, die aus Neunen besteht und der Anzahl der Ziffern in der Periode entspricht.

Der gemischte periodische Dezimalbruch wird wie folgt übersetzt:

1. Sie müssen eine Zahl bilden, die aus der Zahl nach dem Komma vor dem Punkt und dem ersten Punkt besteht;
2. Subtrahieren Sie von der resultierenden Zahl die Zahl nach dem Dezimalpunkt vor dem Punkt. Das Ergebnis ist der Zähler des gemeinsamen Bruchs;
3. Im Nenner müssen Sie eine Zahl eingeben, die aus einer Zahl von Neunen besteht, die der Anzahl der Ziffern des Punkts entspricht, gefolgt von Nullen, deren Anzahl der Anzahl der Ziffern der Zahl nach dem Komma vor dem 1. entspricht Zeitraum.

Vergleich von Dezimalzahlen

Dezimalbrüche werden zunächst anhand ihrer ganzen Teile verglichen. Der Bruch, dessen ganzer Teil größer ist, ist größer.

Wenn die ganzzahligen Teile gleich sind, vergleichen Sie die Ziffern der entsprechenden Ziffern des Bruchteils, beginnend mit der ersten (von den Zehnteln). Auch hier gilt das gleiche Prinzip: Der größere Bruch ist der mit mehr Zehnteln; Wenn die Zehntelstellen gleich sind, werden die Hundertstelstellen verglichen und so weiter.

Weil das

, da bei gleichen ganzen Teilen und gleichen Zehnteln im Nachkommateil der 2. Bruch eine größere Hundertstelzahl hat.

Dezimalzahlen addieren und subtrahieren

Dezimalzahlen werden wie ganze Zahlen addiert und subtrahiert, indem man die entsprechenden Ziffern untereinander schreibt. Dazu müssen die Dezimalpunkte untereinander liegen. Dann stimmen die Einheiten (Zehner usw.) des ganzzahligen Teils sowie die Zehntel (Hundertstel usw.) des Bruchteils überein. Die fehlenden Ziffern des Nachkommateils werden durch Nullen aufgefüllt. Direkt Der Vorgang der Addition und Subtraktion erfolgt auf die gleiche Weise wie bei ganzen Zahlen.

Dezimalzahlen multiplizieren

Um Dezimalzahlen zu multiplizieren, müssen Sie sie untereinander schreiben, an der letzten Ziffer ausgerichtet und ohne auf die Position der Dezimalpunkte zu achten. Dann müssen Sie die Zahlen auf die gleiche Weise multiplizieren wie beim Multiplizieren ganzer Zahlen. Nachdem Sie das Ergebnis erhalten haben, sollten Sie die Anzahl der Nachkommastellen in beiden Brüchen neu berechnen und die Gesamtzahl der Nachkommastellen in der resultierenden Zahl durch ein Komma trennen. Wenn nicht genügend Ziffern vorhanden sind, werden diese durch Nullen ersetzt.

Dezimalzahlen mit 10n multiplizieren und dividieren

Diese Aktionen sind einfach und beschränken sich auf das Verschieben des Dezimalpunkts. P Beim Multiplizieren wird der Dezimalpunkt um eine Anzahl von Stellen nach rechts verschoben (der Bruch wird erhöht), die der Anzahl der Nullen in 10n entspricht, wobei n eine beliebige ganzzahlige Potenz ist. Das heißt, eine bestimmte Anzahl von Ziffern wird vom Bruchteil auf den ganzen Teil übertragen. Beim Dividieren wird dementsprechend das Komma nach links verschoben (die Zahl verringert sich) und einige Ziffern werden vom ganzzahligen Teil in den Bruchteil übertragen. Wenn nicht genügend Zahlen zum Übertragen vorhanden sind, werden die fehlenden Bits mit Nullen aufgefüllt.

Division einer Dezimalzahl und einer ganzen Zahl durch eine ganze Zahl und eine Dezimalzahl

Das Teilen einer Dezimalzahl durch eine ganze Zahl ähnelt dem Teilen zweier ganzer Zahlen. Darüber hinaus müssen Sie nur die Position des Dezimalpunkts berücksichtigen: Wenn Sie die Ziffer einer Stelle mit anschließendem Komma entfernen, müssen Sie nach der aktuellen Ziffer der generierten Antwort ein Komma setzen. Als nächstes müssen Sie weiter dividieren, bis Sie Null erhalten. Wenn der Dividend nicht genügend Vorzeichen für eine vollständige Division enthält, sollten als diese Nullen verwendet werden.

Ebenso werden 2 ganze Zahlen in eine Spalte geteilt, wenn alle Ziffern des Dividenden entfernt werden und die vollständige Division noch nicht abgeschlossen ist. In diesem Fall wird nach dem Entfernen der letzten Ziffer des Dividenden ein Dezimalpunkt in die resultierende Antwort eingefügt und Nullen als entfernte Ziffern verwendet. Diese. Die Dividende wird hier im Wesentlichen als Dezimalbruch mit einem Null-Nachkommateil dargestellt.

Um einen Dezimalbruch (oder eine ganze Zahl) durch eine Dezimalzahl zu dividieren, müssen Sie Dividend und Divisor mit der Zahl 10 n multiplizieren, wobei die Anzahl der Nullen gleich der Anzahl der Nachkommastellen im Divisor ist. Auf diese Weise entfernst du den Dezimalpunkt in dem Bruch, durch den du dividieren möchtest. Darüber hinaus stimmt der Teilungsprozess mit dem oben beschriebenen überein.

Grafische Darstellung von Dezimalbrüchen

Dezimalbrüche werden grafisch anhand einer Koordinatenlinie dargestellt. Dazu werden einzelne Segmente weiter in 10 gleiche Teile geteilt, so wie auf einem Lineal Zentimeter und Millimeter gleichzeitig markiert werden. Dadurch wird sichergestellt, dass Dezimalzahlen genau angezeigt werden und objektiv verglichen werden können.

Damit die Unterteilungen auf den einzelnen Segmenten identisch sind, sollten Sie die Länge des einzelnen Segments selbst sorgfältig abwägen. Es sollte so beschaffen sein, dass der Komfort einer zusätzlichen Unterteilung gewährleistet werden kann.

Anweisungen

Lernen Sie, Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche umzuwandeln. Zählen Sie, wie viele Zeichen durch ein Komma getrennt sind. Eine Ziffer rechts vom Dezimalpunkt bedeutet, dass der Nenner 10 ist, zwei bedeuten 100, drei bedeuten 1000 und so weiter. Der Dezimalbruch 6,8 ist beispielsweise wie „sechs Komma acht“. Schreiben Sie bei der Umrechnung zunächst die Anzahl der ganzen Einheiten auf - 6. Schreiben Sie 10 in den Nenner. Es stellt sich heraus, dass 6,8 = 6 8/10. Beachten Sie die Abkürzungsregeln. Wenn Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilbar sind, kann der Bruch durch einen gemeinsamen Teiler reduziert werden. In diesem Fall ist die Zahl 2. 6 8/10 = 6 2/5.

Versuchen Sie, Dezimalzahlen hinzuzufügen. Wenn Sie dies in einer Spalte tun, dann seien Sie vorsichtig. Die Ziffern aller Zahlen müssen streng untereinander stehen – unter dem Komma. Die Additionsregeln sind genau die gleichen wie beim Betrieb mit . Addieren Sie einen weiteren Dezimalbruch zur gleichen Zahl 6,8 – zum Beispiel 7,3. Schreiben Sie eine Drei unter eine Acht, ein Komma unter ein Komma und eine Sieben unter eine Sechs. Beginnen Sie mit dem Hinzufügen ab der letzten Ziffer. 3+8=11, das heißt, 1 aufschreiben, 1 merken. Als nächstes addieren Sie 6+7, Sie erhalten 13. Addieren Sie, was Ihnen noch im Kopf geblieben ist, und schreiben Sie das Ergebnis auf – 14.1.

Die Subtraktion folgt dem gleichen Prinzip. Schreiben Sie die Ziffern untereinander und das Komma unter das Komma. Verwenden Sie es immer als Richtlinie, insbesondere wenn die Anzahl der darauf folgenden Ziffern im Minuend geringer ist als im Subtrahend. Subtrahieren Sie von der angegebenen Zahl, zum Beispiel 2,139. Schreiben Sie die zwei unter die sechs, die eins unter die acht und die restlichen zwei Ziffern unter die nächsten Ziffern, die als Nullen bezeichnet werden können. Es stellt sich heraus, dass der Minuend nicht 6,8, sondern 6,800 ist. Durch die Durchführung dieser Aktion erhalten Sie insgesamt 4.661.

Operationen mit negativen Dezimalzahlen werden auf die gleiche Weise durchgeführt wie mit ganzen Zahlen. Beim Addieren wird das Minus außerhalb der Klammern platziert, und die angegebenen Zahlen werden in die Klammern geschrieben und ein Plus dazwischen gesetzt. Das Ergebnis ist eine negative Zahl. Das heißt, wenn Sie -6,8 und -7,3 addieren, erhalten Sie das gleiche Ergebnis wie 14,1, jedoch mit einem „-“-Zeichen davor. Ist der Subtrahend größer als der Minuend, wird auch das Minus aus der Klammer genommen und die kleinere Zahl von der größeren Zahl subtrahiert. Subtrahieren Sie -7,3 von 6,8. Transformieren Sie den Ausdruck wie folgt. 6,8 - 7,3 = -(7,3 - 6,8) = -0,5.

Um Dezimalzahlen zu multiplizieren, vergessen Sie für einen Moment den Dezimalpunkt. Multiplizieren Sie sie, als ob Sie ganze Zahlen betrachten würden. Zählen Sie anschließend die Anzahl der Nachkommastellen beider Faktoren. Trennen Sie die gleiche Anzahl von Zeichen im Werk. Die Multiplikation von 6,8 und 7,3 ergibt eine Gesamtsumme von 49,64. Das heißt, rechts vom Dezimalpunkt stehen zwei Vorzeichen, während es beim Multiplikanden und beim Multiplikator jeweils eins gab.

Teilen Sie den angegebenen Bruch durch eine ganze Zahl. Diese Aktion wird genauso ausgeführt wie bei Ganzzahlen. Die Hauptsache ist, das Komma nicht zu vergessen und 0 an den Anfang zu setzen, wenn die Anzahl ganzer Einheiten nicht durch den Divisor teilbar ist. Versuchen Sie beispielsweise, die gleiche Zahl 6,8 durch 26 zu dividieren. Setzen Sie am Anfang eine 0, da 6 kleiner als 26 ist. Trennen Sie die Zahl durch ein Komma, dann folgen Zehntel und Hundertstel. Das Ergebnis beträgt etwa 0,26. Tatsächlich erhält man in diesem Fall einen unendlichen nichtperiodischen Bruch, der auf die gewünschte Genauigkeit gerundet werden kann.

Wenn Sie zwei Dezimalbrüche dividieren, nutzen Sie die Eigenschaft, dass sich der Quotient nicht ändert, wenn Dividend und Divisor mit derselben Zahl multipliziert werden. Das heißt, wandeln Sie beide Brüche in ganze Zahlen um, je nachdem, wie viele Dezimalstellen es gibt. Wenn Sie 6,8 durch 7,3 teilen möchten, multiplizieren Sie einfach beide Zahlen mit 10. Es stellt sich heraus, dass Sie 68 durch 73 teilen müssen. Wenn eine der Zahlen mehr Dezimalstellen hat, konvertieren Sie sie zuerst in eine ganze Zahl und dann in die zweite Zahl. Multiplizieren Sie es mit derselben Zahl. Das heißt, wenn Sie 6,8 durch 4,136 dividieren, erhöhen Sie Dividende und Divisor nicht um das Zehnfache, sondern um das 1000-fache. Teilen Sie 6800 durch 1436, um 4,735 zu erhalten.

Bruchzahl.

Dezimalschreibweise einer Bruchzahl ist eine Menge von zwei oder mehr Ziffern von $0$ bis $9$, zwischen denen sich ein sogenannter \textit (Dezimalpunkt) befindet.

Beispiel 1

Beispiel: 35,02 $; 100,7 $; 123 $\456,5 $; 54,89 $.

Die Ziffer ganz links in der Dezimalschreibweise einer Zahl darf nicht Null sein. Die einzige Ausnahme besteht darin, dass der Dezimalpunkt unmittelbar nach der ersten Ziffer $0$ steht.

Beispiel 2

Beispiel: 0,357 $; 0,064 $.

Oft wird der Dezimalpunkt durch einen Dezimalpunkt ersetzt. Beispiel: 35,02 $; 100,7 $; 123\456,5$; 54,89 $.

Dezimaldefinition

Definition 1

Dezimalstellen– Dies sind Bruchzahlen, die in Dezimalschreibweise dargestellt werden.

Beispiel: 121,05 $; 67,9 $; 345,6700 $.

Dezimalzahlen werden verwendet, um echte Brüche kompakter zu schreiben, deren Nenner die Zahlen $10$, $100$, $1\000$ usw. sind. und gemischte Zahlen, deren Nenner des Bruchteils die Zahlen $10$, $100$, $1\000$ usw. sind.

Beispielsweise kann der gemeinsame Bruch $\frac(8)(10)$ als Dezimalzahl $0,8$ geschrieben werden, und die gemischte Zahl $405\frac(8)(100)$ kann als Dezimalzahl $405,08$ geschrieben werden.

Dezimalzahlen lesen

Dezimalbrüche, die regulären Brüchen entsprechen, werden genauso gelesen wie gewöhnliche Brüche, nur dass der Ausdruck „Null-Ganzzahl“ vorangestellt wird. Beispielsweise entspricht der gemeinsame Bruch $\frac(25)(100)$ (sprich „fünfundzwanzig Hundertstel“) dem Dezimalbruch $0,25$ (sprich „Nullkomma fünfundzwanzig Hundertstel“).

Dezimalbrüche, die gemischten Zahlen entsprechen, werden auf die gleiche Weise gelesen wie gemischte Zahlen. Beispielsweise entspricht die gemischte Zahl $43\frac(15)(1000)$ dem Dezimalbruch $43,015$ (sprich „dreiundvierzig Komma fünfzehntausendstel“).

Stellen in Dezimalstellen

Beim Schreiben eines Dezimalbruchs hängt die Bedeutung jeder Ziffer von ihrer Position ab. Diese. bei Dezimalbrüchen gilt das Konzept auch Kategorie.

Stellen in Dezimalbrüchen bis zum Komma werden genauso bezeichnet wie Stellen in natürlichen Zahlen. Die Nachkommastellen sind in der Tabelle aufgeführt:

Bild 1.

Beispiel 3

Beispielsweise befindet sich im Dezimalbruch $56,328$ die Ziffer $5$ an der Zehnerstelle, $6$ an der Einerstelle, $3$ an der Zehntelstelle, $2$ an der Hundertstelstelle und $8$ an der Tausendstelstelle Ort.

Stellen in Dezimalbrüchen werden durch ihre Rangfolge unterschieden. Bewegen Sie sich beim Lesen eines Dezimalbruchs von links nach rechts – von Senior Rang zu jünger.

Beispiel 4

Beispielsweise ist im Dezimalbruch $56,328$ die höchstwertige (höchste) Stelle die Zehnerstelle und die niedrigste (niedrigste) Stelle die Tausendstelstelle.

Ein Dezimalbruch kann auf ähnliche Weise in Ziffern zerlegt werden wie eine natürliche Zahl in Ziffern.

Beispiel 5

Zerlegen wir zum Beispiel den Dezimalbruch $37,851$ in Ziffern:

$37,851=30+7+0,8+0,05+0,001$

Endende Dezimalstellen

Definition 2

Endende Dezimalstellen werden Dezimalbrüche genannt, deren Datensätze eine endliche Anzahl von Zeichen (Ziffern) enthalten.

Beispiel: 0,138 $; 5,34 $; 56,123456 $; 350.972,54 $.

Jeder endliche Dezimalbruch kann in einen Bruch oder eine gemischte Zahl umgewandelt werden.

Beispiel 6

Beispielsweise entspricht der letzte Dezimalbruch $7,39$ der Bruchzahl $7\frac(39)(100)$ und der letzte Dezimalbruch $0,5$ entspricht dem eigentlichen gemeinsamen Bruch $\frac(5)(10)$ (oder jeder Bruch, der ihm gleich ist, zum Beispiel $\frac(1)(2)$ oder $\frac(10)(20)$.

Einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln

Brüche mit Nennern $10, 100, \dots$ in Dezimalzahlen umwandeln

Bevor man echte Brüche in Dezimalzahlen umwandeln kann, müssen diese zunächst „vorbereitet“ werden. Das Ergebnis einer solchen Vorbereitung sollte die gleiche Anzahl von Ziffern im Zähler und die gleiche Anzahl von Nullen im Nenner sein.

Das Wesen der „vorläufigen Vorbereitung“ richtiger gewöhnlicher Brüche für die Umwandlung in Dezimalbrüche besteht darin, links im Zähler eine solche Anzahl von Nullen hinzuzufügen, dass die Gesamtzahl der Ziffern der Anzahl der Nullen im Nenner entspricht.

Beispiel 7

Bereiten wir zum Beispiel den Bruch $\frac(43)(1000)$ für die Umwandlung in eine Dezimalzahl vor und erhalten $\frac(043)(1000)$. Und der gewöhnliche Bruch $\frac(83)(100)$ bedarf keiner Vorbereitung.

Lassen Sie uns formulieren Regel zum Umwandeln eines echten gemeinsamen Bruchs mit einem Nenner von $10$, $100$, oder $1\000$, $\dots$ in einen Dezimalbruch:

schreibe $0$;

danach einen Dezimalpunkt setzen;

Notieren Sie die Zahl vom Zähler (zusammen mit hinzugefügten Nullen nach der Vorbereitung, falls nötig).

Beispiel 8

Wandeln Sie den richtigen Bruch $\frac(23)(100)$ in eine Dezimalzahl um.

Lösung.

Der Nenner enthält die Zahl $100$, die $2$ und zwei Nullen enthält. Der Zähler enthält die Zahl $23$, die mit $2$.digits geschrieben wird. Dies bedeutet, dass dieser Bruch nicht für die Umwandlung in eine Dezimalzahl vorbereitet werden muss.

Schreiben wir $0$, setzen einen Dezimalpunkt und schreiben die Zahl $23$ aus dem Zähler. Wir erhalten den Dezimalbruch $0,23$.

Antwort: $0,23$.

Beispiel 9

Schreiben Sie den richtigen Bruch $\frac(351)(100000)$ als Dezimalzahl.

Lösung.

Der Zähler dieses Bruchs enthält $3$ Ziffern und die Anzahl der Nullen im Nenner beträgt $5$, daher muss dieser gewöhnliche Bruch für die Umwandlung in eine Dezimalzahl vorbereitet werden. Dazu müssen Sie links im Zähler $5-3=2$ Nullen hinzufügen: $\frac(00351)(100000)$.

Jetzt können wir den gewünschten Dezimalbruch bilden. Schreiben Sie dazu $0$ auf, fügen Sie dann ein Komma hinzu und notieren Sie die Zahl vom Zähler. Wir erhalten den Dezimalbruch $0,00351$.

Antwort: $0,00351$.

Lassen Sie uns formulieren Regel zur Umwandlung unechter Brüche mit den Nennern $10$, $100$, $\dots$ in Dezimalbrüche:

schreibe die Zahl vom Zähler ab;

Verwenden Sie einen Dezimalpunkt, um so viele Ziffern auf der rechten Seite zu trennen, wie Nullen im Nenner des ursprünglichen Bruchs vorhanden sind.

Beispiel 10

Wandeln Sie den unechten Bruch $\frac(12756)(100)$ in eine Dezimalzahl um.

Lösung.

Schreiben wir die Zahl vom Zähler $12756$ auf und trennen dann die $2$-Ziffern auf der rechten Seite durch einen Dezimalpunkt, denn Der Nenner des ursprünglichen Bruchs $2$ ist Null. Wir erhalten den Dezimalbruch $127,56$.

Dezimal. Der ganze Teil. Komma.

Nachkommastellen. Eigenschaften von Dezimalbrüchen.

Periodischer Dezimalbruch. Zeitraum .

Dezimal ist das Ergebnis der Division von eins durch zehn, hundert, tausend usw. Teile. Diese Brüche sind für Berechnungen sehr praktisch, da sie auf demselben Positionssystem basieren, auf dem das Zählen und Schreiben von ganzen Zahlen basiert. Dadurch sind die Schreibweise und die Regeln für die Arbeit mit Dezimalbrüchen im Wesentlichen dieselben wie für ganze Zahlen. Beim Schreiben von Dezimalbrüchen muss der Nenner nicht angegeben werden; dieser wird durch die Stelle bestimmt, die die entsprechende Ziffer einnimmt. Zuerst wird es geschrieben ganzer Teil Zahlen, dann rechts platzieren Komma. Die erste Nachkommastelle gibt die Anzahl der Zehntel an, die zweite – die Anzahl der Hundertstel, die dritte – die Anzahl der Tausendstel usw. Die Zahlen nach dem Komma werden aufgerufen Dezimalzahlen.

BEISPIEL

Einer von Vorteile von Dezimalzahlen- Sie sind einfach in den Sinn gebrachtgewöhnlich: Die Zahl nach dem Komma (in unserem Fall 5047) ist der Zähler; der Nenner ist gleichN-te Potenz von 10, woN- Anzahl der Dezimalstellen(in unserem Fall N= 4):

Wenn der Dezimalbruch keinen ganzzahligen Teil enthält, wird vor dem Dezimalpunkt eine Null platziert:

Eigenschaften von Dezimalbrüchen.

1. Die Dezimalzahl ändert sich nicht, wenn Sie rechts Nullen hinzufügen:

13.6 =13.6000.

2. Der Dezimalbruch ändert sich nicht, wenn Sie die gefundenen Nullen entfernen

Am Ende Dezimal:

0.00123000 = 0.00123 .

Aufmerksamkeit! Nichtterminale Nullen können nicht entfernt werden. Dezimal!