Abschlussformeln Wird beim Reduzieren und Vereinfachen komplexer Ausdrücke sowie beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen verwendet.

Nummer C Ist N-te Potenz einer Zahl A Wann:

Operationen mit Abschlüssen.

1. Durch Multiplikation der Grade mit derselben Basis werden ihre Indikatoren addiert:

Bin·a n = a m + n .

2. Bei der Division von Graden mit gleicher Basis werden deren Exponenten subtrahiert:

3. Der Grad des Produkts von 2 oder mehr Faktoren ist gleich dem Produkt der Grade dieser Faktoren:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Der Grad eines Bruchs ist gleich dem Verhältnis der Grade des Dividenden und des Divisors:

(a/b) n = a n /b n .

5. Bei der Potenzierung werden die Exponenten multipliziert:

(am) n = am n .

Jede obige Formel gilt in der Richtung von links nach rechts und umgekehrt.

Zum Beispiel. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operationen mit Wurzeln.

1. Die Wurzel des Produkts mehrerer Faktoren ist gleich dem Produkt der Wurzeln dieser Faktoren:

2. Die Wurzel eines Verhältnisses ist gleich dem Verhältnis des Dividenden und des Teilers der Wurzeln:

3. Bei der Potenzierung einer Wurzel reicht es aus, die Wurzelzahl auf diese Potenz zu erhöhen:

4. Wenn Sie den Wurzelgrad erhöhen N einmal und gleichzeitig einbauen N Die Potenz ist eine Wurzelzahl, dann ändert sich der Wert der Wurzel nicht:

5. Wenn Sie den Wurzelgrad reduzieren N Extrahieren Sie gleichzeitig die Wurzel N-te Potenz einer Wurzelzahl, dann ändert sich der Wert der Wurzel nicht:

Ein Abschluss mit einem negativen Exponenten. Die Potenz einer bestimmten Zahl mit einem nicht positiven (ganzzahligen) Exponenten ist definiert als eins geteilt durch die Potenz derselben Zahl mit einem Exponenten, der dem Absolutwert des nicht positiven Exponenten entspricht:

Formel Bin:a n =a m - n kann nicht nur für verwendet werden M> N, aber auch mit M< N.

Zum Beispiel. A4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Zur Formel Bin:a n =a m - n wurde fair, als m=n, das Vorhandensein von Nullgrad ist erforderlich.

Ein Abschluss mit einem Nullindex. Die Potenz jeder Zahl ungleich Null mit einem Exponenten von Null ist gleich eins.

Zum Beispiel. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Grad mit gebrochenem Exponenten. Eine reelle Zahl erhöhen A bis zum Grad m/n, müssen Sie die Wurzel extrahieren N Grad der M-te Potenz dieser Zahl A.

In der letzten Videolektion haben wir gelernt, dass der Grad einer bestimmten Basis ein Ausdruck ist, der das Produkt der Basis selbst darstellt, gemessen in einem Betrag, der dem Exponenten entspricht. Lassen Sie uns nun einige der wichtigsten Eigenschaften und Wirkungsweisen von Kräften untersuchen.

Lassen Sie uns zum Beispiel zwei verschiedene Potenzen mit derselben Basis multiplizieren:

Lassen Sie uns dieses Werk in seiner Gesamtheit vorstellen:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Nachdem wir den Wert dieses Ausdrucks berechnet haben, erhalten wir die Zahl 32. Andererseits kann 32, wie aus demselben Beispiel hervorgeht, als das Produkt derselben Basis (zwei) dargestellt werden, das fünfmal genommen wird. Und tatsächlich, wenn man es mitzählt, dann:

Daher können wir zuversichtlich schlussfolgern, dass:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Diese Regel funktioniert aus allen Indikatoren und Gründen erfolgreich. Diese Eigenschaft der Potenzmultiplikation ergibt sich aus der Regel, dass die Bedeutung von Ausdrücken bei Transformationen in einem Produkt erhalten bleibt. Für jede Basis a ist das Produkt zweier Ausdrücke (a)x und (a)y gleich a(x + y). Mit anderen Worten: Wenn Ausdrücke mit derselben Basis erzeugt werden, hat das resultierende Monom einen Gesamtgrad, der durch Addition der Grade des ersten und des zweiten Ausdrucks gebildet wird.

Auch bei der Multiplikation mehrerer Ausdrücke funktioniert die vorgestellte Regel hervorragend. Die Hauptbedingung ist, dass alle die gleichen Grundlagen haben. Zum Beispiel:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Es ist unmöglich, mit zwei Elementen eines Ausdrucks Abstufungen zu addieren und überhaupt keine machtbasierten gemeinsamen Aktionen durchzuführen, wenn ihre Grundlagen unterschiedlich sind.
Wie unser Video zeigt, lassen sich die Regeln für die Addition von Potenzen in einem Produkt aufgrund der Ähnlichkeit der Prozesse Multiplikation und Division perfekt auf das Divisionsverfahren übertragen. Betrachten Sie dieses Beispiel:

Lassen Sie uns den Ausdruck Term für Term in seine vollständige Form umwandeln und die gleichen Elemente im Dividenden und Divisor reduzieren:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Das Endergebnis dieses Beispiels ist nicht so interessant, da bereits beim Lösen klar wird, dass der Wert des Ausdrucks gleich dem Quadrat von zwei ist. Und es sind zwei, die man erhält, indem man den Grad des zweiten Ausdrucks vom Grad des ersten abzieht.

Um den Grad des Quotienten zu bestimmen, ist es notwendig, den Grad des Divisors vom Grad des Dividenden abzuziehen. Die Regel funktioniert mit der gleichen Grundlage für alle ihre Werte und für alle Naturkräfte. In Form der Abstraktion haben wir:

(a) x / (a) y = (a) x - y

Aus der Regel, identische Basen durch Grade zu dividieren, folgt die Definition für den Nullgrad. Offensichtlich sieht der folgende Ausdruck so aus:

(a) x / (a) x = (a) (x - x) = (a) 0

Wenn wir die Division hingegen visueller durchführen, erhalten wir:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Beim Reduzieren aller sichtbaren Elemente eines Bruchs erhält man immer den Ausdruck 1/1, also eins. Daher wird allgemein angenommen, dass jede zur Nullpotenz erhobene Basis gleich eins ist:

Unabhängig vom Wert von a.

Es wäre jedoch absurd, wenn 0 (was bei jeder Multiplikation immer noch 0 ergibt) irgendwie gleich eins wäre, sodass ein Ausdruck der Form (0) 0 (null hoch null) einfach keinen Sinn ergibt und die Formel ( a) 0 = 1 füge eine Bedingung hinzu: „wenn a ungleich 0 ist.“

Lasst uns die Übung lösen. Lassen Sie uns die Bedeutung des Ausdrucks herausfinden:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Da die Basis überall gleich ist und 34 beträgt, hat der Endwert die gleiche Basis mit einem Grad (gemäß den oben genannten Regeln):

Mit anderen Worten:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Antwort: Der Ausdruck ist gleich eins.

I. Produkt von Potenzen mit gleichen Basen.

Das Produkt zweier Potenzen mit gleichen Basen lässt sich immer als Potenz mit der Basis x darstellen.

Per Definition ist die Potenz x 7 das Produkt von sieben Faktoren, von denen jeder gleich x ist, und x 9 ist das Produkt von neun gleichen Faktoren. Daher ist x 7 x 9 gleich dem Produkt von 7 + 9 Faktoren. Das heißt, jedes davon ist gleich x

x 7 x 9 = x 7+9 = x 16

Es stellt sich heraus, dass die Gleichheit wahr ist, wenn die Basis des Grades a eine beliebige Zahl ist und m und n beliebige natürliche Zahlen sind:

am · a n = am + n

Diese Gleichheit drückt eine der Eigenschaften des Grades aus.

Das Produkt zweier Potenzen mit derselben Basis ist gleich einer Potenz mit derselben Basis und einem Exponenten, der der Summe der Exponenten dieser Potenzen entspricht.

Diese Eigenschaft tritt auch dann auf, wenn die Anzahl der Faktoren mehr als zwei beträgt.

Im Fall von drei Faktoren haben wir beispielsweise:

a m · a n · a k = (a m · a n)a k = a m+n · a k = a m+n+k

Bei der Durchführung von Transformationen ist es praktisch, die Regel zu verwenden: Bei der Multiplikation von Potenzen mit gleichen Basen bleiben die Basen gleich und die Exponenten werden addiert.

Schauen wir uns Beispiele an.

Beispiel 1.

x 6 x 5 = x 6+5 = x 11

Beispiel 2.

a 7 a -8 = a -1

Beispiel 3.

6 1,7 6 - 0,9 = 6 1,7+(- 0,9) = 6 1,7 - 0,9 = 6 0,8

II. Teilgrade von Graden mit gleichen Basen.

Der Quotient zweier Potenzen mit demselben Exponenten kann immer als Potenz mit derselben Basis dargestellt werden.

Schauen wir uns Beispiele an.

Beispiel 1. Der Quotient x 17: x 5 lässt sich als Potenz mit der Basis x darstellen:

x 17: x 5 = x 12,

denn per Definition des Quotienten und basierend auf der Eigenschaft des Grades x 5 · x 12 = x 17. Der Exponent des Quotienten (Zahl 12) ist gleich der Differenz zwischen den Exponenten des Dividenden und des Divisors (17 – 5):

x 17: x 5 = x 17-5

Beispiel 2.

8 16: 8 12 = 8 16-12 = 8 4

Beispiel 3.

a -8: a 6 = a -8-6 = a -14

Beispiel 4.

b 5: b -4 = b 5-(-4) = b 9

Beispiel 5.

9 1.5: 9 - 0.5 = 9 1.5 - (- 0.5) = 9 1.5 + 0.5 = 9 2

Bei der Durchführung von Transformationen ist es praktisch, die Regel zu verwenden: Bei der Division von Potenzen mit gleichen Basen bleiben die Basen gleich und der Exponent des Divisors wird vom Exponenten des Dividenden subtrahiert.

Beispiel 6.

a 4: a 4 = a 4-4 = a 0

Der Wert des Ausdrucks a 0 für jedes a ≠ 0 ist gleich 1.

III. Einen Abschluss zu einem Abschluss erheben.

Die siebte Potenz des Ausdrucks a 2 sei als Potenz mit der Basis a dargestellt.

Per Definition ist die Potenz (a 2) 7 das Produkt von sieben Faktoren, von denen jeder gleich a 2 ist, also

(a 2) 7 = a 2 · a 2 · a 2 × a 2 · a 2 · a 2 · a 2 .

Unter Anwendung der Potenzeigenschaft erhalten wir:

a 2 · a 2 · a 2 · a 2 · a 2 · a 2 · a 2 = a 2+2+2+2+2+2+2 = a 2·7 .

Es stellt sich heraus: (a 2) 7 = a 2 7 = a 14.

Bei der Potenzierung bleibt die Basis gleich und die Exponenten werden multipliziert:

(a m) n = a mn .

Schauen wir uns Beispiele an.

Beispiel 1.

(4 3) 4 = 4 3 4 = 4 12

Beispiel 2.

((-2) 2) 5 = (-2) 10 = 1024

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Ausdrücke, Ausdrucksumwandlung

Machtausdrücke (Ausdrücke mit Kräften) und ihre Transformation

In diesem Artikel werden wir über die Konvertierung von Ausdrücken mit Potenzen sprechen. Zunächst konzentrieren wir uns auf Transformationen, die mit Ausdrücken jeglicher Art durchgeführt werden, einschließlich Potenzausdrücken, wie etwa das Öffnen von Klammern und das Einbringen ähnlicher Begriffe. Und dann analysieren wir die Transformationen, die speziell Ausdrücken mit Graden innewohnen: Arbeiten mit Basis und Exponent, Verwendung der Eigenschaften von Graden usw.

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Was sind Machtausdrücke?

Der Begriff „Potenzausdrücke“ kommt in schulischen Mathematiklehrbüchern praktisch nicht vor, kommt aber recht häufig in Aufgabensammlungen vor, insbesondere solchen, die beispielsweise zur Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen und das Einheitliche Staatsexamen bestimmt sind. Nach der Analyse der Aufgaben, bei denen es notwendig ist, beliebige Aktionen mit Machtausdrücken auszuführen, wird deutlich, dass unter Machtausdrücken Ausdrücke verstanden werden, die in ihren Einträgen Kräfte enthalten. Daher können Sie die folgende Definition für sich akzeptieren:

Definition.

Machtausdrücke sind Ausdrücke, die Potenzen enthalten.

Geben wir Beispiele für Machtausdrücke. Darüber hinaus werden wir sie danach darstellen, wie die Entwicklung der Ansichten von einem Grad mit natürlichem Exponenten zu einem Grad mit reellem Exponenten erfolgt.

Bekanntlich lernt man in diesem Stadium zunächst die Potenz einer Zahl mit natürlichem Exponenten kennen, die ersten einfachsten Potenzausdrücke vom Typ 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1); 4, 3 a 2 erscheinen −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 usw.

Etwas später wird die Potenz einer Zahl mit einem ganzzahligen Exponenten untersucht, was zum Auftreten von Potenzausdrücken mit negativen ganzzahligen Potenzen wie den folgenden führt: 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2 .

In der High School kehren sie zu Abschlüssen zurück. Dort wird ein Grad mit rationalem Exponenten eingeführt, was das Auftreten der entsprechenden Potenzausdrücke mit sich bringt: , , usw. Abschließend werden Grade mit irrationalen Exponenten und Ausdrücke, die diese enthalten, betrachtet: , .

Die Sache beschränkt sich nicht auf die aufgeführten Potenzausdrücke: Weiter dringt die Variable in den Exponenten ein, und es entstehen beispielsweise folgende Ausdrücke: 2 x 2 +1 oder . Und nachdem man sich damit vertraut gemacht hat, tauchen Ausdrücke mit Potenzen und Logarithmen auf, zum Beispiel x 2·lgx −5·x lgx.

Wir haben uns also mit der Frage beschäftigt, was Machtausdrücke darstellen. Als nächstes werden wir lernen, sie zu transformieren.

Haupttypen der Transformationen von Machtausdrücken

Mit Power-Ausdrücken können Sie jede der grundlegenden Identitätstransformationen von Ausdrücken durchführen. Sie können beispielsweise Klammern öffnen, numerische Ausdrücke durch ihre Werte ersetzen, ähnliche Begriffe hinzufügen usw. In diesem Fall ist es natürlich notwendig, das akzeptierte Verfahren zur Durchführung von Aktionen zu befolgen. Lassen Sie uns Beispiele nennen.

Beispiel.

Berechnen Sie den Wert des Potenzausdrucks 2 3 ·(4 2 −12) .

Lösung.

Führen Sie entsprechend der Reihenfolge der Aktionsausführung zunächst die Aktionen in Klammern aus. Dort ersetzen wir erstens die Potenz 4 2 durch ihren Wert 16 (ggf. siehe), und zweitens berechnen wir die Differenz 16−12=4. Wir haben 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

Im resultierenden Ausdruck ersetzen wir die Potenz 2 3 durch ihren Wert 8 und berechnen anschließend das Produkt 8·4=32. Dies ist der gewünschte Wert.

Also, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Antwort:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Beispiel.

Vereinfachen Sie Ausdrücke mit Potenzen 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Lösung.

Offensichtlich enthält dieser Ausdruck ähnliche Terme 3·a 4 ·b −7 und 2·a 4 ·b −7 , und wir können sie wie folgt darstellen: .

Antwort:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Beispiel.

Drücken Sie einen Ausdruck mit Kräften als Produkt aus.

Lösung.

Sie können die Aufgabe bewältigen, indem Sie die Zahl 9 als Potenz von 3 2 darstellen und dann die Formel für die abgekürzte Multiplikation - Quadratdifferenz verwenden:

Antwort:

Es gibt auch eine Reihe identischer Transformationen, die speziell Potenzausdrücken innewohnen. Wir werden sie weiter analysieren.

Arbeiten mit Basis und Exponent

Es gibt Grade, deren Basis und/oder Exponent nicht nur Zahlen oder Variablen, sondern einige Ausdrücke sind. Als Beispiel geben wir die Einträge (2+0,3·7) 5−3,7 und (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Wenn Sie mit solchen Ausdrücken arbeiten, können Sie sowohl den Ausdruck in der Basis des Grades als auch den Ausdruck im Exponenten durch einen identisch gleichen Ausdruck in der ODZ seiner Variablen ersetzen. Mit anderen Worten: Nach den uns bekannten Regeln können wir die Basis des Grades und den Exponenten getrennt transformieren. Es ist klar, dass als Ergebnis dieser Transformation ein Ausdruck erhalten wird, der dem Original identisch ist.

Solche Transformationen ermöglichen es uns, Ausdrücke mit Potenzen zu vereinfachen oder andere Ziele zu erreichen, die wir brauchen. Beispielsweise können Sie im oben erwähnten Potenzausdruck (2+0,3 7) 5−3,7 Operationen mit den Zahlen in der Basis und im Exponenten durchführen, wodurch Sie zur Potenz 4,1 1,3 gelangen können. Und nachdem wir die Klammern geöffnet und ähnliche Terme zur Basis des Grades (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) gebracht haben, erhalten wir einen Potenzausdruck einer einfacheren Form a 2·(x+ 1) .

Verwenden von Abschlusseigenschaften

Eines der Hauptwerkzeuge zur Transformation von Ausdrücken mit Potenzen sind Gleichheiten, die widerspiegeln. Erinnern wir uns an die wichtigsten. Für alle positiven Zahlen a und b und beliebige reelle Zahlen r und s gelten die folgenden Potenzeigenschaften:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Beachten Sie, dass für natürliche, ganzzahlige und positive Exponenten die Einschränkungen für die Zahlen a und b möglicherweise nicht so streng sind. Beispielsweise gilt für natürliche Zahlen m und n die Gleichung a m ·a n =a m+n nicht nur für positives a, sondern auch für negatives a und für a=0.

In der Schule liegt das Hauptaugenmerk bei der Transformation von Machtausdrücken auf der Fähigkeit, die entsprechende Eigenschaft auszuwählen und richtig anzuwenden. In diesem Fall sind die Gradbasen in der Regel positiv, was eine uneingeschränkte Nutzung der Gradeigenschaften ermöglicht. Gleiches gilt für die Transformation von Ausdrücken, die Variablen enthalten, in Potenzbasen – der Bereich der zulässigen Werte von Variablen ist in der Regel so, dass die Basen darauf nur positive Werte annehmen, was Ihnen die freie Nutzung der Potenzeigenschaften ermöglicht . Generell muss man sich ständig fragen, ob in diesem Fall eine beliebige Eigenschaft von Abschlüssen genutzt werden kann, denn eine ungenaue Nutzung der Eigenschaften kann zu einer Beeinträchtigung des pädagogischen Wertes und anderen Problemen führen. Diese Punkte werden ausführlich und mit Beispielen im Artikel Transformation von Ausdrücken mithilfe von Gradeigenschaften besprochen. Wir beschränken uns hier auf die Betrachtung einiger einfacher Beispiele.

Beispiel.

Drücken Sie den Ausdruck a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 als Potenz mit der Basis a aus.

Lösung.

Zuerst transformieren wir den zweiten Faktor (a 2) −3 mithilfe der Eigenschaft, eine Potenz zu potenzieren: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Der ursprüngliche Potenzausdruck hat die Form a 2,5 ·a −6:a −5,5. Offensichtlich bleibt es weiterhin, die Eigenschaften der Multiplikation und Potenzteilung mit der gleichen Basis zu nutzen, wie wir sie haben
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Antwort:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Eigenschaften von Potenzen bei der Transformation von Potenzausdrücken werden sowohl von links nach rechts als auch von rechts nach links verwendet.

Beispiel.

Finden Sie den Wert des Potenzausdrucks.

Lösung.

Die von rechts nach links angewendete Gleichheit (a·b) r =a r ·b r ermöglicht es uns, vom ursprünglichen Ausdruck zu einem Produkt der Form und weiter zu gelangen. Und wenn man Potenzen mit gleichen Basen multipliziert, addieren sich die Exponenten: .

Es war möglich, den ursprünglichen Ausdruck auf andere Weise umzuwandeln:

Antwort:

.

Beispiel.

Führen Sie bei gegebenem Potenzausdruck a 1,5 −a 0,5 −6 eine neue Variable t=a 0,5 ein.

Lösung.

Der Grad a 1,5 kann als a 0,5 3 dargestellt werden und dann, basierend auf der Eigenschaft des Grades zum Grad (a r) s =a r s, von rechts nach links angewendet, in die Form (a 0,5) 3 transformiert werden. Auf diese Weise, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Jetzt ist es einfach, eine neue Variable t=a 0,5 einzuführen, wir erhalten t 3 −t−6.

Antwort:

t 3 −t−6 .

Umwandeln von Brüchen, die Potenzen enthalten

Potenzausdrücke können Brüche mit Potenzen enthalten oder darstellen. Alle grundlegenden Transformationen von Brüchen, die Brüchen jeglicher Art innewohnen, sind vollständig auf solche Brüche anwendbar. Das heißt, Brüche, die Potenzen enthalten, können reduziert, auf einen neuen Nenner reduziert, getrennt mit ihrem Zähler und getrennt mit dem Nenner bearbeitet werden usw. Um diese Wörter zu veranschaulichen, betrachten Sie Lösungen für mehrere Beispiele.

Beispiel.

Vereinfachen Sie den Machtausdruck .

Lösung.

Dieser Potenzausdruck ist ein Bruch. Lassen Sie uns mit Zähler und Nenner arbeiten. Im Zähler öffnen wir die Klammern und vereinfachen den resultierenden Ausdruck mithilfe der Eigenschaften von Potenzen, und im Nenner stellen wir ähnliche Begriffe dar:

Und ändern wir auch das Vorzeichen des Nenners, indem wir vor dem Bruch ein Minus setzen: .

Antwort:

.

Die Reduktion von Brüchen, die Potenzen enthalten, auf einen neuen Nenner erfolgt ähnlich wie die Reduktion rationaler Brüche auf einen neuen Nenner. In diesem Fall wird auch ein zusätzlicher Faktor gefunden und Zähler und Nenner des Bruchs damit multipliziert. Bei dieser Aktion ist zu beachten, dass die Reduzierung auf einen neuen Nenner zu einer Verengung der VA führen kann. Um dies zu verhindern, ist es erforderlich, dass der Zusatzfaktor für keinen Wert der Variablen aus den ODZ-Variablen für den Originalausdruck auf Null geht.

Beispiel.

Reduziere die Brüche auf einen neuen Nenner: a) auf Nenner a, b) zum Nenner.

Lösung.

a) In diesem Fall lässt sich ganz einfach herausfinden, welcher zusätzliche Multiplikator zum gewünschten Ergebnis beiträgt. Dies ist ein Multiplikator von a 0,3, da a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Beachten Sie, dass im Bereich der zulässigen Werte der Variablen a (dies ist die Menge aller positiven reellen Zahlen) die Potenz von a 0,3 nicht verschwindet, daher haben wir das Recht, Zähler und Nenner einer gegebenen Zahl zu multiplizieren Bruchteil durch diesen zusätzlichen Faktor:

b) Wenn Sie sich den Nenner genauer ansehen, werden Sie das feststellen

und die Multiplikation dieses Ausdrucks mit ergibt die Summe der Würfel und , das heißt . Und das ist der neue Nenner, auf den wir den ursprünglichen Bruch reduzieren müssen.

So haben wir einen zusätzlichen Faktor gefunden. Im Bereich der zulässigen Werte der Variablen x und y verschwindet der Ausdruck nicht, daher können wir Zähler und Nenner des Bruchs damit multiplizieren:

Antwort:

A) , B) .

Auch die Reduktion von Brüchen, die Potenzen enthalten, ist nichts Neues: Zähler und Nenner werden durch eine Reihe von Faktoren dargestellt, und die gleichen Faktoren des Zählers und Nenners werden reduziert.

Beispiel.

Reduziere den Bruch: a) , B) .

Lösung.

a) Zunächst können Zähler und Nenner um die Zahlen 30 und 45 reduziert werden, was 15 ergibt. Natürlich ist es auch möglich, eine Reduktion um x 0,5 +1 und um durchzuführen . Das haben wir:

b) In diesem Fall sind identische Faktoren im Zähler und Nenner nicht sofort sichtbar. Um sie zu erhalten, müssen Sie vorläufige Transformationen durchführen. In diesem Fall bestehen sie darin, den Nenner mithilfe der Quadratdifferenzformel zu faktorisieren:

Antwort:

A)

B) .

Das Umwandeln von Brüchen in einen neuen Nenner und das Reduzieren von Brüchen werden hauptsächlich verwendet, um mit Brüchen umzugehen. Aktionen werden nach bekannten Regeln ausgeführt. Beim Addieren (Subtrahieren) von Brüchen werden diese auf einen gemeinsamen Nenner reduziert, anschließend werden die Zähler addiert (subtrahiert), der Nenner bleibt jedoch derselbe. Das Ergebnis ist ein Bruch, dessen Zähler das Produkt der Zähler und dessen Nenner das Produkt der Nenner ist. Eine Division durch einen Bruch ist eine Multiplikation mit ihrer Umkehrung.

Beispiel.

Folge den Schritten .

Lösung.

Zuerst subtrahieren wir die Brüche in Klammern. Dazu bringen wir sie auf einen gemeinsamen Nenner, nämlich , danach subtrahieren wir die Zähler:

Jetzt multiplizieren wir die Brüche:

Offensichtlich ist es möglich, um eine Potenz von x 1/2 zu reduzieren, woraufhin wir haben .

Sie können den Potenzausdruck im Nenner auch vereinfachen, indem Sie die Quadratdifferenzformel verwenden: .

Antwort:

Beispiel.

Vereinfachen Sie den Potenzausdruck .

Lösung.

Offensichtlich kann dieser Bruch um (x 2,7 +1) 2 reduziert werden, das ergibt den Bruch . Es ist klar, dass mit den Potenzen von X noch etwas anderes gemacht werden muss. Dazu wandeln wir den resultierenden Bruch in ein Produkt um. Dies gibt uns die Möglichkeit, die Eigenschaft der Teilungsgewalten mit den gleichen Grundlagen auszunutzen: . Und am Ende des Prozesses gehen wir vom letzten Produkt zur Fraktion über.

Antwort:

.

Und fügen wir noch hinzu, dass es möglich und in vielen Fällen wünschenswert ist, Faktoren mit negativen Exponenten vom Zähler auf den Nenner oder vom Nenner auf den Zähler zu übertragen und dabei das Vorzeichen des Exponenten zu ändern. Solche Transformationen vereinfachen oft das weitere Vorgehen. Beispielsweise kann ein Potenzausdruck durch ersetzt werden.

Ausdrücke mit Wurzeln und Potenzen umwandeln

In Ausdrücken, in denen einige Transformationen erforderlich sind, sind neben Potenzen häufig auch Wurzeln mit gebrochenen Exponenten vorhanden. Um einen solchen Ausdruck in die gewünschte Form zu bringen, reicht es in den meisten Fällen aus, nur zu Wurzeln oder nur zu Potenzen zu gehen. Da es jedoch bequemer ist, mit Kräften zu arbeiten, bewegen sie sich normalerweise von den Wurzeln zu den Kräften. Es ist jedoch ratsam, einen solchen Übergang durchzuführen, wenn die ODZ der Variablen für den ursprünglichen Ausdruck es Ihnen ermöglicht, die Wurzeln durch Potenzen zu ersetzen, ohne auf das Modul verweisen oder die ODZ in mehrere Intervalle aufteilen zu müssen (wir haben dies ausführlich besprochen in Der Artikel Übergang von Wurzeln zu Potenzen und zurück Nach dem Kennenlernen des Grades mit einem rationalen Exponenten wird ein Grad mit einem irrationalen Exponenten eingeführt, der es uns ermöglicht, über einen Grad mit einem beliebigen reellen Exponenten zu sprechen in der Schule studiert. Exponentialfunktion, die analytisch durch eine Potenz gegeben ist, deren Basis eine Zahl und deren Exponent eine Variable ist. Wir haben es also mit Potenzausdrücken zu tun, die Zahlen in der Basis der Potenz und im Exponenten enthalten – Ausdrücke mit Variablen, und natürlich besteht die Notwendigkeit, Transformationen solcher Ausdrücke durchzuführen.

Es sollte gesagt werden, dass die Transformation von Ausdrücken des angegebenen Typs normalerweise beim Lösen durchgeführt werden muss Exponentialgleichungen Und exponentielle Ungleichungen, und diese Konvertierungen sind recht einfach. In den allermeisten Fällen basieren sie auf den Eigenschaften des Abschlusses und zielen größtenteils auf die Einführung einer neuen Variable in der Zukunft ab. Die Gleichung wird es uns ermöglichen, sie zu demonstrieren 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Erstens werden Potenzen, in deren Exponenten die Summe einer bestimmten Variablen (oder eines Ausdrucks mit Variablen) und einer Zahl steht, durch Produkte ersetzt. Dies gilt für das erste und letzte Glied des Ausdrucks auf der linken Seite:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Als nächstes werden beide Seiten der Gleichheit durch den Ausdruck 7 2 x dividiert, der auf der ODZ der Variablen x für die ursprüngliche Gleichung nur positive Werte annimmt (dies ist eine Standardtechnik zum Lösen von Gleichungen dieser Art, wir sind es nicht). Wenn wir jetzt darüber sprechen, konzentrieren Sie sich auf die nachfolgenden Transformationen von Ausdrücken mit Potenzen.

Jetzt können wir Brüche mit Potenzen aufheben, was ergibt .

Abschließend wird das Verhältnis von Potenzen mit gleichen Exponenten durch Potenzen von Relationen ersetzt, wodurch die Gleichung entsteht , was gleichwertig ist . Die durchgeführten Transformationen ermöglichen es uns, eine neue Variable einzuführen, die die Lösung der ursprünglichen Exponentialgleichung auf die Lösung einer quadratischen Gleichung reduziert

Nachdem die Potenz einer Zahl bestimmt wurde, ist es logisch, darüber zu sprechen Abschlusseigenschaften. In diesem Artikel geben wir die grundlegenden Eigenschaften der Potenz einer Zahl an und gehen dabei auf alle möglichen Exponenten ein. Hier liefern wir Beweise für alle Eigenschaften von Graden und zeigen auch, wie diese Eigenschaften beim Lösen von Beispielen verwendet werden.

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Eigenschaften von Graden mit natürlichen Exponenten

Nach Definition einer Potenz mit natürlichem Exponenten ist die Potenz a n das Produkt von n Faktoren, von denen jeder gleich a ist. Basierend auf dieser Definition und auch unter Verwendung Eigenschaften der Multiplikation reeller Zahlen können wir Folgendes erhalten und begründen Eigenschaften des Grades mit natürlichem Exponenten:

1. die Haupteigenschaft des Grades a m ·a n =a m+n, seine Verallgemeinerung;
2. Eigenschaft von Quotientenpotenzen mit identischer Basis a m:a n =a m−n ;
3. Produktleistungseigenschaft (a·b) n =a n ·b n , seine Erweiterung;
4. Eigenschaft des Quotienten zum natürlichen Grad (a:b) n =a n:b n ;
5. Potenzierung eines Grades (a m) n =a m·n, seine Verallgemeinerung (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
6. Vergleich des Grades mit Null:
   • wenn a>0, dann a n>0 für jede natürliche Zahl n;
   • wenn a=0, dann a n =0;
   • wenn ein<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 wenn a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
7. wenn a und b positive Zahlen sind und a
8. Wenn m und n natürliche Zahlen sind, so dass m>n ist, dann bei 0 0 ist die Ungleichung a m >a n wahr.

Beachten wir sofort, dass alle geschriebenen Gleichheiten gelten identisch Unter den angegebenen Bedingungen können sowohl der rechte als auch der linke Teil ausgetauscht werden. Zum Beispiel die Haupteigenschaft des Bruchs a m ·a n =a m+n mit Ausdrücke vereinfachen wird oft in der Form a m+n =a m ·a n verwendet.

Schauen wir uns nun jeden von ihnen im Detail an.

Beginnen wir mit der Eigenschaft des Produkts zweier Potenzen mit gleichen Basen, die man nennt die Haupteigenschaft des Abschlusses: Für jede reelle Zahl a und alle natürlichen Zahlen m und n gilt die Gleichung a m ·a n =a m+n.

Lassen Sie uns die Haupteigenschaft des Abschlusses beweisen. Durch die Definition einer Potenz mit natürlichem Exponenten kann das Produkt von Potenzen mit gleichen Basen der Form a m ·a n als Produkt geschrieben werden. Aufgrund der Eigenschaften der Multiplikation kann der resultierende Ausdruck wie folgt geschrieben werden: , und dieses Produkt ist eine Potenz der Zahl a mit einem natürlichen Exponenten m+n, also a m+n. Damit ist der Beweis abgeschlossen.

Lassen Sie uns ein Beispiel geben, das die Haupteigenschaft des Abschlusses bestätigt. Nehmen wir Grade mit den gleichen Basen 2 und natürlichen Potenzen 2 und 3. Mithilfe der Grundeigenschaft der Grade können wir die Gleichheit 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 schreiben. Überprüfen wir seine Gültigkeit, indem wir die Werte der Ausdrücke 2 2 · 2 3 und 2 5 berechnen. Wir führen eine Potenzierung durch 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 und 2 5 =2·2·2·2·2=32, da gleiche Werte erhalten werden, dann ist die Gleichheit 2 2 ·2 3 =2 5 richtig und bestätigt die Haupteigenschaft des Grades.

Die grundlegende Eigenschaft eines Grades, die auf den Eigenschaften der Multiplikation basiert, kann auf das Produkt von drei oder mehr Potenzen mit denselben Basen und natürlichen Exponenten verallgemeinert werden. Für jede Anzahl k natürlicher Zahlen n 1, n 2, …, n k gilt also die folgende Gleichheit: a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Zum Beispiel, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Wir können zur nächsten Eigenschaft von Potenzen mit einem natürlichen Exponenten übergehen – Eigenschaft von Quotientenpotenzen mit gleichen Basen: Für jede reelle Zahl a ungleich Null und beliebige natürliche Zahlen m und n, die die Bedingung m>n erfüllen, gilt die Gleichheit a m:a n =a m−n.

Bevor wir den Beweis dieser Eigenschaft vorlegen, wollen wir die Bedeutung der zusätzlichen Bedingungen in der Formulierung diskutieren. Die Bedingung a≠0 ist notwendig, um eine Division durch Null zu vermeiden, da 0 n =0 ist, und als wir uns mit der Division vertraut machten, waren wir uns einig, dass wir nicht durch Null dividieren können. Damit wir nicht über die natürlichen Exponenten hinausgehen, wird die Bedingung m>n eingeführt. Tatsächlich ist der Exponent a m−n für m>n eine natürliche Zahl, andernfalls ist er entweder Null (was für m−n der Fall ist) oder eine negative Zahl (was für m der Fall ist).

Nachweisen. Die Haupteigenschaft eines Bruchs ermöglicht es uns, die Gleichheit zu schreiben a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. Aus der resultierenden Gleichung a m−n ·a n =am folgt, dass a m−n ein Quotient der Potenzen a m und a n ist. Damit ist die Eigenschaft von Quotientenpotenzen mit identischer Basis bewiesen.

Geben wir ein Beispiel. Nehmen wir zwei Grade mit den gleichen Basen π und den natürlichen Exponenten 5 und 2, die Gleichheit π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 entspricht der betrachteten Eigenschaft des Grades.

Lassen Sie uns nun überlegen Produktleistungseigenschaft: Die natürliche Potenz n des Produkts zweier beliebiger reeller Zahlen a und b ist gleich dem Produkt der Potenzen a n und b n , d. h. (a·b) n =a n ·b n .

Tatsächlich haben wir nach der Definition eines Grades mit einem natürlichen Exponenten . Basierend auf den Eigenschaften der Multiplikation kann das letzte Produkt umgeschrieben werden als , was gleich a n · b n ist.

Hier ist ein Beispiel: .

Diese Eigenschaft erstreckt sich auf die Potenz des Produkts von drei oder mehr Faktoren. Das heißt, die Eigenschaft des natürlichen Grades n des Produkts von k Faktoren wird geschrieben als (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

Der Übersichtlichkeit halber zeigen wir diese Eigenschaft anhand eines Beispiels. Für das Produkt aus drei Faktoren hoch 7 gilt:

Die folgende Eigenschaft ist Eigenschaft eines Quotienten in Form von Sachleistungen: Der Quotient der reellen Zahlen a und b, b≠0 zur natürlichen Potenz n ist gleich dem Quotienten der Potenzen a n und b n, also (a:b) n =a n:b n.

Der Nachweis kann anhand der bisherigen Eigenschaft erfolgen. Also (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, und aus der Gleichung (a:b) n ·b n =a n folgt, dass (a:b) n der Quotient von a n dividiert durch b n ist.

Schreiben wir diese Eigenschaft am Beispiel konkreter Zahlen: .

Lassen Sie es uns jetzt aussprechen Eigenschaft, eine Macht zu einer Macht zu erheben: Für jede reelle Zahl a und alle natürlichen Zahlen m und n ist die Potenz von a m hoch n gleich der Potenz der Zahl a mit dem Exponenten m·n, d. h. (a m) n =a m·n.

Zum Beispiel (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

Der Beweis der Power-to-Degree-Eigenschaft ist die folgende Gleichungskette: .

Die betrachtete Eigenschaft kann von Grad zu Grad usw. erweitert werden. Beispielsweise gilt für alle natürlichen Zahlen p, q, r und s die Gleichheit . Zur besseren Übersicht hier ein Beispiel mit konkreten Zahlen: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Es bleibt noch auf die Eigenschaften des Vergleichs von Graden mit einem natürlichen Exponenten einzugehen.

Beginnen wir mit dem Beweis der Eigenschaft, Null und Potenz mit einem natürlichen Exponenten zu vergleichen.

Beweisen wir zunächst, dass a n > 0 für jedes a > 0 gilt.

Das Produkt zweier positiver Zahlen ist eine positive Zahl, wie aus der Definition der Multiplikation hervorgeht. Diese Tatsache und die Eigenschaften der Multiplikation legen nahe, dass das Ergebnis der Multiplikation einer beliebigen Anzahl positiver Zahlen auch eine positive Zahl sein wird. Und die Potenz einer Zahl a mit natürlichem Exponenten n ist per Definition das Produkt von n Faktoren, von denen jeder gleich a ist. Diese Argumente erlauben uns die Aussage, dass für jede positive Basis a der Grad a n eine positive Zahl ist. Aufgrund der nachgewiesenen Eigenschaft 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 und .

Es ist ziemlich offensichtlich, dass für jede natürliche Zahl n mit a=0 der Grad von a n Null ist. Tatsächlich ist 0 n =0·0·…·0=0 . Beispiel: 0 3 =0 und 0 762 =0.

Kommen wir nun zu den negativen Gradzahlen.

Beginnen wir mit dem Fall, dass der Exponent eine gerade Zahl ist, bezeichnen wir ihn als 2·m, wobei m eine natürliche Zahl ist. Dann . Denn jedes der Produkte der Form a·a ist gleich dem Produkt der Moduli der Zahlen a und a, also eine positive Zahl. Daher wird das Produkt auch positiv sein und Grad a 2·m. Geben wir Beispiele: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 und .

Wenn schließlich die Basis a eine negative Zahl und der Exponent eine ungerade Zahl 2 m−1 ist, dann . Alle Produkte a·a sind positive Zahlen, das Produkt dieser positiven Zahlen ist ebenfalls positiv und seine Multiplikation mit der verbleibenden negativen Zahl a ergibt eine negative Zahl. Aufgrund dieser Eigenschaft (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Kommen wir zur Eigenschaft, Potenzen mit denselben natürlichen Exponenten zu vergleichen, die wie folgt formuliert ist: Von zwei Potenzen mit denselben natürlichen Exponenten ist n kleiner als diejenige, deren Basis kleiner ist, und größer ist diejenige, deren Basis größer ist . Lass es uns beweisen.

Ungleichheit a n Eigenschaften von Ungleichungen eine beweisbare Ungleichung der Form a n ist ebenfalls wahr (2.2) 7 und .

Es bleibt noch die letzte der aufgeführten Eigenschaften von Potenzen mit natürlichen Exponenten zu beweisen. Formulieren wir es. Von zwei Potenzen mit natürlichen Exponenten und identischen positiven Basen kleiner als eins ist diejenige größer, deren Exponent kleiner ist; und von zwei Potenzen mit natürlichen Exponenten und identischen Basen größer als eins ist diejenige größer, deren Exponent größer ist. Fahren wir mit dem Beweis dieser Eigenschaft fort.

Beweisen wir das für m>n und 0 0 aufgrund der Anfangsbedingung m>n, was bedeutet, dass bei 0

Es bleibt der Nachweis des zweiten Teils der Immobilie. Beweisen wir, dass für m>n und a>1 a m >a n gilt. Die Differenz a m −a n nach Entfernen von a n aus Klammern hat die Form a n ·(a m−n −1) . Dieses Produkt ist positiv, da für a>1 der Grad a n eine positive Zahl ist und die Differenz a m−n −1 eine positive Zahl ist, da aufgrund der Anfangsbedingung m−n>0 ist, und für a>1 der Grad a m−n ist größer als eins. Folglich gilt: a m −a n >0 und a m >a n , was bewiesen werden musste. Diese Eigenschaft wird durch die Ungleichung 3 7 >3 2 veranschaulicht.

Eigenschaften von Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

Da positive ganze Zahlen natürliche Zahlen sind, stimmen alle Eigenschaften von Potenzen mit positiven ganzzahligen Exponenten genau mit den im vorherigen Absatz aufgeführten und bewiesenen Eigenschaften von Potenzen mit natürlichen Exponenten überein.

Wir haben einen Grad mit einem ganzzahligen negativen Exponenten sowie einen Grad mit einem Exponenten von Null so definiert, dass alle Eigenschaften von Graden mit natürlichen Exponenten, ausgedrückt durch Gleichheiten, gültig bleiben. Daher gelten alle diese Eigenschaften sowohl für Nullexponenten als auch für negative Exponenten, wobei natürlich die Basen der Potenzen von Null verschieden sind.

Für alle reellen und ungleich Null Zahlen a und b sowie alle ganzen Zahlen m und n gilt also Folgendes: Eigenschaften von Potenzen mit ganzzahligen Exponenten:

1. a m ·a n =a m+n ;
2. a m:a n =a m−n ;
3. (a·b) n =a n ·b n ;
4. (a:b) n =a n:b n ;
5. (a m) n =a m·n ;
6. Wenn n eine positive ganze Zahl ist, sind a und b positive Zahlen und a b−n ;
7. wenn m und n ganze Zahlen sind und m>n , dann bei 0 1 Es gilt die Ungleichung a m >a n.

Wenn a=0, sind die Potenzen a m und a n nur dann sinnvoll, wenn sowohl m als auch n positive ganze Zahlen, also natürliche Zahlen, sind. Somit gelten die gerade geschriebenen Eigenschaften auch für die Fälle, in denen a=0 ist und die Zahlen m und n positive ganze Zahlen sind.

Der Beweis jeder dieser Eigenschaften ist nicht schwierig; dazu reicht es aus, die Definitionen von Graden mit natürlichen und ganzzahligen Exponenten sowie die Eigenschaften von Operationen mit reellen Zahlen zu verwenden. Lassen Sie uns als Beispiel beweisen, dass die Potenz-zu-Potenz-Eigenschaft sowohl für positive ganze Zahlen als auch für nicht positive ganze Zahlen gilt. Dazu müssen Sie zeigen, dass, wenn p Null oder eine natürliche Zahl ist und q Null oder eine natürliche Zahl ist, die Gleichungen (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) und (a −p) −q =a (−p)·(−q). Lass es uns tun.

Für positive p und q wurde im vorherigen Absatz die Gleichheit (a p) q =a p·q bewiesen. Wenn p=0, dann gilt (a 0) q =1 q =1 und a 0·q =a 0 =1, woraus (a 0) q =a 0·q. Wenn q=0, dann gilt in ähnlicher Weise (a p) 0 =1 und a p·0 =a 0 =1, woraus (a p) 0 =a p·0. Wenn sowohl p=0 als auch q=0, dann (a 0) 0 =1 0 =1 und a 0·0 =a 0 =1, woraus (a 0) 0 =a 0·0.

Nun beweisen wir, dass (a −p) q =a (−p)·q . Per Definition einer Potenz mit einem negativen ganzzahligen Exponenten . Durch die Eigenschaft von Quotienten zu Potenzen haben wir . Da 1 p =1·1·…·1=1 und , dann . Der letzte Ausdruck ist per Definition eine Potenz der Form a −(p·q), die aufgrund der Multiplikationsregeln als a (−p)·q geschrieben werden kann.

Ebenfalls .

UND .

Nach dem gleichen Prinzip können Sie alle anderen Eigenschaften eines Grades mit einem ganzzahligen Exponenten beweisen, geschrieben in Form von Gleichungen.

In der vorletzten der aufgezeichneten Eigenschaften lohnt es sich, auf den Beweis der Ungleichung a −n > b −n einzugehen, die für jede negative ganze Zahl −n und alle positiven a und b gilt, für die die Bedingung a erfüllt ist . Da nach Bedingung a 0 . Das Produkt a n · b n ist auch positiv als Produkt positiver Zahlen a n und b n . Dann ist der resultierende Bruch positiv als Quotient der positiven Zahlen b n −a n und a n ·b n . Daher ist a −n > b −n , was bewiesen werden musste.

Die letzte Eigenschaft von Potenzen mit ganzzahligen Exponenten wird auf die gleiche Weise bewiesen wie eine ähnliche Eigenschaft von Potenzen mit natürlichen Exponenten.

Eigenschaften von Potenzen mit rationalen Exponenten

Wir haben einen Grad mit einem gebrochenen Exponenten definiert, indem wir die Eigenschaften eines Grades mit einem ganzzahligen Exponenten darauf erweitert haben. Mit anderen Worten: Potenzen mit gebrochenem Exponenten haben die gleichen Eigenschaften wie Potenzen mit ganzzahligem Exponenten. Nämlich:

Der Beweis der Eigenschaften von Graden mit gebrochenem Exponenten basiert auf der Definition eines Grades mit gebrochenem Exponenten und auf den Eigenschaften eines Grades mit ganzzahligem Exponenten. Lassen Sie uns Beweise liefern.

Per Definition einer Potenz mit gebrochenem Exponenten und dann . Die Eigenschaften der arithmetischen Wurzel ermöglichen es uns, die folgenden Gleichungen zu schreiben. Wenn wir außerdem die Eigenschaft eines Grades mit einem ganzzahligen Exponenten verwenden, erhalten wir , woraus wir durch die Definition eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten haben , und der Indikator des erreichten Abschlusses kann wie folgt transformiert werden: . Damit ist der Beweis abgeschlossen.

Die zweite Eigenschaft von Potenzen mit gebrochenen Exponenten wird auf völlig ähnliche Weise bewiesen:

Die übrigen Gleichheiten werden nach ähnlichen Prinzipien bewiesen:

Fahren wir mit dem Beweis der nächsten Eigenschaft fort. Beweisen wir, dass für jedes positive a und b a gilt b p . Schreiben wir die rationale Zahl p als m/n, wobei m eine ganze Zahl und n eine natürliche Zahl ist. Bedingungen S<0 и p>0 in diesem Fall die Bedingungen m<0 и m>0 entsprechend. Für m>0 und a

Ebenso gilt für m<0 имеем a m >b m , woher also und a p > b p .

Es bleibt noch die letzte der aufgeführten Eigenschaften zu beweisen. Beweisen wir, dass für rationale Zahlen p und q p>q bei 0 gilt 0 – Ungleichung a p >a q . Wir können rationale Zahlen p und q immer auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren, auch wenn wir gewöhnliche Brüche und erhalten, wobei m 1 und m 2 ganze Zahlen sind und n eine natürliche Zahl ist. In diesem Fall entspricht die Bedingung p>q der Bedingung m 1 >m 2, die aus folgt. Dann durch die Eigenschaft, Potenzen mit den gleichen Basen und natürlichen Exponenten bei 0 zu vergleichen 1 – Ungleichung a m 1 >a m 2 . Diese Ungleichungen in den Eigenschaften der Wurzeln können entsprechend umgeschrieben werden als Und . Und die Definition eines Grades mit einem rationalen Exponenten ermöglicht es uns, zu Ungleichungen überzugehen und dementsprechend. Von hier aus ziehen wir die endgültige Schlussfolgerung: für p>q und 0 0 – Ungleichung a p >a q .

Eigenschaften von Potenzen mit irrationalen Exponenten

Aus der Art und Weise, wie ein Grad mit irrationalem Exponenten definiert ist, können wir schließen, dass er alle Eigenschaften von Graden mit rationalem Exponenten aufweist. Für alle a>0, b>0 und irrationalen Zahlen p und q gilt also Folgendes Eigenschaften von Potenzen mit irrationalen Exponenten:

1. a p ·a q =a p+q ;
2. a p:a q =a p−q ;
3. (a·b) p =a p ·b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q =a p·q ;
6. für alle positiven Zahlen a und b, a 0 die Ungleichung a p b p ;
7. für irrationale Zahlen p und q, p>q bei 0 0 – Ungleichung a p >a q .

Daraus können wir schließen, dass Potenzen mit beliebigen reellen Exponenten p und q für a>0 die gleichen Eigenschaften haben.

Referenzliste.

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• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. und andere. Algebra und die Anfänge der Analysis: Lehrbuch für die Klassen 10 – 11 allgemeinbildender Bildungseinrichtungen.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematik (ein Handbuch für Berufsanfänger).