Der Zweck der Lektion: Erfahren Sie, wie Sie Funktionen erforschen. Erstellen Sie ihre Diagramme.

Bilden: Unterrichtsgespräch.

Methoden: Dialoge, visuelle Hilfsmittel und Folien.

Ausrüstung: IKT, Tische.

Während des Unterrichts

I. Hausaufgaben überprüfen.

Lehrer: - Leute! Sie hatten die Hausaufgabe „Kritische Punkte einer Funktion, Maxima und Minima“. Definieren Sie den kritischen Punkt einer Funktion.

Student: - Ein kritischer Punkt ist ein interner Punkt des Definitionsbereichs, an dem die Ableitung entweder gleich Null ist oder nicht existiert.

Lehrer: - Wie findet man kritische Punkte?

Schüler: - 1

) Finden Sie die Ableitung der Funktion;

2) Lösen Sie die Gleichung: f "(x) = 0. Die Wurzeln dieser Gleichung sind kritische Punkte.

Lehrer: - Finden Sie die kritischen Punkte der Funktionen:

a) f(x)= 4 - 2x + 7x 2

b) f(x)= 4x - x 3 /3

a) 1) Finden Sie die Ableitung dieser Funktion:

f "(x)= (4 - 2x + 7x 2)" = -2+14x

2) Lösen Sie die Gleichung f "(x)=0<=>-2+14x =0<=>x=1/7

3) Da die Gleichung f "(x) = 0 eine Wurzel hat, hat diese Funktion einen kritischen Punkt x = 1/7.

b) 1) Finden Sie die Ableitung dieser Funktion: f "(x)= 4 - x 2

2) Lösen Sie die Gleichung: f "(x)=0<=>4 - x 2 = 0<=>x = 2 oder x = -2

3) Da die Gleichung f "(x) = 0 zwei Wurzeln hat, hat diese Funktion zwei kritische Punkte x 1 = 2 und x 2 = -2.

II.Mündliche Arbeit.

Lehrer: - Leute! Wiederholen wir die grundlegenden Fragen, die zum Studium eines neuen Themas erforderlich sind. Betrachten Sie dazu Tabellen mit Bildern ( Anhang 1).

Geben Sie die Punkte an, an denen die Funktion zunimmt und abnimmt. Wie heißen diese Punkte?

Student: - In Abbildung a) ist Punkt K der Maximalpunkt, in Abbildung b) ist Punkt M der Maximalpunkt.

Lehrer: - Nennen Sie die Mindestpunkte der Funktion.

Student: - Punkt K in Abbildung c) und d) ist der Minimalpunkt der Funktion.

Lehrer: - Welche Punkte können Extrempunkte der Funktion sein?

Student: - Kritische Punkte können Extrempunkte einer Funktion sein.

Lehrer: - Welche notwendigen Bedingungen kennen Sie?

Student: - Es gibt den Satz von Fermat. Notwendige Bedingung für ein Extremum: Wenn der Punkt x 0 der Extrempunkt der Funktion f ist und an diesem Punkt eine Ableitung f " existiert, dann ist er gleich Null: f "(x) = 0.

Lehrer: - Finden Sie die kritischen Punkte für die Funktion:

a) f(x) = | x |

b) f(x) = 2x + | x |

Student: - Betrachten Sie die Funktion f(x) = | x | ( Anlage 2). Diese Funktion hat bei 0 keine Ableitung. Dies bedeutet, dass 0 ein kritischer Punkt ist. Offensichtlich hat die Funktion am Punkt 0 ein Minimum.

Student: - Betrachten Sie die Funktion f(x) = 2x + | x | ( Anhang 3). Die Grafik zeigt, dass diese Funktion am Punkt 0 kein Extremum hat. Zu diesem Zeitpunkt hat die Funktion keine Ableitung.

Wenn wir tatsächlich annehmen, dass die Funktion f eine Ableitung am Punkt 0 hat, dann hat f(x) - 2x auch eine Ableitung am Punkt 0. Aber f(x) - 2x = | x | und die Funktion | x | am Punkt 0 ist nicht differenzierbar, d.h. Wir sind zu einem Widerspruch gelangt.

Das bedeutet, dass die Funktion f am Punkt 0 keine Ableitung hat.

Lehrer: - Aus dem Satz von Fermat folgt, dass man beim Finden von Extrempunkten kritische Punkte finden muss. Aus den betrachteten Beispielen geht jedoch klar hervor, dass einige zusätzliche Bedingungen erforderlich sind, damit dieser kritische Punkt ein Extrempunkt ist.

Welche hinreichenden Bedingungen für die Existenz eines Extremums an einem Punkt kennen Sie?

Student: - Funktionsmaximumzeichen: Wenn die Funktion f im Punkt x 0 stetig ist und f "(x)>0 im Intervall (a; x 0) und f "(x)<0 на интервале (х 0 ; в), то точка х 0 является точкой максимума функции f.

Das heißt, wenn am Punkt x 0 die Ableitung das Vorzeichen von Plus nach Minus ändert, dann ist x 0 der Maximalpunkt.

Student: - Mindestzeichen: Wenn die Funktion f im Punkt x 0 stetig ist und f "(x)<0 на интервале (а;х 0) и f "(x) >0 auf dem Intervall (x 0 ; b), dann ist der Punkt x 0 der Minimalpunkt der Funktion f.

Das heißt, wenn die Ableitung am Punkt x 0 das Vorzeichen von Minus nach Plus ändert, dann ist x 0 der Minimalpunkt.

Lehrer: - Welchen Algorithmus zum Finden von Extrempunkten einer Funktion kennen Sie?

Der Student erklärt den Algorithmus zur Untersuchung der Funktion f bis zu ihrem Extremum unter Verwendung der Ableitung ( Anhang 4) und findet die Extrempunkte der Funktion:

f (x)= x 4 -2x 2

D (f) =IR und f ist auf der gesamten Zahlengeraden stetig, wie eine ganze rationale Funktion.

2. f "(x) = 4x 3 -4x = 4x (x+1)(x-1).

3. f "(x)=0<=>x= -1 V x=0 V x=1.

Abb.1 (Zeichen f")

Da f an kritischen Punkten stetig ist, ergibt sich aus Abbildung 1 ( Anhang 5) ist klar, dass -1 und 1 die Minimalpunkte und 0 der Maximalpunkt der Funktion f sind.

f min = f (-1) = f (1) = -1, f max = f (0) =0.

Lehrer: - Leute! Erinnern wir uns an den Algorithmus zum Finden von Intervallen der Monotonie einer Funktion f.

Der Schüler erinnert sich an den Algorithmus zum Finden von Intervallen der Monotonie der Funktion f ( Anhang 6).

Lehrer: - Finden Sie die Anstiegs- und Abfallintervalle der durch die Formel gegebenen Funktion f

f (x)= x 3 -12x

Lösung:

1. Da f(x) ein Polynom ist, gilt D (f) =IR.

2. Die Funktion f ist auf dem gesamten Zahlenstrahl differenzierbar und f "(x)= 3x 2 -12 = 3 (x+2) (x-2).

3. Die kritischen Punkte einer Funktion f können nur die Nullstellen von f "(x) sein.

f "(x) =0<=>x = -2 V x=2.

D (f)\ (-2; 2)= (-; -2) U (-2; 2) U (2; +).

Abb.2 (Zeichen f").

Finden Sie die Definitionsbereiche und Werte dieser Funktion f.

Finden Sie heraus, ob die Funktion Merkmale aufweist, die die Forschung erleichtern, d. h. ob die Funktion f:

a) gerade oder ungerade;

b) periodisch.

3. Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen.

4. Finden Sie die Intervalle mit konstantem Vorzeichen der Funktion f.

5. Finden Sie heraus, in welchen Intervallen die Funktion f zunimmt und in welchen sie abnimmt.

6. Finden Sie die Extrempunkte (Maximum oder Minimum) und berechnen Sie die Werte von f an diesen Punkten.

7. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion f in der Nähe charakteristischer Punkte, die nicht im Definitionsbereich enthalten sind.

8. Konstruieren Sie einen Graphen der Funktion.

Dieses Diagramm ist ungefähr.

Unter Berücksichtigung all dessen, was gesagt wurde, untersuchen wir die Funktion: f(x) = 3x 5 -5x 3 +2 und konstruieren ihren Graphen.

Führen wir eine Studie nach dem angegebenen Schema durch:

D (f ") =IR, da f (x) ein Polynom ist.

Die Funktion f ist weder gerade noch ungerade, da

f (-x)= 3(-x) 5 -5(-x) 3 +2 = -3x 5 +5x 3 +2= -(3x 5 -5x 3 -2) f(x)

Finden wir die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen:

a) mit der 0X-Achse, dazu lösen wir die Gleichung: 3x 5 -5x 3 +2 = 0.

Mit der Auswahlmethode können Sie eine der Wurzeln finden (x = 1). Andere Wurzeln sind nur ungefähr zu finden. Daher werden wir für diese Funktion die verbleibenden Schnittpunkte des Graphen mit der Abszissenachse und Intervallen mit konstantem Vorzeichen nicht finden.

b) mit Achse 0У: f(0)=2

Punkt A (0; 2) ist der Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der 0Y-Achse.

Wir haben festgestellt, dass wir keine Intervalle mit Vorzeichenkonstanz finden werden.

Lassen Sie uns die Intervalle der zunehmenden und abnehmenden Funktion ermitteln

a) f "(x)= 15x 4 -15x 2 = 15x 2 (x 2 -1)

D (f ") =IR, daher gibt es keine kritischen Punkte, für die f "(x) nicht existiert.

b) f "(x) = 0, wenn x 2 (x 2 -1) = 0<=>x = -1 V x = 0 V x = 1.

c) Wir erhalten drei kritische Punkte; sie teilen die Koordinatenlinie in vier Intervalle. Bestimmen wir das Vorzeichen der Ableitung in diesen Intervallen:

Abb.3 (Zeichen f")

IV. Ein neues Thema anpinnen. Probleme lösen.

Lehrer: - Erkunden Sie die Funktion und erstellen Sie ihren Graphen: f (x) = x 4 -2x 2 -3.

Schüler: - 1) D (f) = R.

2) f(-x)= (-x) 4 -2(-x) 2 -3 = x 4 -2x 2 -3; f(-x)= f(x),

das bedeutet, dass die Funktion f gerade ist. Seine Untersuchung kann für das Intervall durchgeführt werden, in dem die Funktion von - auf -4 ansteigt, daher hat die Gleichung f (x) = 0 in diesem Intervall keine Wurzeln.

b) Im Intervall [-1; 2] hat die Gleichung auch keine Wurzeln, da die Funktion in diesem Intervall von -4 auf -31 abnimmt.

c) Auf dem Intervall und nimmt um [-∞;-1] ab.

Extremumpunkte: x min = -1

Funktionsextrema: y min =y(-1)=1-2= -1

Kapitel III. Erforschung von Funktionen.

3.1. Allgemeines Schema zum Studium von Funktionen.

Wenn Sie eine Funktion untersuchen, müssen Sie das allgemeine Forschungsschema kennen:

1) D(y) – Definitionsbereich (Änderungsbereich der Variablen x)

2) E(y) – Bereich des x-Wertes (Änderungsbereich der Variablen y)

3) Art der Funktion: gerade, ungerade, periodische oder allgemeine Funktion.

4) Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit den Ohi-O-Achsen (falls möglich).

5) Intervalle der Zeichenkonstanz:

a) Die Funktion nimmt einen positiven Wert an: f(x)>0

b) negativer Wert: f(x)<0.

6) Intervalle der Monotonie der Funktion:

a) erhöhen;

b) abnehmend;

c) Konstanz (f=const).

7) Extremum-Punkte (Minimal- und Maximalpunkte)

8) Funktionsextrema (Funktionswert an minimalen und maximalen Punkten)

9) Zusätzliche Punkte.

Sie können verwendet werden, um den Funktionsgraphen genauer darzustellen.

Es ist zu beachten, dass die Extrema der Funktion f nicht immer mit dem größten und kleinsten Wert der Funktion übereinstimmen.

3.2. Ein Zeichen für zunehmende und abnehmende Funktionen.

Wenn Sie aus einigen zufällig ausgewählten Punkten einen Graphen einer Funktion erstellen und diese mit einer glatten Linie verbinden, kann es selbst bei einer sehr großen Anzahl zufällig ausgewählter Punkte sein, dass sich der auf diese Weise erstellte Graph stark von dem unterscheidet Graph der gegebenen Funktion.

Wenn Sie beim Studium einer Funktion die Ableitung verwenden und die sogenannten „Referenzpunkte“ finden, d.h. Bruchpunkte, Maximal- und Minimalpunkte, Intervalle der Monotonie einer Funktion, dann erhalten wir auch mit einer kleinen Anzahl solcher „Referenzpunkte“ eine korrekte Vorstellung vom Graphen der Funktion.

Bevor ich mich den Beispielen zuwende, werde ich die notwendigen Definitionen und Theoreme geben.

Bestimmung der Monotonie einer Funktion in einem Intervall Eine Funktion y=f(x) heißt auf einem Intervall wachsend, wenn für alle Punkte x 1 und x 2 dieses Intervalls die Bedingung x 1 gilt<х 2 следует, что f(x 1)f(x 2), dann soll die Funktion in diesem Intervall abnehmend sein.

Ein ausreichendes Zeichen für die Monotonie einer Funktion im Intervall. Satz: Wenn eine Funktion an jedem Punkt des Intervalls eine positive (negative) Ableitung hat, dann nimmt die Funktion in diesem Intervall zu (ab).

Dieser Satz wird in Schulbüchern ohne Beweis akzeptiert.

Die geometrische Interpretation des Satzes ist sehr einfach, wenn wir uns daran erinnern, dass f ’(x)=tgα, α die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion an einem gegebenen Punkt x ist. Wenn zum Beispiel f‘ (x)>0 an allen Punkten eines bestimmten Intervalls ist, dann bildet die Tangente an den Graphen mit der Abszissenachse spitze Winkel, was bedeutet, dass mit zunehmendem x auch f(x) zunimmt. Wenn f‘ (x)<0, то касательная с осью абсцисс образуют тупой угол, а значит, с ростом х функция f(x) убывает. Поскольку эти рассуждения основаны лишь на наглядных геометрических представлениях, они не являются доказательством теоремы.

3.3. Kritische Punkte einer Funktion, Maxima und Minima.

Bestimmung der Extrempunkte einer Funktion . Sei x 0 ein interner Punkt aus dem Definitionsbereich der Funktion f(x). Wenn es dann eine solche δ - Nachbarschaft gibt ] x 0 - δ, x 0 + δ [ Punkte x 0 so dass für alle x aus dieser Nachbarschaft die Ungleichung f(x)≤f(x 0) (die Ungleichung f(x )≥f (x 0)), Punkt x 0 wird als Maximalpunkt (Minimalpunkt) dieser Funktion bezeichnet.

Die Maximal- und Minimalpunkte sind interne Punkte des Definitionsbereichs der Funktion.

Ein notwendiges Zeichen für die Existenz eines Extremums einer differenzierbaren Funktion .

Satz von Fermat.

Wenn x 0 der Extrempunkt der Funktion f(x) ist und an diesem Punkt die Ableitung existiert, dann ist sie gleich Null: f ’(x 0) = 0.

Dieser Satz ist keine hinreichende Bedingung für die Existenz eines Extremums einer differenzierbaren Funktion: Wenn an einem Punkt x 0 die Ableitung verschwindet, folgt daraus nicht, dass die Funktion am Punkt x 0 ein Extremum hat.

Bestimmung kritischer Punkte einer Funktion . Die inneren Punkte des Definitionsbereichs einer Funktion, an denen ihre Ableitung gleich Null ist oder nicht existiert, werden kritische Punkte der Funktion genannt.

Ausreichende Bedingungen für die Existenz eines Extremums .

Satz 1. Wenn die Funktion f(x) im Punkt x 0 stetig ist, ist f‘(x)>0 auf dem Intervall und f‘(x)<0 на интервале , то х 0 является точкой максимума функции f(x).

Satz 2. Wenn die Funktion f(x) im Punkt x 0 stetig ist, ist f‘(x)<0 на интервале и f ‘(x)>0 auf dem Intervall , dann ist x 0 der Minimalpunkt der Funktion f(x).

Um die Extrempunkte einer Funktion zu ermitteln, müssen Sie deren kritische Punkte ermitteln und für jeden von ihnen prüfen, ob ausreichende Bedingungen für das Extremum erfüllt sind.

3.4. Die größten und kleinsten Werte einer Funktion.

Regeln zum Ermitteln der größten und kleinsten Werte von Funktionen im Intervall. Um die größten und kleinsten Werte einer in einem bestimmten Intervall differenzierbaren Funktion zu finden, müssen Sie alle innerhalb des Intervalls liegenden kritischen Punkte finden, die Werte der Funktion an diesen Punkten und an den Enden des Intervalls berechnen. und wählen Sie aus allen so erhaltenen Werten der Funktion den größten und kleinsten aus.

Kapitel IV. Beispiele für die Anwendung der Ableitung auf das Studium einer Funktion.

Beispiel 11. Erkunden Sie die Funktion y=x 3 +6x 2 +9x und zeichnen Sie einen Graphen.

2) Bestimmen wir den Funktionstyp:

y(-x)=(-x) 3 +6(-x) 2 +9(-x)=-x+6x 2 -9x Funktion allgemeiner Form.

x=0 oder x 2 +6x+9=0

D=0, die Gleichung hat eine Wurzel.

(0;0) und (-3;0) sind die Schnittpunkte mit der x-Achse.

y’=(x 3 +6x 2 +9x)’=3x 2 +12x+9

y’=0, d.h. 3x 2 +12x+9=0 um 3 reduzieren

D>0, die Gleichung hat 2 Wurzeln.

x 1,2 =(-b±√D)/2a, x 1 =(-4+2)/2, x 2 =(-4-2)/2

0
-4

x=-4, y’=3*16-48+9=9>0

x=-2, y’=12-24+9=-3<0

x=0, y’=0+0+9=9>0

7) Finden Sie x min und x max:

8) Finden Sie die Extrema der Funktion:

y min =y(-1)=-1+6-9=-4

y max =y(-3)=-27+54-27=0

9) Lassen Sie uns die Funktion grafisch darstellen:

10) Zusätzliche Punkte:

y(-4)=-64+96-36=-4

Beispiel 12. Erkunden Sie die Funktion y=x 2 /(x-2) und zeichnen Sie ein Diagramm

y=x 2 /(x-2)=x+2+4/(x-2)

Finden wir die Asymptoten der Funktion:

x≠ 2, x=2 – vertikale Asymptote

y=x+2 – schräge Asymptote, weil

Finden wir den Definitionsbereich.

2) Lassen Sie uns den Typ der Funktion bestimmen.

y(-x)=(-x) 2 /(-x-2)=x 2 /(-x-2), eine Funktion allgemeiner Form.

3) Finden Sie die Schnittpunkte mit den Achsen.

Oy: x=0, y=0 (0;0) – Schnittpunkt mit der y-Achse.

x=0 oder x=2 (2;0) – Schnittpunkt mit der x-Achse

4) Finden Sie die Ableitung der Funktion:

y'=(2x(x-2)-x 2)/(x-2) 2 =(2x 2 -4x-x 2)/(x-2) 2 =(x(x-4))/(x -2) 2 =(x 2 -4x)/(x-2) 2

5) Lassen Sie uns die kritischen Punkte ermitteln:

x 2 -4x=0 x(x-4)=0

y’=0, (x 2 -4x)/(x-2) 2 =0<=> <=>

(x-2) 2 ≠ 0 x≠ 2

x 2 -4x=0 und (x-2) 2 ≠ 0, d.h. x≠ 2

6) Bezeichnen wir die kritischen Punkte auf der Koordinatenlinie und bestimmen wir das Vorzeichen der Funktion.

0 8

x=-1, y’=(1+4)/9=5/9>0

x=1, y’=(1-4)/1=-3<0

x=3, y’=(9-12)/1=-3<0

x=5, y’=(25-20)/9=5/9>0

7) Finden Sie die minimalen und maximalen Punkte der Funktion:

8) Finden Sie die Extrema der Funktion:

y min =y(4)=16/2=8

9) Lassen Sie uns die Funktion grafisch darstellen:

10) Zusätzliche Punkte:

y(-3)=9/-5=-1,8 y(3)=9/1=9

y(1)=1/-1=-1 y(6)=36/4=9

Beispiel 13. Erkunden Sie die Funktion y=(6(x-1))/(x 2 +3) und erstellen Sie einen Graphen. 1) Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion:

2) Bestimmen wir den Funktionstyp:

y(-x)=(6(-x-1))/(x 2 +3)=-(6(x+1))/(x 2 -3) ist eine Funktion allgemeiner Form.

3) Finden Sie die Schnittpunkte mit den Achsen:

O y: x=0, y=(6(0-1))/(0+3)=-2, (0;-2) – Schnittpunkt mit der y-Achse.

(6(x-1))/(x 2 +3)=0

O x: y=0,<=>

4) Finden Sie die Ableitung der Funktion:

y'=(6(x-1)/(x 2 +3))'=6(x 2 +3-2x 2 +2x)/(x 2 +2) 2 =-6(x+1)(x -3)/(x 2 +3) 2

5) Lassen Sie uns die kritischen Punkte ermitteln:

y’=0, d.h. -6(x+1)(x-3)/(x 2 +3) 2 =0

y’=0, wenn x 1 =-1 oder x 2 =3, dann sind x=-1 und x=3 kritische Punkte.

6) Bezeichnen wir die kritischen Punkte auf der Koordinatenlinie und bestimmen wir das Vorzeichen der Funktion:

-3 2

x=-2, y’=-6(-2+1)(-2-3)/(4+3) 2 =-30/49<0

x=0, y’=-6(0+1)(0-3)/(0+3) 2 =2>0

x=4, y’=-6(4+1)(4-3)/(16+3) 2 =-30/361<0

7) Finden Sie die minimale und maximale Punktzahl:

8) Finden Sie die Extrema der Funktion:

y min =y(-1)=(6(-1-1))/(1+3)=-12/4=-3

y max =y(3)=(6(3-1))/(9+3)=12/12=1

9) Lassen Sie uns die Funktion grafisch darstellen:

10) Zusätzliche Punkte:

y(-3)=(6(-3-1))/(9+3)=-24/12=-2

y(6)=(6(6-1))/(36+3)=30/39=10/13≈ 0,77

Beispiel 14. Erkunden Sie die Funktion y=xlnx und zeichnen Sie sie auf:

1) Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion:

D(y)=R + (nur positive Werte)

2) Bestimmen wir den Funktionstyp:

y(-x)=-xlnx – von allgemeiner Form.

3) Finden Sie die Schnittpunkte mit den Achsen:

O y, aber x≠ 0, was bedeutet, dass es keine Schnittpunkte mit der y-Achse gibt.

O x: y=0, also xlnx=0

x=0 oder lnx=0

(1;0) – Schnittpunkt mit der x-Achse

4) Finden Sie die Ableitung der Funktion:

y’=x’ ln x + x(ln x)’=ln x +1

5) Lassen Sie uns die kritischen Punkte ermitteln:

y’=0, das ist lnx +1=0

y’=0, wenn x=1/e, dann ist x=1/e der kritische Punkt.

6) Bezeichnen wir die kritischen Punkte auf der Koordinatenlinie und bestimmen wir das Vorzeichen der Funktion:

1/e

x=1/(2e); y’=log(2e) -1 +1=1-ln(2e)=1-ln e=-ln 2<0

x=2e; y’=ln(2e)+1=ln 2+ln e+1=ln 2+2>0

7) 1/e – Minimalpunkt der Funktion.

8) Finden Sie die Extrema der Funktion:

y min =y(1/e)=1/e ln e -1 =-1/e (≈ -0,4).

9) Lassen Sie uns die Funktion grafisch darstellen:

Abschluss.

Viele Wissenschaftler und Philosophen haben sich mit diesem Thema beschäftigt. Vor vielen Jahren entstanden diese Begriffe: Funktion, Graph, Funktionslehre, und sie sind bis heute erhalten geblieben und haben neue Merkmale und Eigenschaften erhalten.

Ich habe mich für dieses Thema entschieden, weil ich großes Interesse daran hatte, diesen Weg der Funktionsforschung zu beschreiten. Es scheint mir, dass viele daran interessiert wären, mehr über die Funktion, ihre Eigenschaften und Transformationen zu erfahren. Durch die Fertigstellung dieses Aufsatzes habe ich meine Fähigkeiten systematisiert und mein Wissen zu diesem Thema erweitert.

Ich möchte jeden ermutigen, sich weiter mit diesem Thema zu befassen.

Referenzliste.

1. Bashmakov, M.I. Algebra und der Beginn der Analysis. - M.: Bildung, 1992.

2. Glazer, G.I. Geschichte der Mathematik in der Schule. - M.: Pädagogik, 1983.

3. Gusev, V.A. Mathematik: Referenzmaterialien. - M.: Bildung, 1888.

4. Dorofeev, G.V. Ein Handbuch zur Mathematik für Studienanfänger - M.: Nauka, 1974.

5. Zorin, V.V. Ein Handbuch zur Mathematik für Studienanfänger - M.: Higher School, 1980.

6. Kolmogorov A.N. Algebra und die Anfänge der Analysis. - M.: Bildung, 1993.

Zweck der Lektion: Testen der Fähigkeiten zum Studieren von Funktionen und zum Zeichnen von Diagrammen mithilfe von Ableitungen.

Theoretischer Teil des Tests.

Fragen Ermittlung der minimalen und maximalen Punkte.

Theoretischer Teil des Tests

1) Bestimmung des Mindestpunktes.

Wenn die Funktion in einer Umgebung des Punktes X 0 definiert ist, wird der Punkt X 0 aufgerufen Mindestpunktzahl Funktionen f(x), wenn es eine Umgebung des Punktes X 0 gibt, so dass für alle xx 0 aus dieser Umgebung die Ungleichung f(x)>f(x 0) erfüllt ist.

Bestimmung des Maximalpunktes.

Wenn die Funktion in einer Umgebung des Punktes X 0 definiert ist, wird der Punkt X 0 aufgerufen Maximalpunkt Funktionen f(x), wenn es eine Umgebung des Punktes X 0 gibt, so dass für alle x? x 0 aus dieser Umgebung die Ungleichung f(x) erfüllt ist

2) Bestimmung kritischer Punkte.

Kritische Punkte sind interne Punkte des Definitionsbereichs einer Funktion, an denen die Ableitung nicht existiert oder gleich Null ist.

3) Eine notwendige Bedingung dafür, dass X 0 ein Punkt ist Extremum : Dieser Punkt muss kritisch sein.

4) Algorithmus zum Finden kritischer Punkte.

1. Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion.

2. Finden Sie die Ableitung der Funktion.

3. Finden Sie den Definitionsbereich der Ableitung einer bestimmten Funktion (Um festzustellen, ob es Punkte gibt, an denen die Ableitung nicht existiert. Wenn es solche Punkte gibt, prüfen Sie, ob es sich um interne Punkte des Definitionsbereichs handelt Funktion.

4. Finden Sie die Punkte, an denen die Ableitung gleich Null ist, indem Sie die Gleichung lösen: f "(x)=0.

Prüfen Sie, ob die gefundenen Punkte interne Punkte des Funktionsbereichs sind.

5) Stationäre Punkte – Punkte, an denen die Ableitung der Funktion gleich Null ist.

6) Satz von Fermat. (Voraussetzung Extremum der Funktion.)

y=f(x) ist eine Funktion, die in einer bestimmten Umgebung des Punktes X 0 definiert ist und an diesem Punkt eine Ableitung hat.

Satz: Wenn X 0 der Extrempunkt der differenzierbaren Funktion f(x) ist, dann f "(x)=0.

7) Ausreichende Bedingungen für die Existenz eines Extremums Funktionen an einem Punkt.

y=f(x) ist auf (a;c) definiert. X 0 ist der kritische Punkt.

Wenn die Funktion f am Punkt X 0 stetig ist und f "(x)>0 im Intervall (a; x 0) und f "(x)<0 на интервале (х 0 ;в), то точка х 0 является Maximalpunkt der Funktion f.

(Vereinfachte Formulierung: Wenn am Punkt X 0 die Ableitung das Vorzeichen von „+“ nach „_“ ändert, dann ist X 0 Es gibt einen Höchstpunkt.)

Wenn die Funktion f im Punkt X 0 stetig ist und f "(x)<0 на интервале (а;X 0) и f "(х)>0 auf dem Intervall (X 0 ;в), dann ist der Punkt x 0 Minimalpunkt der Funktion F.

(Vereinfachte Formulierung: Wenn am Punkt X 0 die Ableitung das Vorzeichen von „_“ nach „+“ ändert, dann ist X 0 Mindestpunktzahl.)

8) Ausreichendes Anzeichen für einen Anstieg, absteigend Funktionen .

Wenn f "(x)>0 für alle x aus dem Intervall (a; b), dann nimmt die Funktion auf dem Intervall (a; b) zu.

Wenn f "(x)<0 для всех х из промежутка (а; в), то функция убывает на промежутке (а; в).

(Wenn die Funktion am Ende des Intervalls stetig ist, kann sie zum Intervall der zunehmenden (abfallenden) Funktion hinzugefügt werden.)

9) Extremumpunkte, Extremum der Funktion.

X 0 - maximaler Punkt, X 0 - minimaler Punkt werden aufgerufen Extrempunkte.

f(x 0) - Maximum der Funktion,

f(x 0) - das Minimum der aufgerufenen Funktion Extrema der Funktion.

10) Algorithmus zum Finden der Extrema einer Funktion.

1. Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion.

2. Finden Sie die Ableitung der Funktion.

3. Finden Sie kritische Punkte.

4. Bestimmen wir das Vorzeichen der Ableitung für jedes der Intervalle, in die die kritischen Punkte den Definitionsbereich unterteilen.

5. Finden wir die Extrempunkte unter Berücksichtigung der Art der Vorzeichenänderung der Ableitung.

6. Finden wir die Extrema der Funktionen.

11) Algorithmus zum Finden des größten und die kleinsten Werte einer Funktion auf einem Segment.

1. Finden Sie die Werte der Funktion an den Enden des Segments [a; V].

2. Finden Sie die Werte der Funktion an den kritischen Punkten, die zum Intervall (a; b) gehören.

3. Wählen Sie aus den gefundenen Werten den größten und den kleinsten aus.

Praktischer Teil der Prüfung

„Untersuchung von Funktionen mit Ableitungen.

Die größten und kleinsten Werte von Funktionen auf einem Segment“

a) kritische Punkte von Funktionen,

b) Extrema von Funktionen

c) die größten und kleinsten Werte der Funktionen im angegebenen Intervall

d) Erstellen Sie ein Diagramm.

In Aufgabe B15 wird vorgeschlagen, die durch die Formel angegebene Funktion auf Extrema zu untersuchen. Dabei handelt es sich um eine Standardaufgabe der Analysis, deren Schwierigkeit stark von der jeweiligen Funktion abhängt: Einige können buchstäblich mündlich gelöst werden, während andere ernsthafte Überlegungen erfordern.

Bevor Sie Lösungsmethoden studieren, müssen Sie einige Begriffe aus dem Bereich der mathematischen Analyse verstehen. In Aufgabe B15 müssen Sie also die folgenden Größen mithilfe der Ableitung ermitteln:

1. Lokale maximale (minimale) Punkte – der Wert der Variablen, bei dem die Funktion ihren größten (kleinsten) Wert erreicht. Solche Punkte werden auch Extrempunkte genannt.
2. Das globale Maximum (Minimum) einer Funktion ist der größte (kleinste) Wert der Funktion unter den angegebenen Einschränkungen. Ein anderer Name ist globale Extreme.

In diesem Fall werden globale Extrema in der Regel nicht über den gesamten Definitionsbereich der Funktion gesucht, sondern nur über einen bestimmten Abschnitt. Es ist wichtig zu verstehen, dass das globale Extremum und der Wert der Funktion am Extrempunkt nicht immer übereinstimmen. Lassen Sie uns dies anhand eines konkreten Beispiels erklären:

Aufgabe. Finden Sie den Minimalpunkt und Minimalwert der Funktion y = 2x 3 − 3x 2 − 12x + 1 im Intervall [−3; 3].

Zuerst ermitteln wir den Minimalpunkt, für den wir die Ableitung berechnen:
y’ = (2x 3 − 3x 2 − 12x + 1)’ = 6x 2 − 6x − 12.

Finden wir die kritischen Punkte, indem wir die Gleichung y’ = 0 lösen. Wir erhalten die quadratische Standardgleichung:
y’ = 0 ⇒ 6x 2 − 6x − 12 = 0 ⇒ ... ⇒ x 1 = −1, x 2 = 2.

Markieren wir diese Punkte auf der Koordinatenlinie, fügen Ableitungszeichen und Einschränkungen hinzu – die Enden des Segments:

Der Maßstab des Bildes spielt keine Rolle. Das Wichtigste ist, die Punkte in der richtigen Reihenfolge zu markieren. Aus einem Mathematikkurs in der Schule wissen wir, dass die Ableitung am Minimalpunkt das Vorzeichen von Minus nach Plus ändert. Die Zählung erfolgt immer von links nach rechts – in Richtung der positiven Halbachse. Daher gibt es nur einen Mindestpunkt: x = 2.

Lassen Sie uns nun den Minimalwert der Funktion im Intervall [−3; 3]. Er wird entweder am Minimalpunkt (dann wird er zum globalen Minimalpunkt) oder am Ende des Segments erreicht. Beachten Sie, dass die Ableitung im Intervall (2; 3) überall positiv ist, was bedeutet, dass y(3) > y(2), sodass das rechte Ende des Segments ignoriert werden kann. Die einzigen verbleibenden Punkte sind x = −3 (das linke Ende des Segments) und x = 2 (der minimale Punkt). Wir haben:
y(−3) = 2(−3) 3 − 3(−3) 2 − 12(−3) + 1 = −44;
y(2) = 2*2 3 − 3*2 2 − 12*2 + 1 = −19.

Der kleinste Wert der Funktion wird also am Ende des Segments erreicht und beträgt −44.

Antwort: x min = 2; y min = −44

Aus der obigen Überlegung ergibt sich eine wichtige Tatsache, die viele Menschen vergessen. Die Funktion nimmt ihren maximalen (minimalen) Wert nicht unbedingt am Extrempunkt an. Manchmal wird dieser Wert am Ende des Segments erreicht und die Ableitung dort muss nicht gleich Null sein.

Problemlösungsschema B15

Wenn Sie in Aufgabe B15 den Maximal- oder Minimalwert der Funktion f(x) im Intervall ermitteln müssen, führen Sie die folgenden Schritte aus:

1. Lösen Sie die Gleichung f’(x) = 0. Wenn es keine Wurzeln gibt, überspringen Sie den dritten Schritt und fahren Sie direkt mit dem vierten fort.
2. Streichen Sie aus dem resultierenden Wurzelsatz alles durch, was außerhalb des Segments liegt. Bezeichnen wir die restlichen Zahlen mit x 1, x 2, ..., x n – davon wird es in der Regel nur wenige geben.
3. Ersetzen wir die Enden des Segments und die Punkte x 1, x 2, ..., x n in die ursprüngliche Funktion. Wir erhalten eine Menge von Zahlen f(a), f(b), f(x 1), f(x 2), ..., f(x n), aus der wir den größten oder kleinsten Wert auswählen – das wird sein die Antwort.

Eine kurze Erklärung zum Durchstreichen von Wurzeln, wenn sie mit den Enden eines Segments zusammenfallen. Sie können auch durchgestrichen werden, da im vierten Schritt die Enden des Segments immer noch in die Funktion eingesetzt werden – auch wenn die Gleichung f’(x) = 0 keine Lösungen hatte.

Aufgabe. Finden Sie den größten Wert der Funktion y = x 3 + 3x 2 − 9x − 7 im Intervall [−5; 0].

Finden wir zunächst die Ableitung: y’ = (x 3 + 3x 2 − 9x − 7)’ = 3x 2 + 6x − 9.

Dann lösen wir die Gleichung: y’ = 0 ⇒ 3x 2 + 6x − 9 = 0 ⇒ ... ⇒ x = −3; x = 1.

Wir streichen die Wurzel x = 1, da sie nicht zum Segment [−5; 0].

Es bleibt noch der Wert der Funktion an den Enden des Segments und am Punkt x = −3 zu berechnen:
y(−5) = (−5) 3 + 4·(−5) 2 − 9·(−5) − 7 = −12;
y(−3) = (−3) 3 + 4·(−3) 2 − 9·(−3) − 7 = 20;
y(0) = 0 3 + 4 0 2 − 9 0 − 7 = −7.

Offensichtlich ist der größte Wert 20 – er wird am Punkt x = −3 erreicht.

Betrachten Sie nun den Fall, dass Sie den maximalen oder minimalen Punkt der Funktion f(x) auf dem Segment finden müssen. Wenn das Segment nicht angegeben ist, wird die Funktion in ihrem Definitionsbereich betrachtet. In jedem Fall lautet die Lösung wie folgt:

1. Finden Sie die Ableitung der Funktion: f’(x).
2. Lösen Sie die Gleichung f’(x) = 0. Wenn die Ableitung eine gebrochene rationale Funktion ist, ermitteln wir zusätzlich, wann ihr Nenner Null ist. Bezeichnen wir die resultierenden Wurzeln x 1 , x 2 , ..., x n .
3. Markieren Sie x 1, x 2, ..., x n auf der Koordinatenlinie und ordnen Sie die Vorzeichen an, die die Ableitung zwischen diesen Zahlen annimmt. Wenn ein Segment angegeben ist, markieren Sie es und streichen Sie alles durch, was außerhalb liegt.
4. Unter den verbleibenden Punkten suchen wir nach einem, bei dem sich das Vorzeichen der Ableitung von Minus nach Plus (das ist der Minimalpunkt) oder von Plus nach Minus (das Minimalpunkt) ändert. Es sollte nur einen solchen Punkt geben – das wird die Antwort sein.

Dem aufmerksamen Leser wird wahrscheinlich auffallen, dass dieser Algorithmus bei manchen Funktionen nicht funktioniert. Tatsächlich gibt es eine ganze Klasse von Funktionen, für die das Finden von Extrempunkten komplexere Berechnungen erfordert. Im Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik sind solche Funktionen jedoch nicht zu finden.

Achten Sie sorgfältig auf die Platzierung der Zeichen zwischen den Punkten x 1, x 2, ..., x n. Denken Sie daran: Beim Durchgang durch eine Wurzel gerader Multiplizität ändert sich das Vorzeichen der Ableitung nicht. Bei der Suche nach Extrempunkten werden die Schilder immer von links nach rechts betrachtet, d. h. in Richtung der Zahlenachse.

Aufgabe. Finden Sie den Maximalpunkt der Funktion

auf dem Segment [−8; 8].

Finden wir die Ableitung:

Da es sich um eine gebrochene rationale Funktion handelt, setzen wir die Ableitung und ihren Nenner mit Null gleich:
y’ = 0 ⇒ x 2 − 25 = 0 ⇒ ... ⇒ x = 5; x = −5;
x 2 = 0 ⇒ x = 0 (zweite Multiplizitätswurzel).

Markieren wir die Punkte x = −5, x = 0 und x = 5 auf der Koordinatenlinie, platzieren Sie Zeichen und Grenzen:

Offensichtlich gibt es innerhalb der Strecke x = −5 nur noch einen Punkt, an dem das Vorzeichen der Ableitung von Plus nach Minus wechselt. Dies ist die Höchstpunktzahl.

Lassen Sie uns noch einmal erklären, wie sich die Extrempunkte von den Extrema selbst unterscheiden. Extrempunkte sind die Werte von Variablen, bei denen die Funktion den größten oder kleinsten Wert annimmt. Extrema sind die Werte der Funktionen selbst, maximal oder minimal in einigen ihrer Umgebungen.

Zusätzlich zu den üblichen Polynomen und gebrochenen rationalen Funktionen finden sich in Aufgabe B15 die folgenden Arten von Ausdrücken:

1. Irrationale Funktionen
2. Trigonometrische Funktionen,
3. Exponentialfunktionen,
4. Logarithmische Funktionen.

Bei irrationalen Funktionen treten in der Regel keine Probleme auf. Die übrigen Fälle sind eine genauere Betrachtung wert.

Trigonometrische Funktionen

Die Hauptschwierigkeit bei trigonometrischen Funktionen besteht darin, dass beim Lösen von Gleichungen unendlich viele Wurzeln entstehen. Zum Beispiel hat die Gleichung sin x = 0 Wurzeln x = πn, wobei n ∈ Z. Nun, wie markiert man sie auf der Koordinatenlinie, wenn es unendlich viele solcher Zahlen gibt?

Die Antwort ist einfach: Sie müssen bestimmte Werte von n ersetzen. Tatsächlich gibt es bei Problemen B15 mit trigonometrischen Funktionen immer eine Einschränkung – ein Segment. Daher nehmen wir zunächst n = 0 und erhöhen dann n, bis die entsprechende Wurzel über die Grenzen des Segments „fliegt“. In ähnlicher Weise erhalten wir durch Verringern von n sehr bald eine Wurzel, die kleiner als die Untergrenze ist.

Es lässt sich leicht zeigen, dass auf dem Segment keine anderen Wurzeln als die im betrachteten Prozess erhaltenen vorhanden sind. Betrachten wir diesen Prozess nun anhand konkreter Beispiele.

Aufgabe. Finden Sie den Maximalpunkt der Funktion y = sin x − 5x·sin x − 5cos x + 1, die zum Segment [−π/3; π/3].

Wir berechnen die Ableitung: y’ = (sin x − 5x sin x − 5cos x + 1)’ = ... = cos x − 5x cos x = (1 − 5x) cos x.

Dann lösen wir die Gleichung: y’ = 0 ⇒ (1 − 5x) cos x = 0 ⇒ ... ⇒ x = 0,2 oder x = π/2 + πn, n ∈ Z.

Mit der Wurzel x = 0,2 ist alles klar, aber die Formel x = π/2 + πn erfordert eine zusätzliche Bearbeitung. Wir werden verschiedene Werte von n ersetzen, beginnend mit n = 0.

n = 0 ⇒ x = π/2. Aber π/2 > π/3, also ist die Wurzel x = π/2 nicht im ursprünglichen Segment enthalten. Außerdem gilt: Je größer n, desto größer x, sodass es keinen Sinn macht, n > 0 in Betracht zu ziehen.

n = −1 ⇒ x = − π/2. Aber −π/2< −π/3 - этот корень тоже придется отбросить. А вместе с ним - и все корни для n < −1.

Es stellt sich heraus, dass auf dem Intervall [−π/3; π/3] liegt nur bei der Wurzel x = 0,2. Markieren wir es zusammen mit den Zeichen und Grenzen auf der Koordinatenlinie:

Um sicherzustellen, dass die Ableitung rechts von x = 0,2 wirklich negativ ist, reicht es aus, den Wert x = π/4 in y’ einzusetzen. Wir werden lediglich feststellen, dass die Ableitung am Punkt x = 0,2 das Vorzeichen von Plus nach Minus ändert und dies daher der Maximalpunkt ist.

Aufgabe. Finden Sie den größten Wert der Funktion y = 4tg x − 4x + π − 5 im Intervall [−π/4; π/4].

Wir berechnen die Ableitung: y’ = (4tg x − 4x + π − 5)’ = 4/cos 2x − 4.

Dann lösen wir die Gleichung: y’ = 0 ⇒ 4/cos 2x − 4 = 0 ⇒ ... ⇒ x = πn, n ∈ Z.

Ziehen wir die Wurzeln aus dieser Formel, indem wir ausgehend von n = 0 ein bestimmtes n einsetzen:
n = 0 ⇒ x = 0. Diese Wurzel passt zu uns.
n = 1 ⇒ x = π. Aber π > π/4, also müssen die Wurzel x = π und die Werte n > 1 durchgestrichen werden.
n = −1 ⇒ x = −π. Aber π< −π/4, поэтому x = π и n < −1 тоже вычеркиваем.

Von der gesamten Vielfalt an Wurzeln bleibt nur noch eine übrig: x = 0. Daher berechnen wir den Wert der Funktion für x = 0, x = π/4 und x = −π/4.
y(0) = 4tg 0 − 4 0 + π − 5 = π − 5;
y(π/4) = 4tg (π/4) − 4 π/4 + π − 5 = −1;
y(π/4) = 4tg (−π/4) − 4 (−π/4) + π − 5 = ... = 2π − 9.

Beachten Sie nun, dass π = 3,14...< 4, поэтому π − 5 < 4 − 5 = −1 и 2π − 9 < 8 − 9 = −1. Получается одно положительное число и два отрицательных. Мы ищем наибольшее - очевидно, это y = −1.

Beachten Sie, dass es bei der letzten Aufgabe möglich war, die Zahlen nicht miteinander zu vergleichen. Schließlich kann von den Zahlen π − 5, 1 und 2π − 9 nur eine auf den Antwortbogen geschrieben werden. Wie schreibt man beispielsweise die Zahl π auf ein Formular? Aber auf keinen Fall. Dies ist ein wichtiges Merkmal des ersten Teils des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik, das die Lösung vieler Probleme erheblich vereinfacht. Und es funktioniert nicht nur in B15.

Beim Studium einer Funktion entstehen manchmal Gleichungen, die keine Wurzeln haben. In diesem Fall wird die Aufgabe noch einfacher, da nur noch die Enden des Segments berücksichtigt werden müssen.

Aufgabe. Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion y = 7sin x − 8x + 5 im Intervall [−3π/2; 0].

Zuerst finden wir die Ableitung: y’ = (7sin x − 8x + 5)’ = 7cos x − 8.

Versuchen wir, die Gleichung zu lösen: y’ = 0 ⇒ 7cos x − 8 = 0 ⇒ cos x = 8/7. Aber die Werte von cos x liegen immer auf dem Intervall [−1; 1] und 8/7 > 1. Daher gibt es keine Wurzeln.

Wenn keine Wurzeln vorhanden sind, muss nichts durchgestrichen werden. Fahren wir mit dem letzten Schritt fort – berechnen Sie den Wert der Funktion:
y(−3π/2) = 7sin (−3π/2) − 8·(−3π/2) + 5 = ... = 12π + 12;
y(0) = 7sin 0 − 8 0 + 5 = 5.

Da die Zahl 12π + 12 nicht auf den Antwortbogen geschrieben werden kann, bleibt nur y = 5.

Exponentialfunktionen

Im Allgemeinen ist eine Exponentialfunktion ein Ausdruck der Form y = a x, wobei a > 0. In Aufgabe B15 gibt es jedoch nur Funktionen der Form y = e x und im Extremfall y = e kx + b. Der Grund dafür ist, dass die Ableitungen dieser Funktionen sehr einfach berechnet werden können:

1. (e x)" = e x. Es hat sich nichts geändert.
2. (e kx + b)" = k·e kx + b. Fügen Sie einfach einen Faktor hinzu, der dem Koeffizienten der Variablen x entspricht. Dies ist ein Sonderfall der Ableitung einer komplexen Funktion.

Alles andere ist absoluter Standard. Natürlich sehen die tatsächlichen Funktionen in den Aufgaben B15 schwerwiegender aus, aber am Lösungsschema ändert sich dadurch nichts. Schauen wir uns ein paar Beispiele an und beleuchten dabei nur die Hauptpunkte der Lösung – ohne ausführliche Begründung oder Kommentar.

Aufgabe. Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion y = (x 2 − 5x + 5)e x − 3 im Intervall [−1; 5].

Ableitung: y’ = ((x 2 − 5x + 5)e x − 3)’ = ... = (x 2 − 3x)e x − 3 = x(x − 3)e x − 3 .

Finden Sie die Wurzeln: y’ = 0 ⇒ x(x − 3)e x − 3 = 0 ⇒ ... ⇒ x = 0; x = 3.

Beide Wurzeln liegen auf der Strecke [−1; 5]. Es bleibt noch, den Wert der Funktion an allen Punkten zu finden:
y(−1) = ((−1) 2 − 5·(−1) + 5)e − 1 − 3 = ... = 11·e −4 ;
y(0) = (0 2 − 5 0 + 5)e 0 − 3 = ... = 5 e −3 ;
y(3) = (3 2 − 5 3 + 5)e 3 − 3 = ... = −1;
y(5) = (5 2 − 5 5 + 5)e 5 − 3 = ... = 5 e 2 .

Von den vier erhaltenen Zahlen kann nur y = −1 auf das Formular geschrieben werden. Außerdem ist dies die einzige negative Zahl – sie wird die kleinste sein.

Aufgabe. Finden Sie den größten Wert der Funktion y = (2x − 7) e 8 − 2x auf dem Segment.

Ableitung: y’ = ((2x − 7) e 8 − 2x)’ = ... = (16 − 4x) e 8 − 2x = 4(4 − x) e 8 − 2x .

Finden Sie die Wurzeln: y’ = 0 ⇒ 4(4 − x) e 8 − 2x = 0 ⇒ x = 4.

Die Wurzel x = 4 gehört zum Segment. Wir suchen die Funktionswerte:
y(0) = (2 0 − 7)e 8 − 2 0 = ... = −7 e 8 ;
y(4) = (2 4 − 7)e 8 − 2 4 = ... = 1;
y(6) = (2 6 − 7)e 8 − 2 6 = ... = 5 e −4 .

Offensichtlich kann nur y = 1 die Antwort sein.

Logarithmische Funktionen

Analog zu Exponentialfunktionen trifft man in Aufgabe B15 nur auf natürliche Logarithmen, da deren Ableitung leicht zu berechnen ist:

1. (ln x)’ = 1/x;
2. (ln(kx + b))‘ = k/(kx + b). Insbesondere wenn b = 0, dann ist (ln(kx))’ = 1/x.

Daher wird die Ableitung immer eine gebrochene rationale Funktion sein. Es bleibt nur noch, diese Ableitung und ihren Nenner mit Null gleichzusetzen und dann die resultierenden Gleichungen zu lösen.

Um den Maximal- oder Minimalwert einer logarithmischen Funktion zu ermitteln, denken Sie daran: Der natürliche Logarithmus wird nur an Punkten der Form e n zu einer „normalen“ Zahl. Zum Beispiel ist ln 1 = ln e 0 = 0 eine logarithmische Nullstelle, und meistens läuft die Lösung darauf hinaus. In anderen Fällen ist es unmöglich, das Vorzeichen des Logarithmus zu „entfernen“.

Aufgabe. Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion y = x 2 − 3x + ln x auf dem Segment.

Wir berechnen die Ableitung:

Wir finden die Nullstellen der Ableitung und ihres Nenners:
y’ = 0 ⇒ 2x 2 − 3x + 1 = 0 ⇒ ... ⇒ x = 0,5; x = 1;
x = 0 - hier gibt es nichts zu entscheiden.

Von den drei Zahlen x = 0, x = 0,5 und x = 1 liegt nur x = 1 innerhalb des Segments und die Zahl x = 0,5 ist sein Ende. Wir haben:
y(0,5) = 0,5 2 − 3 0,5 + ln 0,5 = ln 0,5 − 1,25;
y(1) = 1 2 − 3 1 + ln 1 = −2;
y(5) = 5 2 − 3 5 + ln 5 = 10 + ln 5.

Von den drei erhaltenen Werten enthält nur y = −2 kein Logarithmuszeichen – das wird die Antwort sein.

Aufgabe. Finden Sie den größten Wert der Funktion y = ln(6x) − 6x + 4 auf dem Segment.

Wir berechnen die Ableitung:

Wir finden heraus, wann die Ableitung oder ihr Nenner gleich Null sind:
y’ = 0 ⇒ 1 − 6x = 0 ⇒ x = 1/6;
x = 0 - bereits entschieden.

Die Zahl x = 0 streichen wir durch, da sie außerhalb des Segments liegt. Wir berechnen den Wert der Funktion an den Enden des Segments und am Punkt x = 1/6:
y(0,1) = ln(6 0,1) − 6 0,1 + 4 = ln 0,6 + 3,4;
y(1/6) = ln(6 1/6) − 6 1/6 + 4 = ln 1 + 3 = 3;
y(3) = ln(6 3) − 6 3 + 4 = ln 18 − 14.

Offensichtlich kann nur y = 3 als Antwort fungieren – die restlichen Werte enthalten ein Logarithmuszeichen und können nicht auf den Antwortbogen geschrieben werden.

Wie studiert man eine Funktion und erstellt ihren Graphen?

Es scheint, dass ich das spirituell einsichtige Gesicht des Führers des Weltproletariats, des Autors gesammelter Werke in 55 Bänden, zu verstehen beginne ... Die lange Reise begann mit grundlegenden Informationen über Funktionen und Graphen, und nun endet die Arbeit an einem arbeitsintensiven Thema mit einem logischen Ergebnis – einem Artikel über eine vollständige Untersuchung der Funktion. Die lang erwartete Aufgabe lautet wie folgt:

Untersuchen Sie eine Funktion mit Methoden der Differentialrechnung und erstellen Sie ihren Graphen basierend auf den Ergebnissen der Studie

Oder kurz gesagt: Untersuchen Sie die Funktion und erstellen Sie ein Diagramm.

Warum erkunden? In einfachen Fällen wird es für uns nicht schwierig sein, die Elementarfunktionen zu verstehen und einen mit erhaltenen Graphen zu zeichnen elementare geometrische Transformationen usw. Allerdings sind die Eigenschaften und grafischen Darstellungen komplexerer Funktionen alles andere als offensichtlich, weshalb eine umfassende Studie erforderlich ist.

Die Hauptschritte der Lösung sind im Referenzmaterial zusammengefasst Funktionsstudienplan, dies ist Ihr Leitfaden für diesen Abschnitt. Dummies brauchen eine Schritt-für-Schritt-Erklärung zu einem Thema, manche Leser wissen nicht, wo sie anfangen sollen oder wie sie ihre Recherche organisieren sollen und fortgeschrittene Studierende interessieren sich vielleicht nur für wenige Punkte. Aber wer auch immer Sie sind, lieber Besucher, die vorgeschlagene Zusammenfassung mit Hinweisen auf verschiedene Lektionen wird Ihnen schnell Orientierung geben und Sie in die Richtung führen, die Sie interessiert. Die Roboter vergossen Tränen =) Das Handbuch wurde als PDF-Datei angelegt und nahm seinen rechtmäßigen Platz auf der Seite ein Mathematische Formeln und Tabellen.

Ich bin es gewohnt, die Recherche einer Funktion in 5-6 Punkte zu unterteilen:

6) Zusätzliche Punkte und Grafik basierend auf den Forschungsergebnissen.

Was die letzte Aktion betrifft, denke ich, dass jedem klar ist – es wird sehr enttäuschend sein, wenn sie innerhalb von Sekunden durchgestrichen wird und die Aufgabe zur Überarbeitung zurückgeschickt wird. Eine RICHTIGE UND GENAUE ZEICHNUNG ist das Hauptergebnis der Lösung! Es ist wahrscheinlich, dass dadurch analytische Fehler „vertuscht“ werden, während ein falscher und/oder nachlässiger Zeitplan selbst bei einer perfekt durchgeführten Studie zu Problemen führen wird.

Es ist zu beachten, dass in anderen Quellen die Anzahl der Forschungspunkte, die Reihenfolge ihrer Umsetzung und der Designstil erheblich von dem von mir vorgeschlagenen Schema abweichen können, in den meisten Fällen jedoch völlig ausreichend sind. Die einfachste Version des Problems besteht aus nur 2-3 Stufen und ist etwa so formuliert: „Untersuchen Sie die Funktion mit der Ableitung und erstellen Sie einen Graphen“ oder „Untersuchen Sie die Funktion mit der 1. und 2. Ableitung, erstellen Sie einen Graphen.“

Wenn in Ihrem Handbuch ein anderer Algorithmus detailliert beschrieben wird oder Ihr Lehrer Sie strikt dazu auffordert, sich an seine Vorlesungen zu halten, müssen Sie natürlich einige Anpassungen an der Lösung vornehmen. Nicht schwieriger, als eine Kettensägengabel durch einen Löffel zu ersetzen.

Lassen Sie uns die Funktion auf gerade/ungerade prüfen:

Darauf folgt eine Musterantwort:
, was bedeutet, dass diese Funktion weder gerade noch ungerade ist.

Da die Funktion auf stetig ist, gibt es keine vertikalen Asymptoten.

Es gibt auch keine schrägen Asymptoten.

Notiz : Ich erinnere Sie daran, dass je höher Wachstumsordnung, als , daher ist die endgültige Grenze genau „ Plus Unendlichkeit."

Lassen Sie uns herausfinden, wie sich die Funktion im Unendlichen verhält:

Mit anderen Worten: Gehen wir nach rechts, dann geht der Graph unendlich weit nach oben, gehen wir nach links, geht er unendlich weit nach unten. Ja, es gibt auch zwei Limits unter einem einzigen Eintrag. Wenn Sie Schwierigkeiten haben, die Zeichen zu entziffern, besuchen Sie bitte die Lektion darüber Infinitesimalfunktionen.

Also die Funktion nicht von oben begrenzt Und nicht von unten begrenzt. Wenn man bedenkt, dass wir keine Haltepunkte haben, wird es klar Funktionsumfang: – auch jede reelle Zahl.

NÜTZLICHE TECHNISCHE TECHNIK

Jede Phase der Aufgabe bringt neue Informationen über den Graphen der Funktion Daher ist es praktisch, während der Lösung eine Art LAYOUT zu verwenden. Zeichnen wir ein kartesisches Koordinatensystem auf einem Entwurf. Was ist schon sicher bekannt? Erstens hat der Graph keine Asymptoten, daher besteht keine Notwendigkeit, gerade Linien zu zeichnen. Zweitens wissen wir, wie sich die Funktion im Unendlichen verhält. Basierend auf der Analyse ziehen wir eine erste Näherung:

Bitte beachten Sie, dass aufgrund Kontinuität Funktion ein und die Tatsache, dass der Graph die Achse mindestens einmal kreuzen muss. Oder gibt es vielleicht mehrere Schnittpunkte?

3) Nullstellen der Funktion und Intervalle mit konstantem Vorzeichen.

Suchen wir zunächst den Schnittpunkt des Diagramms mit der Ordinatenachse. Das ist einfach. Es ist notwendig, den Wert der Funktion zu berechnen:

Eineinhalb über dem Meeresspiegel.

Um die Schnittpunkte mit der Achse (Nullstellen der Funktion) zu finden, müssen wir die Gleichung lösen, und hier erwartet uns eine unangenehme Überraschung:

Am Ende lauert ein freies Mitglied, was die Aufgabe deutlich erschwert.

Eine solche Gleichung hat mindestens eine reelle Wurzel, und meistens ist diese Wurzel irrational. Im schlimmsten Märchen warten die drei kleinen Schweinchen auf uns. Die Gleichung ist mit der sogenannten lösbar Cardano-Formeln, aber der Papierschaden ist mit fast der gesamten Studie vergleichbar. In diesem Zusammenhang ist es klüger, zu versuchen, mindestens einen auszuwählen, entweder mündlich oder in einem Entwurf. ganz Wurzel. Lassen Sie uns prüfen, ob diese Zahlen sind:
- ungeeignet;
- Es gibt!

Glück gehabt hier. Im Falle eines Misserfolgs können Sie auch testen, und wenn diese Zahlen nicht passen, dann befürchte ich, dass die Chance auf eine gewinnbringende Lösung der Gleichung sehr gering ist. Dann ist es besser, den Recherchepunkt ganz zu überspringen – vielleicht wird im letzten Schritt etwas klarer, wenn weitere Punkte durchbrochen werden. Und wenn die Wurzel(en) eindeutig „schlecht“ sind, dann ist es besser, über die Intervalle der Zeichenkonstanz bescheiden zu schweigen und sorgfältiger zu zeichnen.

Allerdings haben wir eine schöne Wurzel, also dividieren wir das Polynom ohne Rest:

Der Algorithmus zum Teilen eines Polynoms durch ein Polynom wird im ersten Beispiel der Lektion ausführlich besprochen Komplexe Grenzen.

Als Ergebnis die linke Seite der ursprünglichen Gleichung zerfällt in das Produkt:

Und jetzt ein wenig über einen gesunden Lebensstil. Das verstehe ich natürlich quadratische Gleichungen muss jeden Tag gelöst werden, aber heute machen wir eine Ausnahme: die Gleichung hat zwei echte Wurzeln.

Tragen wir die gefundenen Werte auf dem Zahlenstrahl ein Und Intervallmethode Definieren wir die Vorzeichen der Funktion:


og Also auf den Intervallen Der Zeitplan befindet sich
unterhalb der x-Achse und in den Abständen – oberhalb dieser Achse.

Die Ergebnisse ermöglichen es uns, unser Layout zu verfeinern, und die zweite Näherung des Diagramms sieht folgendermaßen aus:

Bitte beachten Sie, dass eine Funktion in einem Intervall mindestens ein Maximum und in einem Intervall mindestens ein Minimum haben muss. Wir wissen jedoch noch nicht, wie oft, wo und wann der Zeitplan wiederholt wird. Eine Funktion kann übrigens unendlich viele haben Extreme.

4) Zunehmende, abnehmende und Extrema der Funktion.

Lassen Sie uns kritische Punkte finden:

Diese Gleichung hat zwei echte Wurzeln. Setzen wir sie auf den Zahlenstrahl und bestimmen die Vorzeichen der Ableitung:


Daher erhöht sich die Funktion um und verringert sich um .
An dem Punkt erreicht die Funktion ihr Maximum: .
An dem Punkt erreicht die Funktion ein Minimum: .

Festgelegte Fakten treiben unsere Vorlage in einen ziemlich starren Rahmen:

Es erübrigt sich zu erwähnen, dass die Differentialrechnung eine mächtige Sache ist. Lassen Sie uns endlich die Form des Diagramms verstehen:

5) Konvexität, Konkavität und Wendepunkte.

Finden wir die kritischen Punkte der zweiten Ableitung:

Definieren wir die Zeichen:


Der Graph der Funktion ist auf konvex und auf konkav. Berechnen wir die Ordinate des Wendepunkts: .

Fast alles ist klar geworden.

6) Es müssen noch zusätzliche Punkte gefunden werden, die Ihnen helfen, ein Diagramm genauer zu erstellen und einen Selbsttest durchzuführen. In diesem Fall gibt es nur wenige davon, aber wir werden sie nicht vernachlässigen:

Machen wir die Zeichnung:

Der Wendepunkt ist grün markiert, weitere Punkte sind mit Kreuzen markiert. Der Graph einer kubischen Funktion ist symmetrisch um seinen Wendepunkt, der immer genau in der Mitte zwischen Maximum und Minimum liegt.

Im Verlauf des Auftrags habe ich drei hypothetische Zwischenzeichnungen bereitgestellt. In der Praxis reicht es aus, ein Koordinatensystem zu zeichnen, die gefundenen Punkte zu markieren und nach jedem Forschungspunkt im Kopf abzuschätzen, wie der Graph der Funktion aussehen könnte. Für gut vorbereitete Studierende wird es nicht schwierig sein, eine solche Analyse allein im Kopf durchzuführen, ohne einen Entwurf einzubinden.

Um es selbst zu lösen:

Beispiel 2

Erkunden Sie die Funktion und erstellen Sie ein Diagramm.

Hier geht alles schneller und macht mehr Spaß, ein ungefähres Beispiel für den endgültigen Entwurf am Ende der Lektion.

Das Studium gebrochener rationaler Funktionen enthüllt viele Geheimnisse:

Beispiel 3

Verwenden Sie Methoden der Differentialrechnung, um eine Funktion zu untersuchen und basierend auf den Ergebnissen der Studie ihren Graphen zu erstellen.

Lösung: Die erste Stufe der Studie zeichnet sich durch nichts Auffälliges aus, mit Ausnahme einer Lücke im Definitionsbereich:

1) Die Funktion ist auf der gesamten Zahlengeraden außer dem Punkt definiert und stetig, Domain: .

, was bedeutet, dass diese Funktion weder gerade noch ungerade ist.

Es ist offensichtlich, dass die Funktion nichtperiodisch ist.

Der Funktionsgraph stellt zwei kontinuierliche Zweige dar, die sich in der linken und rechten Halbebene befinden – dies ist vielleicht die wichtigste Schlussfolgerung aus Punkt 1.

2) Asymptoten, das Verhalten einer Funktion im Unendlichen.

a) Unter Verwendung einseitiger Grenzwerte untersuchen wir das Verhalten der Funktion in der Nähe eines verdächtigen Punktes, an dem eindeutig eine vertikale Asymptote vorhanden sein sollte:

Tatsächlich bleiben die Funktionen bestehen endlose Lücke am Punkt
und die Gerade (Achse) ist vertikale Asymptote Grafik.

b) Prüfen wir, ob schräge Asymptoten existieren:

Ja, es ist gerade schräge Asymptote Grafiken, wenn.

Es macht keinen Sinn, die Grenzen zu analysieren, da bereits klar ist, dass die Funktion ihre schiefe Asymptote umfasst nicht von oben begrenzt Und nicht von unten begrenzt.

Der zweite Forschungspunkt lieferte viele wichtige Informationen über die Funktion. Machen wir eine grobe Skizze:

Schlussfolgerung Nr. 1 betrifft Intervalle mit konstantem Vorzeichen. Bei „minus unendlich“ liegt der Graph der Funktion deutlich unterhalb der x-Achse, bei „plus unendlich“ liegt er oberhalb dieser Achse. Darüber hinaus sagten uns die einseitigen Grenzen, dass sowohl links als auch rechts vom Punkt die Funktion ebenfalls größer als Null ist. Bitte beachten Sie, dass der Graph in der linken Halbebene die x-Achse mindestens einmal kreuzen muss. In der rechten Halbebene dürfen keine Nullstellen der Funktion vorhanden sein.

Schlussfolgerung Nr. 2 ist, dass die Funktion auf und links vom Punkt zunimmt (von unten nach oben geht). Rechts von diesem Punkt nimmt die Funktion ab (geht „von oben nach unten“). Der rechte Zweig des Graphen muss auf jeden Fall mindestens ein Minimum haben. Auf der linken Seite sind Extreme nicht garantiert.

Schlussfolgerung Nr. 3 liefert zuverlässige Informationen über die Konkavität des Graphen in der Nähe des Punktes. Zur Konvexität/Konkavität im Unendlichen können wir noch nichts sagen, da eine Linie sowohl von oben als auch von unten auf ihre Asymptote gedrückt werden kann. Im Allgemeinen gibt es derzeit eine analytische Möglichkeit, dies herauszufinden, aber die Form des Diagramms wird zu einem späteren Zeitpunkt klarer.

Warum so viele Wörter? Um nachfolgende Forschungspunkte zu kontrollieren und Fehler zu vermeiden! Weitere Berechnungen sollten den gezogenen Schlussfolgerungen nicht widersprechen.

3) Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen, Intervalle mit konstantem Vorzeichen der Funktion.

Der Graph der Funktion schneidet die Achse nicht.

Mit der Intervallmethode ermitteln wir die Vorzeichen:

, Wenn ;
, Wenn .

Die Ergebnisse dieses Punktes stimmen voll und ganz mit Schlussfolgerung Nr. 1 überein. Schauen Sie sich nach jeder Phase den Entwurf an, überprüfen Sie die Recherche gedanklich und vervollständigen Sie den Funktionsgraphen.

Im betrachteten Beispiel wird der Zähler Term für Term durch den Nenner dividiert, was der Differenzierung sehr zuträglich ist:

Tatsächlich wurde dies bereits beim Finden von Asymptoten getan.

- kritischer Punkt.

Definieren wir die Zeichen:

erhöht sich um und verringert sich um

An dem Punkt erreicht die Funktion ein Minimum: .

Auch zu Schlussfolgerung Nr. 2 gab es keine Unstimmigkeiten und höchstwahrscheinlich sind wir auf dem richtigen Weg.

Dies bedeutet, dass der Graph der Funktion im gesamten Definitionsbereich konkav ist.

Großartig – und Sie müssen nichts zeichnen.

Es gibt keine Wendepunkte.

Die Konkavität steht im Einklang mit Schlussfolgerung Nr. 3 und weist außerdem darauf hin, dass sich der Graph der Funktion im Unendlichen (sowohl dort als auch dort) befindet höher seine schräge Asymptote.

6) Wir werden die Aufgabe gewissenhaft mit Zusatzpunkten versehen. Hier müssen wir hart arbeiten, da wir aus der Recherche nur zwei Punkte kennen.

Und ein Bild, das sich viele Menschen wahrscheinlich schon vor langer Zeit ausgemalt haben:

Bei der Ausführung der Aufgabe müssen Sie sorgfältig darauf achten, dass es keine Widersprüche zwischen den Phasen der Recherche gibt, aber manchmal ist die Situation dringend oder endet sogar verzweifelt in einer Sackgasse. Die Analysen „stimmen nicht überein“ – das ist alles. In diesem Fall empfehle ich eine Notfalltechnik: Wir finden so viele Punkte wie möglich, die zum Diagramm gehören (so viel Geduld wir haben), und markieren sie auf der Koordinatenebene. Eine grafische Analyse der gefundenen Werte verrät Ihnen in den meisten Fällen, wo wahr und wo falsch ist. Darüber hinaus kann das Diagramm mit einem Programm, beispielsweise in Excel, vorab erstellt werden (dies erfordert natürlich Kenntnisse).

Beispiel 4

Verwenden Sie Methoden der Differentialrechnung, um eine Funktion zu untersuchen und ihren Graphen zu erstellen.

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Darin wird die Selbstkontrolle durch die Parität der Funktion verbessert – der Graph ist symmetrisch um die Achse, und wenn in Ihrer Forschung etwas dieser Tatsache widerspricht, suchen Sie nach einem Fehler.

Eine gerade oder ungerade Funktion kann nur untersucht werden, indem die Symmetrie des Diagramms verwendet wird. Diese Lösung ist optimal, sieht aber meiner Meinung nach sehr ungewöhnlich aus. Persönlich schaue ich mir den gesamten Zahlenstrahl an, finde aber trotzdem nur auf der rechten Seite zusätzliche Punkte:

Beispiel 5

Führen Sie eine vollständige Untersuchung der Funktion durch und erstellen Sie ihren Graphen.

Lösung: Es wurde schwierig:

1) Die Funktion ist auf dem gesamten Zahlenstrahl definiert und stetig: .

Dies bedeutet, dass diese Funktion ungerade ist, ihr Graph ist symmetrisch zum Ursprung.

Es ist offensichtlich, dass die Funktion nichtperiodisch ist.

2) Asymptoten, das Verhalten einer Funktion im Unendlichen.

Da die Funktion auf stetig ist, gibt es keine vertikalen Asymptoten

Für eine Funktion, die einen Exponenten enthält, ist dies typisch separate Beim Studium von „Plus“ und „Minus der Unendlichkeit“ wird unser Leben jedoch durch die Symmetrie des Graphen erleichtert – entweder gibt es sowohl links als auch rechts eine Asymptote, oder es gibt keine. Daher können beide unendlichen Grenzwerte unter einem einzigen Eintrag geschrieben werden. Während der Lösung verwenden wir Die Herrschaft von L'Hopital:

Die gerade Linie (Achse) ist die horizontale Asymptote des Diagramms bei .

Bitte beachten Sie, wie ich geschickt den vollständigen Algorithmus zum Finden der schrägen Asymptote vermieden habe: Der Grenzwert ist völlig zulässig und verdeutlicht das Verhalten der Funktion im Unendlichen, und die horizontale Asymptote wurde „als ob zur gleichen Zeit“ entdeckt.

Aus der Stetigkeit und der Existenz einer horizontalen Asymptote folgt, dass die Funktion von oben begrenzt Und nach unten begrenzt.

3) Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen, Intervalle mit konstantem Vorzeichen.

Auch hier kürzen wir die Lösung:
Der Graph verläuft durch den Ursprung.

Es gibt keine weiteren Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Darüber hinaus sind die Intervalle der Vorzeichenkonstanz offensichtlich und die Achse muss nicht gezeichnet werden: , was bedeutet, dass das Vorzeichen der Funktion nur von „x“ abhängt:
, Wenn ;
, Wenn .

4) Zunehmende, abnehmende Extrema der Funktion.


- kritische Punkte.

Die Punkte sind symmetrisch um Null, wie es sein sollte.

Bestimmen wir die Vorzeichen der Ableitung:


Die Funktion nimmt in jedem Intervall zu und in jedem Intervall ab

An dem Punkt erreicht die Funktion ihr Maximum: .

Aufgrund der Immobilie (die Kuriosität der Funktion) Das Minimum muss nicht berechnet werden:

Da die Funktion über das Intervall abnimmt, liegt der Graph offensichtlich bei „minus unendlich“. unter seine Asymptote. Über das Intervall nimmt die Funktion ebenfalls ab, hier ist jedoch das Gegenteil der Fall: Nach dem Durchlaufen des Maximalpunkts nähert sich die Linie der Achse von oben.

Aus dem oben Gesagten folgt auch, dass der Graph der Funktion bei „minus unendlich“ konvex und bei „plus unendlich“ konkav ist.

Nach diesem Studienpunkt wurde der Bereich der Funktionswerte gezeichnet:

Wenn Sie irgendwelche Punkte missverstehen, empfehle ich Ihnen noch einmal dringend, Koordinatenachsen in Ihr Notizbuch zu zeichnen und mit einem Bleistift in der Hand jede Schlussfolgerung der Aufgabe noch einmal zu analysieren.

5) Konvexität, Konkavität, Knicke des Graphen.

- kritische Punkte.

Die Symmetrie der Punkte bleibt erhalten, und wir irren uns höchstwahrscheinlich nicht.

Definieren wir die Zeichen:


Der Graph der Funktion ist konvex und konkav auf .

Die Konvexität/Konkavität in den extremen Intervallen wurde bestätigt.

An allen kritischen Punkten gibt es Knicke im Diagramm. Lassen Sie uns die Ordinaten der Wendepunkte ermitteln und die Anzahl der Berechnungen erneut reduzieren, indem wir die Ungeradheit der Funktion verwenden: