Lekce "Funkce y=sinx, její vlastnosti a graf." Funkce y = sin x, y = cos x, y = mf(x), y = f(kx), y = tan x, y = ctg x Vlastnosti funkce y 1 sinx

V této lekci se podrobně podíváme na funkci y = sin x, její základní vlastnosti a graf. Na začátku lekce uvedeme definici goniometrické funkce y = sin t na kružnici souřadnic a uvažujeme graf funkce na kružnici a přímce. Ukažme si na grafu periodicitu této funkce a uvažujme hlavní vlastnosti funkce. Na konci lekce vyřešíme několik jednoduchých úloh pomocí grafu funkce a jejích vlastností.

Téma: Goniometrické funkce

Lekce: Funkce y=sinx, její základní vlastnosti a graf

Při zvažování funkce je důležité přiřadit každou hodnotu argumentu k jedné hodnotě funkce. Tento právo korespondence a nazývá se funkce.

Definujme korespondenční zákon pro .

Každému reálnému číslu odpovídá jeden bod na jednotkové kružnici Bod má jedinou pořadnici, která se nazývá sinus čísla (obr. 1).

Každá hodnota argumentu je spojena s jednou hodnotou funkce.

Z definice sinusu vyplývají zřejmé vlastnosti.

Obrázek to ukazuje protože je ordináta bodu na jednotkové kružnici.

Zvažte graf funkce. Připomeňme si geometrický výklad argumentu. Argumentem je středový úhel měřený v radiánech. Podél osy vyneseme reálná čísla nebo úhly v radiánech, podél osy odpovídající hodnoty funkce.

Například úhel na jednotkové kružnici odpovídá bodu na grafu (obr. 2)

Získali jsme graf funkce v oblasti, ale při znalosti periody sinu můžeme zobrazit graf funkce přes celý definiční obor (obr. 3).

Hlavní perioda funkce je To znamená, že graf lze získat na segmentu a poté pokračovat v celé definiční oblasti.

Zvažte vlastnosti funkce:

1) Rozsah definice:

2) Rozsah hodnot:

3) Lichá funkce:

4) Nejmenší kladné období:

5) Souřadnice průsečíků grafu s osou úsečky:

6) Souřadnice průsečíku grafu se souřadnicovou osou:

7) Intervaly, ve kterých funkce nabývá kladných hodnot:

8) Intervaly, ve kterých funkce nabývá záporných hodnot:

9) Prodlužování intervalů:

10) Zkracovací intervaly:

11) Minimální počet bodů:

12) Minimální funkce:

13) Maximální počet bodů:

14) Maximální funkce:

Podívali jsme se na vlastnosti funkce a její graf. Vlastnosti budou opakovaně použity při řešení problémů.

Bibliografie

1. Algebra a začátek analýzy, ročník 10 (ve dvou částech). Učebnice pro všeobecně vzdělávací instituce (profilová úroveň), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra a začátek analýzy, ročník 10 (ve dvou částech). Kniha problémů pro vzdělávací instituce (úroveň profilu), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra a matematická analýza pro 10. ročník (učebnice pro studenty škol a tříd s pokročilým studiem matematiky - M.: Prosveshchenie, 1996).

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartburd S.I. Hloubkové studium algebry a matematické analýzy.-M.: Education, 1997.

5. Sbírka úloh z matematiky pro uchazeče o studium na vysokých školách (editoval M.I. Skanavi - M.: Higher School, 1992).

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraický simulátor.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problémy z algebry a principů analýzy (příručka pro studenty 10.-11. ročníku všeobecně vzdělávacích institucí - M.: Prosveshchenie, 2003).

8. Karp A.P. Sbírka úloh z algebry a principů analýzy: učebnice. příspěvek pro 10-11 ročníků. s hloubkou studoval Matematika.-M.: Vzdělávání, 2006.

Domácí práce

Algebra a začátek analýzy, ročník 10 (ve dvou částech). Kniha problémů pro vzdělávací instituce (úroveň profilu), ed.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Další webové zdroje

3. Vzdělávací portál pro přípravu na zkoušky ().

Funkcey = hříchX

Grafem funkce je sinusoida.

Kompletní neopakující se část sinusovky se nazývá sinusovka.

Poloviční sinusovka se nazývá poloviční sinusovka (nebo oblouk).

Vlastnosti funkcey = hříchX:

Chcete-li zobrazit graf funkce y= hřích X Je vhodné použít následující váhy:

Na listu papíru se čtvercem bereme délku dvou čtverců jako jednotku segmentu.

Na ose X Změřme délku π. Zároveň pro usnadnění uvádíme 3,14 ve tvaru 3 – tedy bez zlomku. Pak na listu papíru v buňce π bude 6 buněk (třikrát 2 buňky). A každá buňka dostane své vlastní přirozené jméno (od první do šesté): π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Toto jsou významy X.

Na ose y označíme 1, která zahrnuje dvě buňky.

Vytvořme tabulku hodnot funkcí pomocí našich hodnot X:

Dále vytvoříme rozvrh. Výsledkem je půlvlna, jejíž nejvyšší bod je (π/2; 1). Toto je graf funkce y= hřích X na segmentu. Doplníme do sestrojeného grafu symetrickou půlvlnu (symetrickou vzhledem k počátku, tedy na úsečce -π). Hřeben této půlvlny je pod osou x se souřadnicemi (-1; -1). Výsledkem bude vlna. Toto je graf funkce y= hřích X na segmentu [-π; π].

Ve vlně můžete pokračovat tak, že ji zkonstruujete na segmentu [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π] atd. Na všech těchto segmentech bude graf funkce vypadat stejně jako na segmentu [-π; π]. Získáte souvislou vlnovku s identickými vlnami.

Funkcey = cosX.

Grafem funkce je sinusová vlna (někdy nazývaná kosinusová vlna).

Vlastnosti funkcey = cosX:

Funkcey = mf(X).

Vezměme si předchozí funkci y= cos X. Jak již víte, jeho graf je sinusovka. Pokud vynásobíme kosinus této funkce určitým číslem m, pak se vlna bude rozpínat od osy X(nebo se zmenší, v závislosti na hodnotě m).
Tato nová vlna bude grafem funkce y = mf(x), kde m je libovolné reálné číslo.

Funkce y = mf(x) je tedy známá funkce y = f(x) vynásobená m.

Lim< 1, то синусоида сжимается к оси X podle koeficientum Lim > 1, pak se sinusoida natáhne od osyX podle koeficientum

Při provádění protahování nebo komprese můžete nejprve vykreslit pouze jednu půlvlnu sinusovky a poté dokončit celý graf.

Funkcey= F(kx).

Pokud je funkce y=mf(X) vede k protažení sinusoidy od os X nebo stlačení směrem k ose X, pak funkce y = f(kx) vede k protažení od osy y nebo stlačení směrem k ose y.

Navíc k je libovolné reálné číslo.

V 0< k< 1 синусоида растягивается от оси y podle koeficientuk. Lik > 1, pak je sinusoida stlačena směrem k osey podle koeficientuk.

Při sestavování grafu této funkce můžete nejprve sestavit jednu půlvlnu sinusovky a poté ji použít k dokončení celého grafu.

Funkcey = tgX.

Funkční graf y= tg X je tečna.

Stačí sestrojit část grafu v intervalu od 0 do π/2 a pak v něm můžete symetricky pokračovat v intervalu od 0 do 3π/2.

Vlastnosti funkcey = tgX:

Funkcey = ctgX

Funkční graf y=ctg X je také tangentoid (někdy se mu říká kotangentoid).

Vlastnosti funkcey = ctgX:

|BD|- délka oblouku kružnice se středem v bodě A.
α - úhel vyjádřený v radiánech.

Sinus ( hřích α) je goniometrická funkce závislá na úhlu α mezi přeponou a ramenem pravoúhlého trojúhelníku, který se rovná poměru délky protějšího ramene |BC| na délku přepony |AC|.
kosinus ( cos α) je goniometrická funkce závislá na úhlu α mezi přeponou a ramenem pravoúhlého trojúhelníku, který se rovná poměru délky sousedního ramene |AB| na délku přepony |AC|.

Přijímané notace

;
;
.

;
;
.

Graf funkce sinus, y = sin x

Graf funkce kosinus, y = cos x

Vlastnosti sinu a kosinu

Periodicita

Funkce y = hřích x a y = cos x periodický s tečkou 2π.

Parita

Funkce sinus je lichá. Funkce kosinus je sudá.

Oblast definice a hodnot, extrémy, nárůst, pokles

Funkce sinus a kosinus jsou spojité ve svém oboru definice, tedy pro všechna x (viz důkaz spojitosti). Jejich hlavní vlastnosti jsou uvedeny v tabulce (n - celé číslo).

Základní vzorce

Součet druhých mocnin sinus a kosinus

Vzorce pro sinus a kosinus ze součtu a rozdílu

;
;

Vzorce pro součin sinů a kosinus

Součtové a rozdílové vzorce

Vyjádření sinus přes kosinus

;
;
;
.

Vyjádření kosinu přes sinus

;
;
;
.

Vyjádření prostřednictvím tečny

; .

Kdy máme:
; .

Na :
; .

Tabulka sinů a kosinů, tečen a kotangens

Tato tabulka ukazuje hodnoty sinů a kosinus pro určité hodnoty argumentu.

Vyjádření prostřednictvím komplexních proměnných

;

Eulerův vzorec

Výrazy prostřednictvím hyperbolických funkcí

;
;

Deriváty

; . Odvozování vzorců >> >

Deriváty n-tého řádu:
{ -∞ < x < +∞ }

Sekant, kosekant

Inverzní funkce

Inverzní funkce sinus a kosinus jsou arcsinus a arkkosinus.

Arcsine, arcsin

Arccosine, arccos

Reference:
V. Bronstein, K.A. Semendyaev, Příručka matematiky pro inženýry a vysokoškolské studenty, „Lan“, 2009.

, Soutěž "Prezentace k lekci"

Prezentace na lekci

Zpět dopředu

Pozornost! Náhledy snímků mají pouze informativní charakter a nemusí představovat všechny funkce prezentace. Pokud vás tato práce zaujala, stáhněte si prosím plnou verzi.

Železo rezaví, aniž by našlo využití,
stojatá voda hnije nebo mrazem zamrzá,
a lidská mysl, která pro sebe nenachází žádné využití, chřadne.
Leonardo da Vinci

Použité technologie: problémové učení, kritické myšlení, komunikativní komunikace.

cíle:

• Rozvoj kognitivního zájmu o učení.
• Studium vlastností funkce y = sin x.
• Formování praktických dovedností při sestrojování grafu funkce y = sin x na základě probraného teoretického materiálu.

úkoly:

1. Využijte stávající potenciál znalostí o vlastnostech funkce y = sin x v konkrétních situacích.

2. Aplikujte vědomé vytváření souvislostí mezi analytickým a geometrickým modelem funkce y = sin x.

Rozvíjet iniciativu, určitou ochotu a zájem hledat řešení; schopnost rozhodovat se, nezastavovat se u toho a bránit svůj názor.

Pěstovat u studentů kognitivní aktivitu, smysl pro zodpovědnost, respekt jeden k druhému, vzájemné porozumění, vzájemnou podporu a sebedůvěru; kultura komunikace.

Během vyučování

Fáze 1. Aktualizace základních znalostí, motivace k učení nové látky

"Vstup do lekce."

Na tabuli jsou napsána 3 prohlášení:

1. Goniometrická rovnice sin t = a má vždy řešení.
2. Graf liché funkce lze sestrojit pomocí symetrické transformace kolem osy Oy.
3. Goniometrickou funkci lze vykreslit pomocí jedné hlavní půlvlny.

Studenti diskutují ve dvojicích: jsou tvrzení pravdivá? (1 minuta). Výsledky úvodní diskuse (ano, ne) se pak zapíší do tabulky ve sloupci „Před“.

Učitel stanoví cíle a cíle lekce.

2. Aktualizace znalostí (frontálně na modelu trigonometrické kružnice).

S funkcí s = sin t jsme se již seznámili.

1) Jaké hodnoty může nabývat proměnná t. Jaký je rozsah této funkce?

2) V jakém intervalu jsou obsaženy hodnoty výrazu sin t? Najděte největší a nejmenší hodnotu funkce s = sin t.

3) Řešte rovnici sin t = 0.

4) Co se stane s pořadnicí bodu, když se pohybuje po první čtvrtině? (souřadnice se zvětšuje). Co se stane s pořadnicí bodu, když se pohybuje ve druhé čtvrtině? (ordináta postupně klesá). Jak to souvisí s monotónností funkce? (funkce s = sin t na segmentu roste a na segmentu klesá ).

5) Zapišme si funkci s = sin t v nám známém tvaru y = sin x (zkonstruujeme ji v obvyklém souřadném systému xOy) a sestavíme tabulku hodnot této funkce.

Fáze 2. Vnímání, porozumění, primární upevnění, mimovolní zapamatování

Fáze 4. Primární systematizace znalostí a metod činnosti, jejich přenos a aplikace v nových situacích

6. Ne. 10.18 (b,c)

Fáze 5. Závěrečná kontrola, oprava, hodnocení a sebehodnocení

7. Vrátíme se k výrokům (začátek lekce), diskutujeme pomocí vlastností goniometrické funkce y = sin x a vyplníme sloupec „Po“ v tabulce.

8. D/z: bod 10, č. 10.7(a), 10.8(b), 10.11(b), 10.16(a)

V této lekci se podrobně podíváme na funkci y = sin x, její základní vlastnosti a graf. Na začátku lekce uvedeme definici goniometrické funkce y = sin t na kružnici souřadnic a uvažujeme graf funkce na kružnici a přímce. Ukažme si na grafu periodicitu této funkce a uvažujme hlavní vlastnosti funkce. Na konci lekce vyřešíme několik jednoduchých úloh pomocí grafu funkce a jejích vlastností.

Téma: Goniometrické funkce

Lekce: Funkce y=sinx, její základní vlastnosti a graf

Při zvažování funkce je důležité přiřadit každou hodnotu argumentu k jedné hodnotě funkce. Tento právo korespondence a nazývá se funkce.

Definujme korespondenční zákon pro .

Každému reálnému číslu odpovídá jeden bod na jednotkové kružnici Bod má jedinou pořadnici, která se nazývá sinus čísla (obr. 1).

Každá hodnota argumentu je spojena s jednou hodnotou funkce.

Z definice sinusu vyplývají zřejmé vlastnosti.

Obrázek to ukazuje protože je ordináta bodu na jednotkové kružnici.

Zvažte graf funkce. Připomeňme si geometrický výklad argumentu. Argumentem je středový úhel měřený v radiánech. Podél osy vyneseme reálná čísla nebo úhly v radiánech, podél osy odpovídající hodnoty funkce.

Například úhel na jednotkové kružnici odpovídá bodu na grafu (obr. 2)

Získali jsme graf funkce v oblasti, ale při znalosti periody sinu můžeme zobrazit graf funkce přes celý definiční obor (obr. 3).

Hlavní perioda funkce je To znamená, že graf lze získat na segmentu a poté pokračovat v celé definiční oblasti.

Zvažte vlastnosti funkce:

1) Rozsah definice:

2) Rozsah hodnot:

3) Lichá funkce:

4) Nejmenší kladné období:

5) Souřadnice průsečíků grafu s osou úsečky:

6) Souřadnice průsečíku grafu se souřadnicovou osou:

7) Intervaly, ve kterých funkce nabývá kladných hodnot:

8) Intervaly, ve kterých funkce nabývá záporných hodnot:

9) Prodlužování intervalů:

10) Zkracovací intervaly:

11) Minimální počet bodů:

12) Minimální funkce:

13) Maximální počet bodů:

14) Maximální funkce:

Podívali jsme se na vlastnosti funkce a její graf. Vlastnosti budou opakovaně použity při řešení problémů.

Bibliografie

1. Algebra a začátek analýzy, ročník 10 (ve dvou částech). Učebnice pro všeobecně vzdělávací instituce (profilová úroveň), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra a začátek analýzy, ročník 10 (ve dvou částech). Kniha problémů pro vzdělávací instituce (úroveň profilu), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra a matematická analýza pro 10. ročník (učebnice pro studenty škol a tříd s pokročilým studiem matematiky - M.: Prosveshchenie, 1996).

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartburd S.I. Hloubkové studium algebry a matematické analýzy.-M.: Education, 1997.

5. Sbírka úloh z matematiky pro uchazeče o studium na vysokých školách (editoval M.I. Skanavi - M.: Higher School, 1992).

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraický simulátor.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problémy z algebry a principů analýzy (příručka pro studenty 10.-11. ročníku všeobecně vzdělávacích institucí - M.: Prosveshchenie, 2003).

8. Karp A.P. Sbírka úloh z algebry a principů analýzy: učebnice. příspěvek pro 10-11 ročníků. s hloubkou studoval Matematika.-M.: Vzdělávání, 2006.

Domácí práce

Algebra a začátek analýzy, ročník 10 (ve dvou částech). Kniha problémů pro vzdělávací instituce (úroveň profilu), ed.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Další webové zdroje

3. Vzdělávací portál pro přípravu na zkoušky ().