Vzorec schématu rozdílu třetího řádu. Numerické metody řešení parciálních diferenciálních rovnic hyperbolického typu (na příkladu transportní rovnice). Formulace problému. Algoritmus metody

Mřížka a šablona. U většiny rozdílových schémat leží uzly mřížky v průsečíku některých přímek (ve vícerozměrných úlohách - nadrovinách), nakreslených buď v přirozeném souřadnicovém systému nebo v oblasti speciálně vybraného tvaru. G.

Pokud má jedna z proměnných fyzikální význam času t, pak je mřížka obvykle konstruována tak, že mezi jejími čarami (nebo nadrovinami) jsou úsečky t = t m. Sada uzlů mřížky ležící na takové přímce nebo nadrovině se nazývá vrstva.

Na každé vrstvě jsou identifikovány směry, podél kterých se mění pouze jedna prostorová souřadnice. Například pro proměnné X, y, t existují směry X (t = konst, y = konst) a směr y (t = konst, X = konst).

Při sestavování diferenčních schémat (26.2) a (26.4) jsme použili stejný typ diferenční aproximace derivací ve všech vnitřních uzlech regionu. Jinými slovy, při psaní každé diferenční rovnice kolem určitého uzlu mřížky byl vzat stejný počet uzlů tvořících přesně definovanou konfiguraci, kterou jsme nazvali šablonou tohoto diferenčního schématu (viz obr. 26.2).

Definice. Uzly, ve kterých je na šabloně zapsáno rozdílové schéma, se nazývají pravidelné a ostatní se nazývají nepravidelné.

Nepravidelné jsou obvykle hraniční uzly a někdy také uzly ležící blízko hranice (tak, že vzor zachycený v blízkosti tohoto uzlu přesahuje hranici oblasti).

Vypracování rozdílového schématu začíná výběrem šablony. Šablona nedefinuje rozdílové schéma vždy jednoznačně, ale výrazně ovlivňuje jeho vlastnosti; například později uvidíme, že v šabloně obr. 26.2 b není možné vytvořit dobré diferenční schéma pro problém vedení tepla (26.1). Každý typ rovnic a okrajových úloh vyžaduje vlastní šablonu.

Explicitní a implicitní rozdílová schémata

Pojďme diskutovat o problému skutečného výpočtu rozdílového řešení. Většina fyzikálních problémů vede k rovnicím obsahujícím čas jako jednu z proměnných. Pro takové rovnice se obvykle klade smíšený okrajový problém, jehož typickým případem je problém vedení tepla (26.1).

Pro takové problémy se používá výpočetní algoritmus vrstva po vrstvě. Uvažujme to na příkladu schémat (26.2) a (26.4).

Ve schématu (26.4) na původní vrstvě m= 0 řešení je známé díky počáteční podmínce. Položme m= 0 v rovnicích (26.4). Potom pro každou hodnotu indexu n rovnice obsahuje jednu neznámou ; odtud můžeme určit na
Hodnoty A jsou určeny okrajovými podmínkami (26.3). Vypočítají se tedy hodnoty v první vrstvě. Pomocí nich se podobným způsobem vypočítá řešení na druhé vrstvě atd.

Schéma (26.4) v každé rovnici obsahuje pouze jednu hodnotu funkce na další vrstvě; tuto hodnotu lze snadno vyjádřit explicitně prostřednictvím známých hodnot funkce na původní vrstvě, proto se taková schémata nazývají explicitní.

Schéma (26.2) obsahuje v každé rovnici několik neznámých hodnot funkce na nové vrstvě; Taková schémata se nazývají implicitní. Abychom skutečně vypočítali řešení, přepíšeme schéma (26.2) s ohledem na okrajovou podmínku (26.3) do následujícího tvaru

(26.5)

V každé vrstvě je schéma (26.5) soustavou lineárních rovnic pro určování veličin
; pravé strany těchto rovnic jsou známé, protože obsahují hodnoty řešení z předchozí vrstvy. Matice lineárního systému je tridiagonální a řešení lze vypočítat algebraickým rozmítáním.

Algoritmus, o kterém se nyní uvažuje, je zcela typický. Používá se v mnoha implicitních diferenčních schématech pro jednorozměrné a vícerozměrné problémy. Dále místo indexu uděláme mčasto používat zkratky

V tomto zápisu mají explicitní a implicitní rozdílová schémata následující formu:

Reziduální. Uvažujme operátorovou diferenciální rovnici obecného tvaru (ne nutně lineární)

Au = F nebo Au – F = 0.

Výměna operátora A rozdílový operátor A h, pravá strana F– nějaká funkce mřížky a přesné řešení u– rozdílové řešení y, napíšeme rozdílové schéma

nebo
. (26.6)

Pokud dosadíme přesné řešení u do vztahu (26.6), pak řešení, obecně řečeno, tento vztah nesplňuje
. Velikost

nazývaný zbytkový.

Zbytek se obvykle odhaduje pomocí rozšíření Taylorovy řady. Například najdeme zbytek explicitního diferenčního schématu (26.4) pro rovnici tepla (26.1a). Zapišme tuto rovnici v kanonickém tvaru

Protože v tomto případě
Že

Rozšiřme řešení pomocí Taylorova vzorce poblíž uzlu ( X n , t m), za předpokladu existence spojitých čtvrtých derivací vzhledem k X a druhý v t

(26.7)

Kde

Dosazením těchto expanzí do vyjádření rezidua a zanedbáním, kvůli spojitosti derivací, rozdílu v množství
z ( X n , t m) najdeme

(26.8)

Nesoulad (26.8) má tedy tendenci k nule
A
Blízkost diferenčního schématu k původnímu problému je určena velikostí rezidua. Pokud nesoulad směřuje k nule při h A inklinující k nule, pak říkáme, že takové rozdílové schéma aproximuje diferenciální problém. Přiblížení má Rřádu pokud
.

Výraz (26.8) udává nesrovnalost pouze v pravidelných uzlech mřížky. Porovnáním (26.3) a (26.1b) můžeme snadno najít nesrovnalost v nepravidelných uzlech

Poznámka 1.Řešení úlohy vedení tepla s konstantním součinitelem (26.1) v oblasti je spojitě diferencovatelné nekonečněkrát. Avšak zohlednění páté nebo více derivací v expanzi Taylorovy řady (26.7) přidá k reziduálnímu (26.8) pouze členy vyššího řádu malosti v A h, tj. v podstatě nezmění typ rezidua.

Poznámka 2 Nechť je z nějakého důvodu řešení původního problému několikrát diferencovatelné; například v problémech s proměnným koeficientem tepelné vodivosti, který je hladký, ale nemá druhou derivaci, má řešení pouze třetí spojité derivace. Pak v rozšíření Taylorovy řady (26.7) budou poslední členy
se navzájem přesně nekompenzují. To povede k tomu, že se ve zbytku (26.8) objeví termín daného typu
těch. nesoulad bude řádově menší než u čtyřnásobně spojitě diferencovatelných řešení.

Poznámka 3. Po transformaci zbytkového výrazu s ohledem na skutečnost, že funkce v něm zahrnuta u(X,t) je přesné řešení původní rovnice a vztahy jsou pro něj splněny

Dosazením tohoto výrazu do (26.8) dostaneme

Zvolíme-li kroky v prostoru a čase tak, že
pak vedoucí člen rezidua zmizí a zůstanou pouze členy vyššího řádu malosti A h(které jsme vynechali). Tato technika se používá při konstrukci diferenčních schémat se zvýšenou přesností.

Courant-Isakson-Ries schéma(KIR), který je někdy spojován také se jménem S.K. Godunove, ukázalo se, že když, . Jeho řád aproximace je . Schéma KIR je podmíněně stabilní, tzn. když je splněna podmínka Courant . Uveďme diferenční rovnice pro Courant-Isakson-Riesovo schéma ve vnitřních bodech výpočetní oblasti:

Tato schémata, nazývaná také schéma s rozdíly proti větru (v anglické literatuře - proti větru), lze zapsat ve formě

Jejich výhodou je přesnější zohlednění oblasti závislosti řešení. Zavedeme-li notaci

pak lze obě schémata zapsat v následujících tvarech:

(průtokový tvar diferenční rovnice);

(zde je výraz s druhým rozdílem jasně zvýrazněn, což dává schématu stabilitu);

(rovnice v konečných přírůstcích).

Uvažujme také metoda nejistých koeficientů k sestavení diferenčního schématu, pravého rohu prvního řádu přesnosti pro transportní rovnici

Schéma může být reprezentováno ve formě

Schéma Courant-Isakson-Rees úzce souvisí s numerickými metodami charakteristik. Uveďme stručný popis myšlenky takových metod.

Poslední dvě získaná schémata (s různými znaménky přenosové rychlosti) lze interpretovat následovně. Sestrojme charakteristiku procházející uzlem (t n + 1, x m), jejíž hodnotu je třeba určit, a protínající vrstvu t n v bodě . Pro jistotu předpokládáme, že přenosová rychlost c je kladná.

Provedením lineární interpolace mezi uzly x m - 1 a x m na spodní vrstvě v čase získáme

Dále přeneseme hodnotu u n (x") podél charakteristiky beze změny na horní vrstvu t n + 1, tj. . Je přirozené považovat poslední hodnotu za přibližné řešení homogenní rovnice převod. V tomto případě

nebo přechodem z čísla Courant znovu na parametry mřížky,

těch. jinou metodou jsme dospěli k již známému schématu „levý roh“, stabilní pro . Když se průsečík charakteristiky opouštějící uzel (t n + 1, x m, s n-tou vrstvou v čase nachází nalevo od uzlu (t n, x m - 1). Abychom našli řešení, již není interpolace, ale extrapolace, která se ukazuje jako nestabilní .

Nestabilita schématu „pravého rohu“ pro c > 0 je také zřejmá. K prokázání toho lze použít buď spektrální rys nebo podmínku Courant, Friedrichs a Levy. Podobné úvahy lze provést pro případ c< 0 и схемы "правый уголок".

Nestabilní čtyřbodový okruh ukáže se, kdy , jeho řád přiblížení. Mřížkové rovnice pro diferenční schéma budou mít následující tvar:

Lax-Wendroffovo schéma nastane, když . Pořadí aproximace Lax-Wendroffova schématu je . Schéma je stabilní za podmínek Courant .

Toto schéma lze získat buď metodou neurčitých koeficientů, nebo přesnějším zohledněním vedoucího členu aproximační chyby. Podívejme se podrobněji na proces odvození Lax-Wendroffova schématu. Provedením studie předchozího čtyřbodového schématu pro aproximaci (a studie je zcela elementární a směřuje k rozšíření funkce promítání na mřížku přesného řešení diferenciálního problému v Taylorově řadě) získáme pro hlavní termín chyby

Při odvození výrazu pro hlavní člen aproximační chyby byl použit důsledek původní diferenciální transportní rovnice

Což získáme derivací původní rovnice (3.3) nejprve vzhledem k času t, poté vzhledem k souřadnici x a odečtením jednoho z výsledných vztahů od druhého.

Dále výměna druhá derivace ve druhém členu na pravé straně s přesností O(h 2) získáme nové diferenční schéma, které aproximuje původní diferenciální rovnice s přesností . Mřížkové rovnice pro Lax-Wendroffovo schéma ve vnitřních uzlech výpočtových sítí jsou

Implicitní šestibodové schéma vyskytuje se při q = 0; kdy je jeho řád přiblížení , na .

Příklad 1. Diferenční schéma Poissonovy rovnice eliptického typu.

Uvažujme konstrukci diferenčního schématu pro první okrajovou úlohu pro rovnici A u = f(x,y) v oblasti, která je obdélníkem se stranami rovnoběžnými se souřadnicovými osami. Nechť je tento obdélník spojen s jednotnou mřížkou s kroky h x A h y .

Hraniční problém

lze zapsat ve tvaru operátora:

Všimněte si, že tato položka také zahrnuje okrajové podmínky.

Nahrazením diferenciálních operátorů diferenčními operátory získáme rovnice

které aproximují původní diferenciální rovnici s druhým řádem 0 (h 2 + h 2) přesnost a provoz na všech vnitřních bodech regionu.

Diferenční analogy okrajových podmínek budou mít tvar

Diferenční aproximace diferenciální rovnice spolu s diferenčními analogy okrajových podmínek tvoří diferenční schéma pro Poissonovu rovnici.

Analogicky k problému okrajových hodnot lze schéma rozdílu zapsat ve formě operátoru:

kde v L/ jsou zahrnuty jak diferenční rovnice, tak diferenční okrajová podmínka:

Diferenční rovnice vztahuje hodnoty funkce mřížky v pěti tvořících se bodech rozdílový vzor pro tuto rovnici. Pro tento případ se tento vzor nazývá přejít. Pro tuto rovnici si můžeme představit jiné vzory.

Přibližné řešení problému diferenciálních okrajových hodnot získáme, pokud určíme hodnoty mřížkové funkce ve všech vnitřních uzlech domény. K tomu je třeba společně vyřešit soustavu algebraických lineárních rovnic, jejichž rozměr je roven počtu vnitřních uzlů oblasti. V tomto případě mluvíme o implicitním diferenčním schématu. Jakákoli hodnota, která nás zajímá Uij lze určit pouze z řešení celé diferenční úlohy.

Pokud jde o soustavu rovnic, zaznamenáváme dvě okolnosti.

• 1. Systém má velmi vysoký rozměr (M - 1) x (N- 1) a tradiční metody exaktního řešení (například Gaussova metoda) vyžadují k řešení řadu algebraických operací úměrných třetí mocnině dimenze soustavy.
• 2. Systémová matice má mnoho nulových prvků (volná matice). Tato okolnost umožňuje vyvinout ekonomické metody pro přibližná řešení.

Uvažovaná formulace diferenční úlohy je typická pro eliptické rovnice. V dynamice plynů je to tvar rovnice pro proudovou funkci nebo pro rychlostní potenciál. V dalších částech se podíváme na účinné metody řešení takových rozdílových schémat.

Rýže. 2.8.

PRI M 2. Diferenční schéma pro nejjednodušší parabolickou rovnici (nestacionární tepelná vodivost v tyči jednotkové délky).

Zvažte následující problém:

Všimněme si, že v případě parabolické rovnice máme otevřenou oblast. Při konstrukci diferenčního schématu vzniká několik možností pro spojení mezi diferenčními derivacemi v prostoru a čase.

Pojďme rovnici integrovat do jednoho časového kroku:

Podle toho, jaký kvadraturní vzorec použijeme pro výpočet integrálu na pravé straně, získáme různá diferenční schémata (obr. 2.9).

Vztažením rozdílové časové derivace k prostorové derivaci definované na P dostaneme -tou časovou vrstvu

explicitní „diferenční schéma“

To je ekvivalentní přibližnému výpočtu integrálu na pravé straně (2.12), ale pomocí metody levých obdélníků.

Rýže. 2.9. Mřížka a šablony pro rovnici tepla: A - plocha a mřížka; b- explicitní šablona schématu; PROTI- implicitní šablona schématu; G- šablona rodiny šestibodových obvodů; d- šablona diagramu

"skákání přes kozu"

Výše uvedený vzorec také obsahuje metodu řešení mřížkových rovnic:

Hodnota funkce mřížky na další časové vrstvě

je určeno pomocí známých hodnot gf v předchozím. Postupně se přesouvá po vrstvách od počátečního stavu jejich, 0) = y(x),řešení lze nalézt v celé výpočetní oblasti. Rozdílový vzor pro toto schéma je znázorněn na obr. 2,9, b.

Odhad integrálu pomocí hodnoty integrandu na vrstvě P+ 1, použijeme rozdílovou šablonu jako Obr. 2.9, b, a diferenční analog diferenciální rovnice má tvar

Abychom našli hodnoty funkce mřížky na další časové vrstvě, je při použití tohoto rozdílového schématu nutné společně vyřešit tolik rovnic formuláře (2.14), na kolik je umístěno vnitřních uzlů. P - 1-1. provizorní vrstva. S přihlédnutím k okrajovým podmínkám = / n+1, Mg Г +1 = m n+1 nám systém umožňuje sestavit řešení na další časové vrstvě se známými hodnotami mřížkové funkce na předchozí. Přesunutím od počátečních hodnot po vrstvách, z nichž na každé je nutné vyřešit soustavu rovnic, je možné sestrojit přibližné řešení v celé doméně.

Uvažované rozdílové schéma je příkladem schéma implicitních rozdílů, nazývá se to dopředné schéma nebo čistě implicitní schéma.

Šestibodový rozdílový vzor generuje rodinu rozdílových schémat, z nichž předchozí dva jsou speciální případy:

Na a = 0 máme explicitní schéma, s a = já- implicitní s předstihem, s A> 0 - implicitní. Na A - 0,5 získáme symetrický, široce známý ve výpočetní praxi Crank Nicholsonův diagram.

Výše uvedená schémata samozřejmě nevyčerpávají celou škálu rozdílových schémat založených na rozdílové aproximaci diferenciálních operátorů. Zde je příklad explicitního rozdílového schématu založeného na centrování časové derivace, schéma využívající mřížkovou funkci na třech časových vrstvách:

Rozdílový vzor zachycuje tři časové vrstvy. Schéma má druhý řád aproximace jak v čase, tak v prostorové proměnné a je explicitní. Toto schéma má řadu významných nevýhod, z nichž většinu lze odstranit výměnou A” v aproximaci prostorové derivace průměrnou hodnotou ve dvou časových vrstvách:

Takto bylo získáno explicitní třívrstvé schéma

volal Schéma Dufortpe-Frankel a absence hodnoty funkce mřížky v centrálním uzlu vysvětluje název „skok“, který se někdy používá pro schémata tohoto druhu.

Na příkladech se ukázalo, že pro stejnou okrajovou úlohu je možné napsat více různých diferenčních schémat, tzn. Badatel má k dispozici poměrně velký výběr. Jaké podmínky musí splňovat diferenční schéma, aby diferenční řešení odpovídalo řešení původní diferenciální úlohy? Tato problematika bude probrána v další části.

Pomocí šablony pro každý vnitřní uzel oblasti řešení se aproximuje rovnice tepla

Odtud najdeme:

Pomocí počátečních a okrajových podmínek jsou hodnoty funkce mřížky nalezeny ve všech uzlech na nulové časové úrovni.

Potom pomocí vztahů

hodnoty těchto funkcí se nacházejí ve všech vnitřních uzlech na první časové úrovni, poté najdeme hodnotu na hraničních uzlech

V důsledku toho najdeme hodnotu vlastností ve všech uzlech na první časové úrovni. Poté pomocí těchto vztahů najdeme všechny ostatní hodnoty atd.

V uvažovaném diferenčním schématu je hodnota požadované funkce na další časové úrovni nalezena přímo, explicitně pomocí vzorce

Proto se nazývá rozdílové schéma uvažované pomocí tohoto vzoru explicitní rozdílové schéma . Jeho přesnost je řádově velká.

Toto rozdílové schéma se snadno používá, ale má významnou nevýhodu. Ukazuje se, že explicitní rozdíl schéma má stabilní řešení pouze v případě, pokud je podmínka splněna :

Explicitní rozdílové schéma je podmíněně stabilní . Pokud podmínka není splněna, pak malé chyby ve výpočtu, například ty spojené se zaokrouhlováním počítačových dat, vedou k prudké změně řešení. Řešení se stává nepoužitelným. Tato podmínka klade velmi přísná omezení na časový krok, což může být nepřijatelné z důvodu výrazného prodloužení doby výpočtu pro řešení tohoto problému.

Zvažte rozdílné schéma pomocí jiného vzoru

Metoda 36

Implicitní diferenční schéma pro rovnici tepla.

Dosadíme do rovnice tepelné vodivosti:

Tento vztah je zapsán pro každý vnitřní uzel na časové úrovni a je doplněn dvěma vztahy, které určují hodnoty na hraničních uzlech. Výsledkem je systém rovnic pro určení neznámých hodnot funkce na časové úrovni.

Schéma řešení problému je následující:

Pomocí počátečních a okrajových podmínek je hodnota funkce nalezena na nulové časové úrovni. Poté se pomocí těchto vztahů a okrajových podmínek zkonstruuje systém lineárních algebraických rovnic pro nalezení hodnoty funkce na první časové úrovni, načež se systém znovu sestaví pomocí těchto vztahů a najdou se hodnoty. na druhé časové úrovni atd.

Rozdíl od explicitního schématu- hodnoty na další časové úrovni se nepočítají přímo pomocí hotového vzorce, ale zjišťují se řešením soustavy rovnic, tzn. hodnoty neznámých jsou nalezeny implicitně řešením SLAE. Proto se rozdílové schéma nazývá implicitní. Na rozdíl od explicitního je implicitní absolutně stabilní.

Téma č. 9

Problémy s optimalizací.

Tyto problémy patří mezi nejdůležitější problémy v aplikované matematice. Optimalizace znamená výběr nejlepší možnosti ze všech možných řešení daného problému. K tomu je nutné formulovat řešený problém jako matematický a dát kvantitativní význam pojmům lepší nebo horší. Typicky je během procesu řešení nutné najít optimalizované hodnoty parametrů. Tyto parametry se nazývají design A určuje počet konstrukčních parametrů rozměr problému.

Kvantitativní posouzení řešení se provádí pomocí určité funkce v závislosti na parametrech návrhu. Tato funkce se nazývá cílová . Je konstruován tak, aby nejoptimálnější hodnota odpovídala maximu (minimu).

- Objektivní funkce.

Nejjednodušší případy jsou, kdy účelová funkce závisí na jednom parametru a je určena explicitním vzorcem. Cílových funkcí může být několik.

Například při návrhu letadla je nutné současně zajistit maximální spolehlivost, minimální hmotnost a náklady atd. V takových případech zadejte prioritní systém . Každé účelové funkci je přiřazen určitý cílový multiplikátor, jehož výsledkem je zobecněná účelová funkce (trade-off funkce).

Obvykle je optimální řešení limitováno řadou podmínek souvisejících s fyzikální funkcí problému. Tyto podmínky mohou být ve formě rovnosti nebo nerovnosti

Teorie a metody řešení optimalizačních problémů za přítomnosti omezení jsou předmětem výzkumu v jednom z odvětví aplikované matematiky - matematické programování.

Pokud je účelová funkce lineární s ohledem na parametry návrhu a omezení kladená na parametry jsou také lineární, pak problém lineárního programování . Zvažme metody řešení jednorozměrného optimalizačního problému.

Je nutné najít hodnoty, při kterých má účelová funkce maximální hodnotu. Pokud je účelová funkce specifikována analyticky a lze nalézt výraz pro její derivace, pak optimálního řešení dosáhneme buď na koncích úsečky, nebo v bodech, ve kterých derivace mizí. Toto jsou kritické body a . Je nutné najít hodnoty cílové funkce ve všech kritických bodech a vybrat maximální.

Obecně se k nalezení řešení používají různé vyhledávací metody. V důsledku toho se segment obsahující optimální řešení zužuje.

Podívejme se na některé způsoby vyhledávání. Předpokládejme, že účelová funkce na intervalu má jedno maximum. V tomto případě se po dělení uzlovými body, jejichž počet je , vypočítá účelová funkce v těchto uzlových bodech. Předpokládejme, že maximální hodnota účelové funkce bude v uzlu, pak můžeme předpokládat, že optimální řešení se nachází na intervalu. V důsledku toho byl segment obsahující optimální řešení zúžen. Výsledný nový segment je opět rozdělen na části atd. S každým oddílem se segment obsahující optimální řešení o faktor zmenší.

Předpokládejme, že byly provedeny kroky zúžení. Pak se původní segment o faktor zmenší.

To znamená, že to děláme, když běží (*)

V tomto případě se vypočítá účelová funkce.

Je nutné najít takovou hodnotu, aby výraz (*) byl získán jako nejmenší

počet výpočtů.

Metoda 37

Metoda polovičního dělení.

Podívejme se na způsob vyhledávání pro . Nazývá se metoda půlení, protože v každém kroku se segment obsahující optimální řešení rozpůlí.

Efektivitu vyhledávání lze zvýšit speciálním výběrem bodů, ve kterých se při určitém zužujícím kroku počítá účelová funkce.

Metoda 38

Metoda zlatého řezu.

Jedním z účinných způsobů je metoda zlatého řezu. Zlatý řez segmentu je bod, pro který je podmínka splněna

Existují dva takové body: =0,382 +0,618

0,618 +0,382 .

Úsek je rozdělen body a pak je nalezen bod, ve kterém je účelová funkce maximální. V důsledku toho je nalezen upravený segment o délce 0,618( - ).

Jedna hodnota zlatého řezu pro zúžený segment je již známa, takže v každém dalším kroku je nutné vypočítat účelovou funkci pouze v jednom bodě (druhý bod zlatého řezu).

Metoda 39

Metoda výstupu po souřadnici (sestupu).

Přejděme k uvažování o optimalizačním problému v případě, kdy účelová funkce závisí na několika hodnotách parametrů. Nejjednodušší metodou vyhledávání je metoda souřadnicového výstupu (sestupu).

Matematika a matematická analýza

Řešení diferenčního schématu se nazývá přibližné řešení diferenciální úlohy. Charakteristika implicitního diferenčního schématu Uvažujme jednorozměrnou diferenciální rovnici parabolického typu s počátečními a okrajovými podmínkami: 4.7 je zapsána v n 1. časovém kroku pro usnadnění následné prezentace metody a algoritmu pro řešení implicitního diferenčního schématu 4 V části Pořadí aproximace rozdílového schématu bylo poznamenáno, že rozdílové schéma 4.

Otázka 8: Diferenční schémata: explicitní a implicitní schémata:

Diferenční schématoto je konečný systém algebraických rovnic, který odpovídá nějakému diferenciálnímu problému obsahujícímudiferenciální rovnicea další podmínky (napřokrajové podmínky a/nebo počáteční rozdělení). Diferenční schémata se tedy používají k redukci diferenciálního problému, který má kontinuální povahu, na konečný systém rovnic, jehož numerické řešení je v zásadě možné na počítačích. Algebraické rovnice uvedené do korespondencediferenciální rovnicese získávají aplikacírozdílová metoda, co odlišuje teorii diferenčních schémat od ostatníchnumerické metodyřešení diferenciálních problémů (například projekční metody, jako např Galerkinova metoda).

Řešení diferenčního schématu se nazývá přibližné řešení diferenciální úlohy.

Charakteristika implicitní rozdílové schéma

Zvažte jednorozměrný diferenciální rovniceparabolický typ s:

Zapišme si rovnici (4.5) implicitní rozdílové schéma:

Pojďme psát:

Aproximace okrajových podmínek (4.7) je zapsána jako ( n metoda a algoritmus řešení implicitního diferenčního schématu (4.6).
V kapitole ""Bylo zjištěno, že schéma rozdílů (4.6) má stejnépořadí přiblížení, stejně jako odpovídající explicitní rozdílové schéma(4.2), konkrétně:

V kapitole " Důkaz absolutní stability implicitního diferenčního schématu„Bylo prokázáno, že implicitní diferenční schéma (4.6) je absolutně stabilní, tj. bez ohledu na volbu intervalu dělenírozdílová mřížka(nebo jinými slovy výběr kroku výpočtu na základě nezávislých proměnných)chyba řešeníschéma implicitních rozdílů se během procesu výpočtu nezvýší. Všimněte si, že to je jistě výhoda schématu implicitních rozdílů (4.6) ve srovnání s schématem explicitních rozdílů(4.2) , který je stabilní, pouze pokud je splněna podmínka(3.12) . Ve stejné době, explicitní rozdíl schéma má poměrně jednoduché způsob řešení , a metoda pro řešení implicitního diferenčního schématu (4.6), tzvzametací metoda, složitější. Než půjdešk prezentaci metody sweep, nutné odvodit řadu vztahů, používaný touto metodou.

Charakteristika explicitního rozdílové schéma.

Zvažte jednorozměrný diferenciální rovniceparabolický typ S počáteční a okrajové podmínky:

Zapišme si rovnici(4.1) explicitní rozdílové schéma:

Pojďme to napsat aproximace počátečních a okrajových podmínek:

Aproximace okrajových podmínek (4.3) je zapsána jako ( n + 1) časový krok pro usnadnění následné prezentace metoda a algoritmus řešení explicitního rozdílového schématu (4.2).
V kapitole "Pořadí aproximace diferenčního schématu"Bylo prokázáno, že rozdílové schéma (4.2) mápořadí přiblížení:

V kapitole " Důkaz podmíněné stability explicitního diferenčního schématu„podmínka byla přijata udržitelnost dané rozdílové schéma, které ukládá omezení na volbu intervalu dělení při vytvářenírozdílová mřížka(nebo jinými slovy omezení výběru kroku výpočtu pro jednu z nezávislých proměnných):

Všimněte si, že to je samozřejmě nevýhoda explicitního rozdílového schématu (4.2). Přitom to má docela jednoduché způsob řešení.