Derivace záporného čísla. Typické chyby při výpočtu derivace. Derivace součtu a rozdílu

Je uveden vzorec pro derivaci součtu a rozdílu funkcí. Je uveden důkaz a jsou podrobně diskutovány příklady použití tohoto vzorce.

Vzorec pro derivaci součtu (rozdílu) funkcí

Nechť a být funkce nezávisle proměnné x. Ať jsou diferencovatelné v nějakém rozsahu hodnot proměnné x. Pak v této oblasti derivace součtu (rozdílu) těchto funkcí se rovná součtu (rozdílu) derivací těchto funkcí:
(1) .

Důkaz

Protože funkce a jsou diferencovatelné v , existují následující limity, které jsou derivacemi těchto funkcí:
;
.

Uvažujme funkci y proměnné x, která je součtem funkcí a:
.
Aplikujme definici derivace.


.

Tak jsme dokázali, že derivace součtu funkcí se rovná součtu derivací:
.

Stejným způsobem můžete ukázat, že derivace rozdílu funkcí se rovná rozdílu derivací:
.
To lze ukázat jiným způsobem, pomocí právě osvědčeného pravidla pro rozlišení součtu a :
.

Tato dvě pravidla lze zapsat jako jednu rovnici:
(1) .

Následek

Výše jsme se podívali na pravidlo pro nalezení derivace součtu dvou funkcí. Toto pravidlo lze zobecnit na součet a rozdíl libovolného počtu diferencovatelných funkcí.

Derivace součtu (rozdílu) libovolného konečného počtu diferencovatelných funkcí se rovná součtu (rozdílu) jejich derivací. S přihlédnutím k pravidlu umístění konstanty mimo znaménko derivace lze toto pravidlo zapsat následovně:
.
Nebo v rozšířené podobě:
(2) .
Zde - konstanty;
- diferencovatelné funkce proměnné x.

Doklady z vyšetřování

Když n = 2 , použijeme pravidlo (1) a pravidlo umístění konstanty mimo znaménko derivace . My máme:
.
Když n = 3 použijte vzorec (1) pro funkce a:
.

Pro libovolné číslo n použijeme indukční metodu. Nechť je splněna rovnice (2) pro . Pak máme:

.
To znamená, že z předpokladu, že rovnice (2) je splněna pro , vyplývá, že rovnice (2) je splněna pro . A protože rovnice (2) platí pro , platí pro všechny .
Vyšetřování bylo prokázáno.

Příklady

Příklad 1

Najděte derivaci
.

Otevření závorek. K tomu použijeme vzorec
.
Využíváme také vlastnosti mocninných funkcí.
;

;
.

Pro derivaci součtu a rozdílu funkcí použijeme vzorec (2).
.

Z tabulky derivátů najdeme:
.
Pak
;
;
.

Nakonec máme:
.

Příklad 2

Najděte derivaci funkce vzhledem k proměnné x
.

Redukujme kořeny na mocenské funkce.
.
Aplikujeme pravidlo diferenciace součtu a rozdílu.
.
Aplikujeme vzorce z tabulky derivací.
;
;
;
;
;
.
Pojďme nahradit:
.
Zlomky přivedeme na společného jmenovatele.
.
Zde jsme vzali v úvahu, že daná funkce je definována na .
.

V této lekci se naučíme používat vzorce a pravidla diferenciace.

Příklady. Najděte derivace funkcí.

1. y = x 7 + x 5 - x 4 + x 3 - x 2 + x - 9. Uplatnění pravidla já, vzorce 4, 2 a 1. Dostaneme:

y’=7x 6 +5x 4-4x 3 +3x 2-2x+1.

2. y=3x6-2x+5. Řešíme podobně, pomocí stejných vzorců a vzorce 3.

y’=3∙6x 5-2=18x 5-2.

Uplatnění pravidla já, vzorce 3, 5 A 6 A 1.

Uplatnění pravidla IV, vzorce 5 A 1 .

V pátém příkladu podle pravidla já derivace součtu se rovná součtu derivací a právě jsme našli derivaci 1. členu (příklad 4 ), proto najdeme deriváty 2 A 3 podmínky a za 1 summand můžeme rovnou napsat výsledek.

Pojďme rozlišovat 2 A 3 termíny podle vzorce 4 . Za tímto účelem transformujeme kořeny třetí a čtvrté mocniny ve jmenovateli na mocniny se zápornými exponenty a poté podle 4 formule, najdeme derivace mocnin.

Podívejte se na tento příklad a výsledek. Chytili jste vzor? Pokuta. To znamená, že máme nový vzorec a můžeme ho přidat do naší tabulky derivátů.

Vyřešme šestý příklad a odvodíme další vzorec.

Použijme pravidlo IV a vzorec 4 . Výsledné zlomky zredukujeme.

Podívejme se na tuto funkci a její derivaci. Vy samozřejmě rozumíte vzoru a jste připraveni vzorec pojmenovat:

Učte se nové vzorce!

Příklady.

1. Najděte přírůstek argumentu a přírůstek funkce y= x 2, pokud byla počáteční hodnota argumentu rovna 4 a nové - 4,01 .

Řešení.

Nová hodnota argumentu x=x 0 +Δx. Dosadíme data: 4,01=4+Δх, tedy přírůstek argumentu Δх= 4,01-4 = 0,01. Přírůstek funkce se podle definice rovná rozdílu mezi novou a předchozí hodnotou funkce, tj. Δy=f (x 0 + Ax) - f (x 0). Protože máme funkci y=x2, Že Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 = 2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Odpovědět: přírůstek argumentu Δх=0,01; přírůstek funkce Δу=0,0801.

Přírůstek funkce lze nalézt jinak: Δy=y (x 0 + Ax) -y (x 0)=y(4,01) -y(4)=4,012-42=16,0801-16=0,0801.

2. Najděte úhel sklonu tečny ke grafu funkce y=f(x) na místě x 0, Pokud f "(x 0) = 1.

Řešení.

Hodnota derivace v bodě tečnosti x 0 a je hodnotou tečny úhlu tečny (geometrický význam derivace). My máme: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, protože tg45°=1.

Odpovědět: tečna ke grafu této funkce svírá s kladným směrem osy Ox úhel rovný 45°.

3. Odvoďte vzorec pro derivaci funkce y=x n.

Diferenciace je akce nalezení derivace funkce.

Při hledání derivací použijte vzorce, které byly odvozeny na základě definice derivace, stejně jako jsme odvodili vzorec pro stupeň derivace: (x n)" = nx n-1.

Toto jsou vzorce.

Tabulka derivátů Bude snazší si zapamatovat vyslovením slovních formulací:

1. Derivace konstantní veličiny je rovna nule.

2. Prvočíslo x se rovná jedné.

3. Konstantní faktor lze vyjmout ze znaménka derivace.

4. Derivace stupně se rovná součinu exponentu tohoto stupně stupněm se stejným základem, ale exponent je o jeden méně.

5. Derivace kořene se rovná jedničce dělené dvěma stejnými kořeny.

6. Derivace jedničky děleno x se rovná mínus jedničce dělené x na druhou.

7. Derivace sinu se rovná kosinu.

8. Derivace kosinusu se rovná minus sinu.

9. Derivace tečny je rovna jedné dělené druhou mocninou kosinusu.

10. Derivace kotangens je rovna mínus jedné děleno druhou mocninou sinu.

učíme pravidla diferenciace.

1. Derivace algebraického součtu se rovná algebraickému součtu derivací členů.

2. Derivát součinu se rovná součinu derivace prvního a druhého faktoru plus součinu prvního faktoru a derivace druhého.

3. Derivace „y“ děleno „ve“ se rovná zlomku, ve kterém je čitatel „y prvočíslo násobeno „ve“ mínus „y násobeno prvočíslem ve“ a jmenovatel je „ve na druhou“.

4. Zvláštní případ formule 3.

Pojďme se společně učit!

Strana 1 z 1 1

Důkaz a odvození vzorců pro derivaci přirozeného logaritmu a logaritmu se základem a. Příklady výpočtu derivací ln 2x, ln 3x a ln nx. Důkaz vzorce pro derivaci logaritmu n-tého řádu metodou matematické indukce.

Viz také: Logaritmus - vlastnosti, vzorce, graf
Přirozený logaritmus - vlastnosti, vzorce, graf

Odvození vzorců pro derivace přirozeného logaritmu a logaritmu se základem a

Derivace přirozeného logaritmu x se rovná jedné dělené x:
(1) (ln x)′ =.

Derivace logaritmu k základu a je rovna jedné dělené proměnnou x násobenou přirozeným logaritmem a:
(2) (log a x)′ =.

Důkaz

Nechť existuje nějaké kladné číslo, které se nerovná jedné. Uvažujme funkci závislou na proměnné x, což je logaritmus k základu:
.
Tato funkce je definována na . Pojďme najít její derivaci vzhledem k proměnné x. Podle definice je derivát následující limit:
(3) .

Pojďme tento výraz transformovat, abychom jej zredukovali na známé matematické vlastnosti a pravidla. K tomu potřebujeme znát následující skutečnosti:
A) Vlastnosti logaritmu. Budeme potřebovat následující vzorce:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
b) Spojitost logaritmu a vlastnost limit pro spojitou funkci:
(7) .
Zde je funkce, která má limitu a tato limita je kladná.
V) Význam druhé pozoruhodné hranice:
(8) .

Aplikujme tato fakta na naše limity. Nejprve transformujeme algebraický výraz
.
K tomu použijeme vlastnosti (4) a (5).

.

Použijme vlastnost (7) a druhou pozoruhodnou limitu (8):
.

A nakonec použijeme vlastnost (6):
.
Logaritmus k základně E volal přirozený logaritmus. Označuje se takto:
.
Pak ;
.

Tak jsme dostali vzorec (2) pro derivaci logaritmu.

Derivace přirozeného logaritmu

Ještě jednou napíšeme vzorec pro derivaci logaritmu na základ a:
.
Tento vzorec má nejjednodušší tvar pro přirozený logaritmus, pro který , . Pak
(1) .

Kvůli této jednoduchosti je přirozený logaritmus velmi široce používán v matematické analýze a v dalších odvětvích matematiky souvisejících s diferenciálním počtem. Logaritmické funkce s jinými bázemi lze vyjádřit pomocí přirozeného logaritmu pomocí vlastnosti (6):
.

Derivaci logaritmu vzhledem k základu lze najít ze vzorce (1), pokud z derivačního znaménka odeberete konstantu:
.

Jiné způsoby, jak dokázat derivaci logaritmu

Zde předpokládáme, že známe vzorec pro derivaci exponenciály:
(9) .
Potom můžeme odvodit vzorec pro derivaci přirozeného logaritmu za předpokladu, že logaritmus je inverzní funkcí exponenciály.

Dokažme vzorec pro derivaci přirozeného logaritmu, použití vzorce pro derivaci inverzní funkce:
.
V našem případě . Inverzní funkce k přirozenému logaritmu je exponenciála:
.
Jeho derivace je určena vzorcem (9). Proměnné lze označit libovolným písmenem. Ve vzorci (9) nahraďte proměnnou x za y:
.
Od té doby
.
Pak
.
Vzorec je osvědčený.

Nyní dokážeme vzorec pro derivaci přirozeného logaritmu pomocí pravidla pro diferenciaci komplexních funkcí. Protože funkce a jsou vzájemně inverzní
.
Derivujme tuto rovnici vzhledem k proměnné x:
(10) .
Derivace x se rovná jedné:
.
Aplikujeme pravidlo diferenciace komplexních funkcí:
.
Tady . Dosadíme v (10):
.
Odtud
.

Příklad

Najděte deriváty 2x, ln 3x A lnnx.

Původní funkce mají podobnou podobu. Proto najdeme derivaci funkce y = log nx. Pak dosadíme n = 2 a n = 3. A tak získáme vzorce pro deriváty ln 2x A ln 3x .

Hledáme tedy derivaci funkce
y = log nx .
Představme si tuto funkci jako komplexní funkci skládající se ze dvou funkcí:
1) Funkce závislé na proměnné: ;
2) Funkce závislé na proměnné: .
Pak se původní funkce skládá z funkcí a :
.

Pojďme najít derivaci funkce vzhledem k proměnné x:
.
Pojďme najít derivaci funkce vzhledem k proměnné:
.
Aplikujeme vzorec pro derivaci komplexní funkce.
.
Tady jsme to nastavili.

Tak jsme našli:
(11) .
Vidíme, že derivace nezávisí na n. Tento výsledek je zcela přirozený, pokud transformujeme původní funkci pomocí vzorce pro logaritmus součinu:
.
- to je konstanta. Jeho derivace je nulová. Pak podle pravidla derivace součtu máme:
.

; ; .

Derivace logaritmu modulu x

Pojďme najít derivaci další velmi důležité funkce - přirozeného logaritmu modulu x:
(12) .

Podívejme se na případ. Potom funkce vypadá takto:
.
Jeho derivace je určena vzorcem (1):
.

Nyní se podívejme na případ. Potom funkce vypadá takto:
,
kde .
Ve výše uvedeném příkladu jsme ale také našli derivaci této funkce. Nezávisí na n a je rovno
.
Pak
.

Tyto dva případy spojíme do jednoho vzorce:
.

V souladu s tím pro logaritmus se základem a máme:
.

Derivace vyšších řádů přirozeného logaritmu

Zvažte funkci
.
Našli jsme jeho derivát prvního řádu:
(13) .

Pojďme najít derivaci druhého řádu:
.
Pojďme najít derivaci třetího řádu:
.
Pojďme najít derivaci čtvrtého řádu:
.

Můžete si všimnout, že derivace n-tého řádu má tvar:
(14) .
Dokažme to matematickou indukcí.

Důkaz

Dosadíme hodnotu n = 1 do vzorce (14):
.
Od , pak když n = 1 , platí vzorec (14).

Předpokládejme, že pro n = k je splněn vzorec (14). Dokažme, že to znamená, že vzorec platí pro n = k + 1 .

Ve skutečnosti pro n = k máme:
.
Diferencujte s ohledem na proměnnou x:

.
Takže jsme dostali:
.
Tento vzorec se shoduje se vzorcem (14) pro n = k + 1 . Z předpokladu, že vzorec (14) platí pro n = k, tedy vyplývá, že vzorec (14) platí pro n = k + 1 .

Proto vzorec (14) pro derivaci n-tého řádu platí pro libovolné n.

Deriváty vyšších řádů logaritmu k základu a

Chcete-li najít derivaci logaritmu n-tého řádu se základem a, musíte ji vyjádřit pomocí přirozeného logaritmu:
.
Použitím vzorce (14) najdeme n-tou derivaci:
.

Derivát

Výpočet derivace matematické funkce (diferenciace) je velmi častým problémem při řešení vyšší matematiky. Pro jednoduché (elementární) matematické funkce je to vcelku jednoduchá záležitost, protože tabulky derivací pro elementární funkce jsou již dávno sestaveny a jsou snadno dostupné. Nalezení derivace komplexní matematické funkce však není triviální úkol a často vyžaduje značné úsilí a čas.

Najděte derivát online

Naše online služba vám umožní zbavit se nesmyslných dlouhých výpočtů a najít derivát online v jednom okamžiku. Navíc pomocí naší služby umístěné na webových stránkách www.stránka, můžete počítat online derivát jak z elementární funkce, tak z velmi složité funkce, která nemá analytické řešení. Hlavní výhody našich stránek oproti jiným jsou: 1) nejsou zde žádné striktní požadavky na způsob zadávání matematické funkce pro výpočet derivace (např. při zadání funkce sinus x ji můžete zadat jako sin x nebo sin (x) nebo sin[x] atd. d.); 2) online výpočet derivace probíhá okamžitě v online a absolutně zdarma; 3) umožňujeme vám najít derivaci funkce jakákoli objednávka, změna pořadí derivace je velmi snadná a srozumitelná; 4) umožňujeme vám najít derivát téměř jakékoli matematické funkce online, dokonce i velmi složitých, které nelze vyřešit jinými službami. Poskytnutá odpověď je vždy přesná a nemůže obsahovat chyby.

Používání našeho serveru vám umožní 1) vypočítat derivát online za vás, čímž se eliminují časově náročné a únavné výpočty, během kterých byste mohli udělat chybu nebo překlep; 2) pokud vypočítáte derivaci matematické funkce sami, pak vám poskytujeme možnost porovnat získaný výsledek s výpočty naší služby a ujistit se, že řešení je správné, nebo najít chybu, která se vloudila; 3) použijte naši službu místo používání tabulek derivací jednoduchých funkcí, kde nalezení požadované funkce často zabere čas.

Vše, co musíte udělat, je najít derivát online- je používat naši službu na

Řešení fyzikálních úloh nebo příkladů v matematice je zcela nemožné bez znalosti derivace a metod jejího výpočtu. Derivace je jedním z nejdůležitějších pojmů v matematické analýze. Tomuto zásadnímu tématu jsme se rozhodli věnovat dnešní článek. Co je to derivace, jaký má fyzikální a geometrický význam, jak vypočítat derivaci funkce? Všechny tyto otázky lze spojit do jedné: jak porozumět derivaci?

Geometrický a fyzikální význam derivace

Nechť existuje funkce f(x) , specifikované v určitém intervalu (a, b) . Do tohoto intervalu patří body x a x0. Když se změní x, změní se i samotná funkce. Změna argumentu - rozdíl v jeho hodnotách x-x0 . Tento rozdíl je zapsán jako delta x a nazývá se přírůstek argumentu. Změna nebo přírůstek funkce je rozdíl mezi hodnotami funkce ve dvou bodech. Definice derivátu:

Derivace funkce v bodě je limitem poměru přírůstku funkce v daném bodě k přírůstku argumentu, když ten má tendenci k nule.

Jinak to lze napsat takto:

Jaký má smysl najít takový limit? A tady je to, co to je:

derivace funkce v bodě je rovna tečně úhlu mezi osou OX a tečně ke grafu funkce v daném bodě.

Fyzikální význam derivátu: derivace dráhy s ohledem na čas je rovna rychlosti přímočarého pohybu.

Opravdu, od školních dob každý ví, že rychlost je zvláštní cesta x=f(t) a čas t . Průměrná rychlost za určité časové období:

Chcete-li zjistit rychlost pohybu v určitém okamžiku t0 musíte vypočítat limit:

Pravidlo jedna: nastavte konstantu

Konstantu lze vyjmout z derivačního znaménka. Navíc to musí být provedeno. Při řešení příkladů v matematice to berte jako pravidlo - Pokud můžete nějaký výraz zjednodušit, určitě ho zjednodušte .

Příklad. Pojďme vypočítat derivaci:

Pravidlo druhé: derivace součtu funkcí

Derivace součtu dvou funkcí je rovna součtu derivací těchto funkcí. Totéž platí pro derivaci rozdílu funkcí.

Tuto větu nebudeme dokazovat, ale uvažujme spíše o praktickém příkladu.

Najděte derivaci funkce:

Pravidlo třetí: derivace součinu funkcí

Derivace součinu dvou diferencovatelných funkcí se vypočítá podle vzorce:

Příklad: najděte derivaci funkce:

Řešení:

Zde je důležité mluvit o počítání derivací komplexních funkcí. Derivace komplexní funkce je rovna součinu derivace této funkce s ohledem na prostřední argument a derivace prostředního argumentu vzhledem k nezávislé proměnné.

Ve výše uvedeném příkladu narazíme na výraz:

V tomto případě je střední argument 8x až pátá mocnina. Abychom mohli vypočítat derivaci takového výrazu, nejprve vypočítáme derivaci externí funkce vzhledem k mezilehlému argumentu a poté vynásobíme derivací samotného mezilehlého argumentu vzhledem k nezávislé proměnné.

Pravidlo čtyři: derivace podílu dvou funkcí

Vzorec pro určení derivace podílu dvou funkcí:

Pokusili jsme se mluvit o derivátech pro figuríny od nuly. Toto téma není tak jednoduché, jak se zdá, takže buďte varováni: v příkladech jsou často úskalí, takže buďte opatrní při výpočtu derivací.

S jakýmikoli dotazy k tomuto a dalším tématům se můžete obrátit na studentský servis. Během krátké doby vám pomůžeme vyřešit nejtěžší test a porozumět úlohám, i když jste nikdy předtím nedělali derivační výpočty.