Každý ze segmentů prům. Porovnání segmentů. Akce na segmentech. Násobení a dělení segmentu celým číslem

7. Mnoho bodů a čar je umístěno v rovině. Přijměte to můžete konstruovat body a přímky na rovině; v praxi se ke konstrukci přímky používá pravítko.

Přímka se táhne nekonečně oběma směry. K čertu. 4 sestrojí se přímka AB; s vaší fantazií můžete pokračovat donekonečna v obou směrech. Pokud sestrojíte jakýkoli bod, například bod O, na přímce CD (obrázek 4), pak se přímka rozdělí na 2 části: jedna část se táhne z bodu O doprava bez konce a druhá z bodu O doleva bez konce. Každá z těchto částí se nazývá paprsek. Zde máme 2 paprsky: OD paprsek a OC paprsek.

Každým bodem můžeme sestrojit nespočet paprsků.

Vezmeme-li 2 body na přímce, např. na přímce KL (obrázek 4) body E a F, pak se část přímky mezi těmito body nazývá úsečka. Na výkresu máme segment EF.

8. Porovnejte data ze 2 segmentů AB a CD (návrh 5).

Posuňme segment CD tak, aby bod C zasáhl A, a otáčíme jím kolem bodu A, dokud segment CD neprojde podél segmentu AB. Když toho dosáhneme, všimneme si, kam spadá bod D: pokud spadá do B, pak jsou naše segmenty stejné; pokud D spadá někam mezi body A a B (například v M), pak je segment CD považován za menší než segment AB, a pokud bod D spadá za bod B (například v N), pak segment CD je větší než segment AB.

„Porovnávání“ dvou segmentů chápeme ve smyslu určení, zda jsou stejné nebo jeden je větší než druhý.

9. Najděte součet dvou daných segmentů.

Jsou odebrány dva segmenty AB a CD (obr. 6); musíte přidat tyto segmenty.

Za tímto účelem posuneme segment CD tak, aby bod C zasáhl B, a poté s ním otáčíme kolem B, dokud nebude následovat pokračování segmentu AB. Všimněte si, kam spadá bod D; pokud narazí na K, pak segment BK = CD a AK = AB + BK nebo AK = AB + CD.

Jakýkoli segment lze rozdělit mezilehlými body na součet několika členů; např:

AB = AC + CD + DE + EF + FB (nákres 7)

To je nám jasné součet segmentů se nemění v závislosti na přeskupení pojmů .

10. Najděte rozdíl mezi dvěma segmenty.

Jsou dány dva segmenty AB a CD (obr. 8); musíte odečíst menší segment CD od většího segmentu AB.

Posuneme segment CD tak, aby bod D narazil na bod B, a začneme s ním otáčet kolem B, dokud nepůjde ve směru BA; Všimněme si, když toho dosáhneme, kam bude padat bod C Pokud C spadne do K, pak KB = CD a AK = AB – KB nebo AK = AB – CD.

Tento segment můžete vynásobit 2, 3, 4 atd., tj. opakovat jej jako výraz 2, 3 atd. krát.

Z odstavců. 8-10, je důležité, abychom pochopili, že 1) následující pojmy jsou použitelné pro segmenty i pro čísla: „rovná se“, „větší než“ a „menší než“; 2) pojmy „součet a rozdíl dvou segmentů“ mají velmi jasný význam.

V praxi se pro konstrukci segmentu rovného danému používá kompas.

11. Cvičení. 1. Pojmenujte segmenty sčítanců a jejich součet na každém z následujících obrázků; zapište (kresba A).

2. Na stejných výkresech označte, který segment lze považovat za rozdíl dvou dalších segmentů; zapsat.

3. Rozdělte tento segment na 2, 3 a 4 pojmy; zapsat.

4. Prezentujte tento segment jako rozdíl dvou dalších segmentů.

12. Můžeme stavět postava sestávající ze dvou paprsků vycházejících z jednoho bodu, – takový obrazec se nazývá úhel. K čertu. Obrázek 9 ukazuje úhel složený z paprsků OA a OB vycházejících z bodu O. Tento bod se nazývá vrchol úhlu a každý paprsek se nazývá jeho strana. Slovo „úhel“ se nahrazuje znakem ∠. Úhel se nazývá třemi písmeny, z nichž jedno je umístěno ve vrcholu a další dvě někde po stranách úhlu - písmeno ve vrcholu je umístěno uprostřed názvu úhlu. K čertu. 9 máme ∠AOB nebo ∠BOA; někdy se úhel nazývá jedno písmeno umístěné na jeho vrcholu a říká ∠O. Strany úhlu (paprsky) musí být považovány za nekonečné.

Zvláštní případ úhlu nastane, když jeho strany tvoří jednu přímku; takový zvláštní úhel se nazývá narovnaný popř natočený úhel(Obrázek 12 ukazuje pravé úhly AOB a A101B1).

Každý úhel rozděluje rovinu na 2 části, na dvě oblasti. Jedna z těchto částí se nazývá vnitřní oblast rohu a řekni, že leží uvnitř rohu a ten druhý se jmenuje vnější oblast rohu a řekni, že leží mimo roh. Která z těchto dvou částí se nazývá vnější oblast a která vnitřní je věcí podmínky. Pokaždé byste měli označit něco vnitřního, například oblast. Označíme vnitřní oblast rohu zakřivenými čarami nakreslenými na vnitřní ploše mezi stranami rohu; na černou 10 označuje vnitřní oblasti úhlů ABC, DEF a narovnaných ∠KLM.

Je užitečné vystřihnout rohy z tenkého kartonu: kus kartonu je hrubé znázornění části roviny; nakreslením dvou paprsků vycházejících z jednoho bodu a rozříznutím tohoto kusu po stranách nakresleného úhlu rozdělíme kus lepenky na 2 části; Vezměme jednu z těchto částí, o které chceme předpokládat, že leží uvnitř úhlu, a odstraníme druhou - pak budeme mít model úhlu spolu s jeho vnitřní oblastí. Pro správnou interpretaci tohoto modelu je třeba mít na paměti, že kus lepenky je obrazem pouze části roviny a rovina samotná se táhne bez konce.

13. Porovnejte dva dané úhly∠ABC a ∠DEF (nákres 11).

„Porovnat“ dva úhly znamená určit, zda jsou úhly stejné nebo jeden je větší než druhý. Abychom to udělali, začneme překrývat jeden úhel na druhý tak, aby jejich vnitřní oblasti šly podél sebe: pokud se v tomto případě ukáže, že je možné dosáhnout toho, aby vrcholy a strany našich úhlů byly zarovnány, řekneme že tyto úhly jsou stejné; pokud se vrcholy na jedné straně našich úhlů shodují, ale ostatní strany se neshodují, pak úhly nejsou stejné a menší čteme jako ten, jehož vnitřní plocha zapadá do vnitřní plochy druhé.

Cvičení. Vystřihněte modely rohů z papíru spolu s jejich vnitřními plochami a položením těchto modelů na sebe stanovte možnost výše popsaných případů; Po vyříznutí modelu s jedním úhlem vyřízněte model s úhlem, který se mu rovná, a modely s úhly, které se mu nerovnají (více či méně).

Podívejme se na úhly ABC a DEF (obrázek 11); vnitřní plocha každého z nich je vyznačena na výkresu. Posuneme ∠DEF tak, aby jeho vrchol E narazil na bod B a jeho strana EF šla podél strany BC - pak budou vnitřní plochy rohů umístěny jedna po druhé. Pokud strana ED jde podél strany BA, pak ∠DEF = ∠ABC; pokud ED strana jde dovnitř ∠ABC, například podél paprsku BM, pak ∠DEF< ∠ABC (здесь внутренняя область угла DEF уляжется на внутренней области ∠ABC, и еще останется незанятой область ABM); если сторона ED пойдет вне ∠ABC, напр., по лучу BN, то ∠DEF >∠ABC.

Je užitečné zopakovat stejnou úvahu pro úhly ABC a DEF (s vyznačenými vnitřními oblastmi), jak je uvedeno na obr. 11 bis.

Aplikujme popsaný způsob porovnání dvou úhlů se dvěma narovnanými úhly. Mějme 2 narovnané úhly ∠AOB a ∠A1O1B1 (výkres 12), jejichž vnitřní plochy jsou na výkrese vyznačeny. Přiložením jednoho z těchto úhlů na druhý tak, aby vrchol O 1 jednoho spadal do vrcholu O druhého a aby strana O 1 A 1 jednoho šla podél strany OA druhého, dojdeme k závěru že ostatní strany těchto úhlů O 1 B 1 a OB se shodují, neboť přímky A 1 O 1 B 1 a AOB jsou přímky, jejichž poloha je určena dvěma body. (Někdy říkají: „OB je pokračováním OA“ místo toho, aby řekli, že čára AOB je přímka). Proto se dostáváme k závěru:

Všechny pravé úhly jsou si navzájem rovné.

14. Narovnaný ∠AOB (nákres 12) rozděluje rovinu na 2 oblasti, vnitřní a vnější. Pokud ohnete rovinu podél přímky AOB, pak se obě tyto části budou shodovat. Proto můžeme předpokládat, že vnitřní a vnější plochy narovnaného úhlu jsou si navzájem rovné.

Pokud máme nějaký nerektifikovaný úhel, například ∠DEF (výkres 11 nebo výkres 11bis), pak pokračováním jedné z jeho stran, například stranou DE (na výkresech nejsou nakreslena žádná pokračování), uvidíme, že o našem úhlu lze zjistit, že je buď menší než narovnaný (výkres 11), nebo větší než on (výkres 11 bis); Záleží na tom, která ze dvou částí roviny je brána jako vnitřní oblast rohu. Obvykle se vnitřní oblast úhlu volí tak, aby byl tento úhel menší než narovnaný, a v tomto případě souhlasíme s tím, že nebudeme označovat vnitřní oblast úhlu. Někdy počátek úhlu naznačí, že vnitřní oblast by měla být považována za tu část roviny, jejíž úhel bude větší než narovnaný. Tyto případy se někdy v budoucnu vyskytnou, a pak musíme označit vnitřní oblast rohu.

15. Najděte součet dvou úhlů: ∠AOB a ∠PNM (nákres 13), nebo přidejte ∠AOB a ∠PNM.

Zde na výkrese nejsou vyznačeny vnitřní oblasti rohů; podle poznámky k předchozímu odstavci to znamená, že musí být zvoleny tak, aby každý úhel byl menší než narovnaný a tyto oblasti jasně vidíme.

Posuňme ∠PNM tak, aby se jeho vrchol N shodoval s vrcholem O úhlu AOB a otáčením kolem bodu O zajistíme, aby strana NP šla po straně OB; pak budou vnitřní oblasti našich úhlů k sobě přiléhat – tato okolnost je podstatná pro sčítání úhlů. Všimněme si tedy, jak půjde strana NM: nechť jde například podél paprsku OC. Pak dostaneme nový ∠AOC, který je brán jako součet dvou daných úhlů. Můžeme psát:

1) ∠BOC = ∠PNM, 2) ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC
a 3) (na základě 1) ∠AOC = ∠AOB + ∠PNM.

Můžete také složit několik rohů; Tento úhel můžete rozdělit do několika pojmů. K čertu. 14 máme:

∠AOE = ∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠DOE.

Je snadné sestrojit dva nebo více úhlů aplikovaných na sebe tak, aby se jejich součet rovnal narovnanému úhlu. Je možné, že součet několika úhlů bude větší než narovnaný úhel (obr. 15);

Další speciální případ sčítání úhlů je možný, když vnitřní oblasti přidaných úhlů pokrývají celou rovinu, když jsou na sebe aplikovány. K čertu. 16 máme tyto úhly: ∠AOB, ∠BOC, ∠COD, ∠DOE, ∠EOF a ∠FOA. V tomto případě po sestrojení paprsku OM, který je pokračováním paprsku OA, vidíme, že součet našich úhlů se skládá ze dvou narovnaných úhlů: 1) napřímený ∠AOM, jehož vnitřní oblast je označena jednou zakřivenou čarou. a 2) narovnaný ∠AOM, jehož vnitřní oblast je označena dvojitou zakřivenou čarou. Tady máme:

∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠DOE + ∠EOF + ∠FOA = 2 narovnané rohy.

Oni říkají: Součet všech po sobě jdoucích úhlů obklopujících bod se rovná dvěma pravým úhlům.

Pokud existují další úhly jiné než ty konstruované ve výkresu. 16, pak budou muset být znovu aplikovány na předchozí podél prvního narovnaného úhlu a pak se ukáže, že součet je více než dva narovnané úhly, rovnající se třem narovnaným úhlům, více než třem narovnaným úhlům atd.

16. Najděte rozdíl dvou úhlů: ∠AOB a ∠MNP (Dev. 17), nebo odečtěte ∠MNP od ∠AOB, za předpokladu, že ∠MNP< ∠AOB.

Posuňme ∠MNP tak, aby jeho vrchol N spadal do vrcholu O úhlu AOB; Otáčením kolem bodu O pak dosáhneme toho, že strana NM jde podél strany OB a vnitřní oblasti těchto úhlů jsou umístěny jedna na druhé. Nechte stranu NP sledovat paprsek OC; pak dostaneme nové ∠AOC, o kterém víme, že ∠AOC + ∠COB = ∠AOB, z čehož podle definice odčítání jako inverzní akce sčítání dostaneme:

∠AOC = ∠AOB – ∠COB,
ale ∠COB = ∠MNP; Proto
∠AOC = ∠AOB – ∠MNP.

Z odstavců. 13-16 musíme pochopit myšlenku, že následující koncepty jsou použitelné pro úhly i pro segmenty: více, méně, stejně, a že pojmy součtu a rozdílu dvou úhlů mají určitý význam.

17. Cvičení. 1. Sestrojte dva k sobě připojené úhly, pojmenujte je písmeny, naznačte jejich součet a zapište součet těchto úhlů.

2. Na stejném obrázku označte, že jeden z úhlů je rozdílem mezi ostatními dvěma; napište to.

3. Na následujících nákresech (viz nákres B) je ∠AOB vyjádřeno rozdílem dalších dvou úhlů.

4. Rozdělte tento úhel na 2, 3 a 4 členy; pokaždé si to zapište; udělejte totéž s narovnaným rohem.

5. Prezentujte tento úhel jako rozdíl mezi narovnaným úhlem a nějakým jiným úhlem. Jaký druh struktury je k tomu potřeba?

6. Sčítání a odečítání úhlů pomocí úhlových modelů vystřižených z papíru.

18. V budoucnu budeme často číslovat úhly, abychom písmeno zkrátili tak, že jim budeme říkat čísla. Čísla úhlů napíšeme uvnitř každého úhlu blízko vrcholu.

Sestrojme ∠AOB (výkres 18) a nazvěme jej ∠1. Připočtěme tento úhel k přímému. Úloha má dvě řešení: sestrojte paprsek OC, který slouží jako pokračování paprsku OA; pak získáme ∠BOC nebo ∠2, což splňuje požadavek, protože vidíme, že

∠1 + ∠2 = narovnaný úhel.

Zde máme příklad sečtení dvou úhlů, když se součet rovná narovnanému úhlu - takové úhly se nazývají sousední: ∠1 a ∠2 jsou sousední úhly. Aby se 2 úhly nazývaly „sousední“, je nutné, aby 1) byly k sobě připojeny a 2) aby se jejich součet rovnal narovnanému úhlu, nebo, co je totéž, aby tyto úhly měly společný vrchol (v úhlech 1 a 2 společný vrchol O), jednu společnou stranu (naše rohy mají společnou stranu OB) a že další dvě strany jsou pokračováním jedna druhé (OC je pokračování OA).

Druhé řešení našeho problému získáme, pokud budeme pokračovat stranou OB - nechť OD je pokračováním OB; pak dostaneme další ∠AOD nebo ∠4 sousedící s ∠1. Nazvěme také výsledný úhel COD jako ∠3.

Prozkoumejme 2 získaná řešení našeho problému, tedy ∠2 a ∠4. Vidíme zvláštnost umístění ∠2 a ∠4: mají společný vrchol O, strany jedné z nich jsou pokračováním stran druhé, totiž OC je pokračováním OA a naopak a OB je pokračování OD a naopak - takové dva úhly se nazývají vertikální.

Pak víme, že jak ∠2, tak ∠4 každý doplňují ∠1, dokud nejsou opraveny; odtud usuzujeme

Zde je podrobnější shrnutí poslední úvahy. Podle konstrukce máme:

1) ∠1 + ∠2 = narovnaný úhel;
2) ∠1 + ∠4 = narovnaný úhel.

Vidíme, že obě sčítání vedou ke stejnému součtu (všechny pravé úhly jsou si navzájem rovny) a navíc jeden člen (jmenovitě ∠1) v obou sčítáních je stejný; odtud usuzujeme, že ostatní členy se musí navzájem rovnat, tj. ∠2 = ∠4.

Sestrojíme-li dvě protínající se přímky, dostaneme dvě dvojice svislých úhlů. K čertu. 18 máme úsečky AC a BD, jedna dvojice svislých úhlů je ∠2 a ∠4 a druhá je ∠1 a ∠3. Vše výše uvedené platí pro každou dvojici vertikálních úhlů; například pro dvojici ∠1 a ∠3 platí, že každá z nich doplňuje ∠2 k rektifikované, tedy ∠1 = ∠3. Proto máme větu:
Vertikální úhly jsou si navzájem rovné.

Cvičení. Sestrojte tři přímky procházející bodem a označte výsledné svislé úhly; zapište jejich rovnost.

Mějme dva segmenty AB a CD (obr.). Položme segment AB na segment CD tak, aby se bod A shodoval s bodem C, a nasměrujme segment AB podél segmentu CD. Pokud se bod B shoduje s bodem D, pak jsou segmenty AB a CD stejné; AB = CD.

Porovnejme dva segmenty KO a EM (obr.).

Položme segment KO na segment EM tak, aby se body K a E shodovaly. Nasměrujme segment KO podél segmentu EM. Pokud je bod O někde mezi body E a M, pak říkají, že segment EM je větší než segment KO; segment KO je menší než segment EM.

Píše se to takto: JÍST > KO, KO

Sestrojení segmentu rovného danému pomocí kompasu.

jedna noha kompasu je umístěna na jednom konci segmentu AB a druhá - na jeho druhém konci a bez změny úhlu kompasu jej přemístěte na určitou přímku tak, aby konec jedné nohy označoval nějaký bod N, pak konec druhého ramene kompasu označí nějaký bod R na stejné přímce. Segment NP se bude rovnat segmentu AB.

Sčítání a odečítání úseček.

Píše se to takto:

NM = AB + CD.

Stejným způsobem se najde součet několika segmentů (obr.)

MN = AB + CD + EF.

Při sčítání segmentů, stejně jako v aritmetice při sčítání čísel, se řídí následující zákony: komutativní a asociativní.

AB + CD = CD + AB;

(AB + CD) + EF = AB + (CD + EF).

Chcete-li najít rozdíl mezi dvěma segmenty AB a CD (obr.),

je nutné vyčlenit menší segment (CD) na větší segment (AB) od jeho konce, například bodu A. Zbývající část (KB) většího segmentu bude tvořit rozdíl těchto segmentů:

AB - CD = KV.

Násobení a dělení segmentu celým číslem.

Segment MN je součinem segmentu AB a čísla 5.

b) Na obrázku je segment MN složen z pěti stejných segmentů, tj. segment MN je rozdělen na pět stejných částí. Každý z nich tvoří 1/5 segmentu MN.

c) Chcete-li segment rozdělit na stejné části pomocí kompasu, udělejte to. Pokud například potřebujete rozdělit segment na dvě stejné části, pak se kompas oddálí okem tak, že otvor kompasu je přibližně polovina segmentu. Poté se na daný segment od jeho konce postupně rozloží dva segmenty, jeden po druhém, s tímto řešením kompasu. Pokud je výsledný součet segmentů menší než tento segment, pak se řešení kompasu zvětší; pokud se ukáže, že množství je větší než tento segment, pak se kompasové řešení sníží. Postupnou opravou chyby tedy můžete najít poměrně přesně polovinu segmentu (obr.).

Stejným způsobem se provádí přibližné rozdělení segmentu na 3, 4, 5 atd. stejné části. Pouze v tomto případě byste měli vzít 1/3 očima; 14; 1/5... segmentu a odebraný segment odložte 3, 4, 5... krát, podle toho, na kolik stejných dílů je potřeba daný segment rozdělit.

Vlastnost segmentů odříznutých rovnoběžnými čarami po stranách úhlu

Nechť jsou na straně AB úhlu ABN položeny stejné úsečky BM = MK = KS (obr.) a body dělení M, K a C narýsujeme rovnoběžné čáry protínající stranu BN stejného úhlu.

Na této straně byly vytvořeny tři segmenty: VM', M'K' a K'S'. Je třeba prokázat, že VM' = M'K' = K'C'.

Abychom to dokázali, nakreslíme přímky rovnoběžné s AB přes body M‘ a K‘. Získáme trojúhelníky ВММ', М'ЭК' a К'РС'. Porovnejme tyto trojúhelníky.

Nejprve porovnejte trojúhelníky MVM' a M'EK'. V těchto trojúhelníkech máme:

∠1 = ∠2, jako odpovídající úhly pro rovnoběžky BA a M'E a sečnu BN;

∠3 = ∠4, jako ostré úhly 1 s odpovídajícími rovnoběžnými stranami (AB || M'E a MM' || KK').

VM = MK podle konstrukce;

MK = M'E, jako opačné strany rovnoběžníku.

Úhly 1 a 4 se mohou ukázat jako tupé, ale v tomto případě zůstanou stejné, a proto se důkaz věty nezmění.

Proto BM = M'E. Tedy ΔВММ’ = ΔМ’ЭК’ (na straně a dvou sousedních úhlech). Z toho vyplývá, že VM' = M'K'.

Lze také prokázat, že VM’ = K’C’, tedy VM’ = M’K’ = K’C’. Při dokazování věty jsme začali vytyčovat úsečky od vrcholu úhlu, ale věta platí i pro případ, kdy vytyčování úseček nezačíná od vrcholu úhlu, ale z libovolného bodu na jeho straně.

V tomto případě nemusí být na výkrese vyznačen vrchol rohu (obr.).

Věta platí i pro případ, kdy jsou přímky KO a MR rovnoběžné.

Proporcionální segmenty

Z aritmetiky víme, že rovnost dvou poměrů se nazývá poměr. Například: 16 / 4 = 20 / 5 ; 2 / 3 = 4 / 6 V geometrii máme totéž: jsou-li dány dvě dvojice úseček, jejichž poměry jsou stejné, lze vytvořit poměr.

Li A / b= 4/3 a C / d= 4 / 3 (kresleno 351), pak dostaneme poměr A / b = C / d ;

segmenty abeceda jsou nazývány úměrný.

přístup A / b se nazývá, stejně jako v aritmetice, první vztah, C / d- druhý vztah; A A d se nazývají extrémní poměry, b A S- střední členové.

V poměru mohou být poměry obráceny; můžete přeskupit krajní členy, střední členy; můžete změnit uspořádání obou současně.

Protože v poměru A / b = C / d písmena znamenají čísla vyjadřující délky úseček, pak se součin jeho krajních členů rovná součinu jeho středních členů. Odtud, když znáte tři členy podílu, můžete najít jeho neznámý čtvrtý člen. Ano, úměrně A / X = C / d X = a d / C

Všimněme si ještě některých vlastností proporcí, které budeme muset v budoucnu využít při dokazování některých vět a řešení problémů.

a) Jsou-li tři termíny jednoho podílu rovny třem termínům jiného podílu, pak jsou stejné i čtvrté termíny těchto podílů.

Li A / b = C / X A A / b = C / y,Že x = y. Vskutku, X = před naším letopočtem / A , na = před naším letopočtem / A, tj. a X A na rovné stejnému číslu před naším letopočtem / A .

b) Jsou-li předchozí členy stejné v poměru, pak jsou stejné i následující, tj A / X = A / y, Že x = y.

Abychom to ověřili, přeuspořádáme střední členy v tomto poměru.

Dostaneme: A / A = X / y. Ale A / A= 1. Proto a X / y = 1.

A to je možné pouze tehdy, když se čitatel a jmenovatel zlomku rovnají, tzn.

x = y.

c) Jsou-li následující členy stejné v poměru, pak jsou stejné předchozí, tj X / A = y / A, Že x = y.

Jste vyzváni, abyste si sami ověřili platnost této vlastnosti. Chcete-li to provést, proveďte uvažování podobné předchozímu.

Konstrukce proporcionálních segmentů

Nechť dvě přímky EF a OP protnou tři rovnoběžné přímky AB, CD a MN (obr.).

Je třeba prokázat, že segmenty AC, CM, BD a DN, uzavřené mezi paralelními sečnami, jsou proporcionální, tzn.

AC/CM = BD/DN

Nechť je délka segmentu AC R a délka segmentu CM je rovna q.

Například, R= 4 cm a q= 5 cm.

Rozdělme AC a CM na segmenty rovné 1 cm a z dělicích bodů narýsujeme přímky rovnoběžné s přímkami AB, CD a MN, jak je znázorněno na obrázku.

Poté budou na přímku OR uloženy stejné segmenty se 4 segmenty na segmentu BD a 5 segmenty na segmentu DN.

Poměr AC k CM je 4/5 a podobně poměr BD k DN je 4/5.

Proto AC/CM = BD/DN.

To znamená, že segmenty AC, CM, BD a DN jsou proporcionální. Segmenty AC, AM, BD a BN (vzájemně se překrývající) jsou také proporcionální, tj. AC / AM = BD / BN,

protože AC/AM = 4/9 a BD/BN = 4/9

Věta bude platná pro jakékoli jiné celočíselné hodnoty R A q.

Pokud délky segmentů AC a CM nejsou vyjádřeny v celých číslech pro danou jednotku měření (například centimetr), je nutné vzít menší jednotku (například milimetr nebo mikron), ve které je délky segmentů AC a CM jsou prakticky vyjádřeny v celých číslech.

Osvědčená věta platí i v případě, kdy jedna z rovnoběžných sečnek prochází průsečíkem těchto přímek. Platí to i v případě, kdy se segmenty nevykreslují přímo za sebou, ale po určitém intervalu.

Úsečka. Délka segmentu. Trojúhelník.

1. V tomto odstavci se seznámíte s některými pojmy geometrie. Geometrie- nauka o "měření země". Toto slovo pochází z latinských slov: geo - země a metr - měřit, měřit. V geometrii různé geometrické objekty, jejich vlastnosti, jejich spojení s vnějším světem. Nejjednoduššími geometrickými objekty jsou bod, čára, plocha. Složitější geometrické objekty, například geometrické obrazce a tělesa, se tvoří od nejjednodušších.

Pokud použijeme pravítko na dva body A a B a nakreslíme podél něj čáru spojující tyto body, dostaneme úsečka, který se nazývá AB nebo VA (čteme: „a-be“, „be-a“). Body A a B se nazývají konce segmentu(obrázek 1). Vzdálenost mezi konci segmentu, měřená v jednotkách délky, se nazývá délkastřihka.

Jednotky délky: m - metr, cm - centimetr, dm - decimetr, mm - milimetr, km - kilometr atd. (1 km = 1000 m; 1 m = 10 dm; 1 dm = 10 cm; 1 cm = 10 mm). Pro měření délky segmentů použijte pravítko nebo svinovací metr. Změřit délku segmentu znamená zjistit, kolikrát se do něj vejde konkrétní délková míra.

Rovnat se jsou dva segmenty, které lze kombinovat překrytím jednoho na druhý (obrázek 2). Například můžete skutečně nebo mentálně vyříznout jeden ze segmentů a připojit jej k jinému tak, aby se jejich konce shodovaly. Jsou-li segmenty AB a SK stejné, pak píšeme AB = SK. Stejné segmenty mají stejnou délku. Opak je pravdou: dva stejně dlouhé segmenty jsou stejné. Pokud mají dva segmenty různé délky, pak nejsou stejné. Ze dvou nestejných segmentů je menší ten, který tvoří součást druhého segmentu. Překrývající se segmenty můžete porovnávat pomocí kompasu.

Pokud mentálně prodloužíme segment AB v obou směrech do nekonečna, získáme představu rovný AB (obrázek 3). Jakýkoli bod ležící na přímce ji rozdělí na dva paprsek(Obrázek 4). Bod C rozdělí čáru AB na dvě paprsek SA a SV. Tosca C se jmenuje začátek paprsku.

2. Jsou-li tři body, které neleží na stejné přímce, spojeny úsečkami, pak dostaneme obrazec tzv trojúhelník. Tyto body se nazývají vrcholy trojúhelník a segmenty, které je spojují strany trojúhelník (obrázek 5). FNM - trojúhelník, úsečky FN, NM, FM - strany trojúhelníku, body F, N, M - vrcholy trojúhelníku. Strany všech trojúhelníků mají následující vlastnosti: d Délka libovolné strany trojúhelníku je vždy menší než součet délek jeho dalších dvou stran.

Pokud mentálně roztáhnete například povrch desky stolu do všech stran, získáte představu letadlo. Body, segmenty, přímky, paprsky jsou umístěny v rovině (obrázek 6).

Blok 1. Další

Svět, ve kterém žijeme, vše, co nás obklopuje, prastaré nazývané příroda nebo vesmír. Prostor, ve kterém žijeme, je považován za trojrozměrný, tzn. má tři rozměry. Často se nazývají: délka, šířka a výška (například délka místnosti je 4 m, šířka místnosti je 2 m a výška je 3 m).

Myšlenku geometrického (matematického) bodu nám dává hvězda na noční obloze, tečka na konci této věty, značka z jehly atd. Všechny uvedené objekty však mají rozměry, naproti tomu rozměry geometrického bodu jsou považovány za rovné nule (jeho rozměry jsou rovné nule). Skutečný matematický bod si proto lze představit pouze mentálně. Můžete také zjistit, kde se nachází. Umístěním bodu do sešitu s plnicím perem nebudeme znázorňovat geometrický bod, ale budeme předpokládat, že sestrojený objekt je geometrický bod (obrázek 6). Body jsou označeny velkými písmeny latinské abecedy: A, B, C, D, (čti " bod a, bod be, bod tse, bod de") (Obrázek 7).

Dráty visící na tyčích, viditelná linie horizontu (hranice mezi nebem a zemí nebo vodou), koryto řeky zobrazené na mapě, gymnastický obruč, proud vody tryskající z fontány nám dávají představu o liniích.

Existují uzavřené a otevřené čáry, hladké a nehladké čáry, čáry s vlastním průnikem a bez něj (obrázky 8 a 9).

List papíru, laserový disk, skořepina fotbalového míče, karton, vánoční plastová maska ​​atd. dejte nám představu povrchy(Obrázek 10). Při natírání podlahy pokoje nebo automobilu je povrch podlahy nebo automobilu pokryt barvou.

Lidské tělo, kámen, cihla, sýr, koule, ledový rampouch atd. dejte nám představu geometrický těles (obrázek 11).

Nejjednodušší ze všech linek je je to rovné. Položte pravítko na list papíru a nakreslete podél něj tužkou rovnou čáru. Mentálním prodloužením této linie do nekonečna v obou směrech získáme představu o přímce. Předpokládá se, že přímka má jeden rozměr - délku a její další dva rozměry se rovnají nule (obrázek 12).

Při řešení problémů je přímka zobrazena jako čára nakreslená podél pravítka tužkou nebo křídou. Přímé čáry jsou označeny malými latinskými písmeny: a, b, n, m (obrázek 13). Přímku můžete také označit dvěma písmeny odpovídajícími bodům, které na ní leží. Například rovnou n na obrázku 13 můžeme označit: AB nebo VA, ADneboDA,DB nebo BD.

Body mohou ležet na přímce (patřit k přímce) nebo nelehat na přímce (nepatřit k přímce). Obrázek 13 ukazuje body A, D, B ležící na přímce AB (patřící k přímce AB). Přitom píšou. Čtěte: bod A patří přímce AB, bod B patří AB, bod D patří AB. Bod D patří také do přímky m, je tzv Všeobecné tečka. V bodě D se přímky AB a m protnou. Body P a R nepatří k přímkám AB a m:

Vždy přes libovolné dva body můžete nakreslit rovnou čáru a pouze jednu .

Ze všech typů čar spojujících libovolné dva body má segment, jehož konce jsou tyto body, nejkratší délku (obrázek 14).

Obrazec, který se skládá z bodů a segmentů, které je spojují, se nazývá přerušovaná čára (Obrázek 15). Segmenty, které tvoří přerušovanou čáru, se nazývají Odkazy přerušovaná čára a jejich konce - vrcholy přerušovaná čára Přerušovaná čára je pojmenována (označena) uvedením všech jejích vrcholů v pořadí, například přerušovaná čára ABCDEFG. Délka přerušované čáry je součtem délek jejích článků. To znamená, že délka přerušované čáry ABCDEFG je rovna součtu: AB + BC + CD + DE + EF + FG.

Uzavřená přerušovaná čára se nazývá polygon, jeho vrcholy se nazývají vrcholy mnohoúhelníku a jeho odkazy strany mnohoúhelník (obrázek 16). Polygon je pojmenován (označen) seznamem všech jeho vrcholů v pořadí, počínaje libovolným, například polygon (sedmiúhelník) ABCDEFG, mnohoúhelník (pentagon) RTPKL:

Nazývá se součet délek všech stran mnohoúhelníku obvod mnohoúhelník a značí se lat dopisp(číst: pe). Obvody polygonů na obrázku 13:

P ABCDEFG = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GA.

P RTPKL = RT + TP + PK + KL + LR.

Mentálním rozšířením povrchu desky stolu nebo okenního skla do nekonečna ve všech směrech získáme představu o povrchu, který se nazývá letadlo (Obrázek 17). Letadla jsou označena malými písmeny řecké abecedy: α, β, γ, δ, ... (čteme: rovina alfa, beta, gama, delta atd.).

Blok 2. Slovní zásoba.

Vytvořte si slovník nových pojmů a definic z §2. Chcete-li to provést, zadejte slova ze seznamu výrazů níže do prázdných řádků tabulky. V tabulce 2 uveďte čísla termínů v souladu s čísly řádků. Před vyplněním slovníku se doporučuje pečlivě prostudovat §2 a zablokovat 2.1.

Blok 3. Navazujte korespondenci (CS).

Geometrické obrazce.

Blok 4. Autotest.

Měření segmentu pomocí pravítka.

Připomeňme, že změřit úsečku AB v centimetrech znamená porovnat ji s úsečkou dlouhou 1 cm a zjistit, kolik se takových 1 cm úseček vejde do úsečky AB. Chcete-li změřit segment v jiných jednotkách délky, postupujte stejným způsobem.

Pro splnění úkolů pracujte podle plánu uvedeného v levém sloupci tabulky. V tomto případě doporučujeme zakrýt pravý sloupec listem papíru. Poté můžete svá zjištění porovnat s řešeními v tabulce vpravo.

Blok 5. Stanovení sledu akcí (SE).

Konstrukce segmentu dané délky.

Možnost 1. Tabulka obsahuje smíšený algoritmus (smíšené pořadí akcí) pro konstrukci segmentu dané délky (postavme například segment BC = 7 cm). V levém sloupci je označení akce, v pravém sloupci výsledek této akce. Uspořádejte řádky tabulky tak, abyste získali správný algoritmus pro konstrukci segmentu dané délky. Zapište si správný sled akcí.

Možnost 2. Následující tabulka ukazuje algoritmus pro konstrukci segmentu KM = n cm, kde místo n Můžete nahradit libovolné číslo. V této možnosti neexistuje žádná korespondence mezi akcí a výsledkem. Proto je nutné stanovit posloupnost akcí a poté pro každou akci vybrat její výsledek. Odpověď napište ve tvaru: 2a, 1c, 4b atd.

Možnost 3. Pomocí algoritmu možnosti 2 sestrojte v poznámkovém bloku segmenty o rozměrech n = 3 cm, n = 10 cm, n = 12 cm.

Blok 6. Fazetový test.

Úsek, paprsek, přímka, rovina.

V úlohách fasetového testu se z nich tvoří obrázky a záznamy očíslované 1 - 12, uvedené v tabulce 1. Úkolová data. Poté se k nim přidávají požadavky úloh, které se v testu umisťují za spojovací slovo „TO“. Odpovědi na problémy jsou umístěny za slovem „ROVNÉ“. Sada úloh je uvedena v tabulce 2. Například úloha 6.15.19 je složena následovně: „POKUD problém používá obrázek 6 , s Pak se k tomu přidá podmínka číslo 15, požadavek úkolu je číslo 19.“

13) sestrojte čtyři body tak, aby žádné tři neležely na stejné přímce;

14) nakreslete přímku skrz každé dva body;

15) mentálně rozšířit každý z povrchů krabice ve všech směrech do nekonečna;

16) počet různých segmentů na obrázku;

17) počet různých paprsků na obrázku;

18) počet různých rovných čar na obrázku;

19) počet získaných různých rovin;

20) délka segmentu AC v centimetrech;

21) délka úseku AB v kilometrech;

22) délka segmentu DC v metrech;

23) obvod trojúhelníku PRQ;

24) délka přerušované čáry QPRMN;

25) podíl obvodů trojúhelníků RMN a PRQ;

26) délka segmentu ED;

27) délka segmentu BE;

28) počet výsledných průsečíků čar;

29) počet výsledných trojúhelníků;

30) počet částí, na které bylo letadlo rozděleno;

31) obvod mnohoúhelníku vyjádřený v metrech;

32) obvod mnohoúhelníku vyjádřený v decimetrech;

33) obvod mnohoúhelníku vyjádřený v centimetrech;

34) obvod mnohoúhelníku vyjádřený v milimetrech;

35) obvod mnohoúhelníku vyjádřený v kilometrech;

EQUAL (rovná se, má tvar):

a) 70; b) 4; c) 217; d) 8; e) 20; e) 10; g) 8°b; h) 800°b; i) 8000 ∙b; j) 80°b; k) 63000; m) 63; m) 63000000; o) 3; n) 6; p) 630 000; c) 6300000; t) 7; y) 5; t) 22; x) 28

Blok 7. Pojďme si hrát.

7.1. Matematický labyrint.

Labyrint se skládá z deseti místností po třech dveřích. V každé z místností je jeden geometrický objekt (je nakreslen na stěně místnosti). Informace o tomto objektu jsou v „průvodci“ labyrintem. Při jejím čtení je potřeba zajít do místnosti, o které se píše v průvodci. Když budete procházet místnostmi labyrintu, nakreslete si svou trasu. Poslední dva pokoje mají východy.

Průvodce labyrintem

1. Do labyrintu musíte vstoupit místností, kde je geometrický objekt, který nemá začátek, ale má dva konce.
2. Geometrický objekt této místnosti nemá žádné rozměry, je jako vzdálená hvězda na noční obloze.
3. Geometrický objekt této místnosti je složen ze čtyř segmentů, které mají tři společné body.
4. Tento geometrický objekt se skládá ze čtyř segmentů se čtyřmi společnými body.
5. Tato místnost obsahuje geometrické objekty, z nichž každý má začátek, ale žádný konec.
6. Zde jsou dva geometrické objekty, které nemají začátek ani konec, ale mají jeden společný bod.

1. Představa tohoto geometrického objektu je dána letem dělostřeleckých granátů

(dráha pohybu).

1. Tato místnost obsahuje geometrický objekt se třemi vrcholy, které však nejsou horské

1. Let bumerangu dává představu o tomto geometrickém objektu (lov

zbraně původních obyvatel Austrálie). Ve fyzice se tato přímka nazývá trajektorie

pohyby těla.

1. Představa tohoto geometrického objektu je dána hladinou jezera v

klidné počasí.

Nyní můžete opustit bludiště.

Bludiště obsahuje geometrické objekty: rovina, otevřená čára, přímka, trojúhelník, bod, uzavřená čára, přerušovaná čára, segment, paprsek, čtyřúhelník.

7.2. Obvod geometrických tvarů.

Na výkresech zvýrazněte geometrické tvary: trojúhelníky, čtyřúhelníky, pětiúhelníky a šestiúhelníky. Pomocí pravítka (v milimetrech) určete obvody některých z nich.

7.3. Reléový závod geometrických objektů.

Úlohy relé mají prázdné rámce. Zapište do nich chybějící slovo. Poté přesuňte toto slovo do jiného rámečku, kam ukazuje šipka. V tomto případě můžete změnit velikost tohoto slova. Jak budete procházet fázemi štafety, dokončete požadované formace. Pokud štafetu dokončíte správně, dostanete na konci následující slovo: obvod.

7.4. Síla geometrických objektů.

Přečtěte si § 2, vypište z jeho textu názvy geometrických objektů. Poté zapište tato slova do prázdných buněk „pevnosti“.