Integrály pro figuríny: jak řešit, pravidla výpočtu, vysvětlení. Základní metody integrace Tabulka elementárních integrálů

Definice 1

Primitivní funkce $F(x)$ pro funkci $y=f(x)$ na segmentu $$ je funkce, která je diferencovatelná v každém bodě tohoto segmentu a pro její derivaci platí následující rovnost:

Definice 2

Množina všech primitivních funkcí dané funkce $y=f(x)$, definovaných na určitém segmentu, se nazývá neurčitý integrál dané funkce $y=f(x)$. Neurčitý integrál se značí symbolem $\int f(x)dx $.

Z tabulky derivací a Definice 2 získáme tabulku základních integrálů.

Příklad 1

Ověřte si platnost vzorce 7 z tabulky integrálů:

\[\int tgxdx =-\ln |\cos x|+C,\, \, C=konst.\]

Rozlišme pravou stranu: $-\ln |\cos x|+C$.

\[\left(-\ln |\cos x|+C\right)"=-\frac(1)(\cos x) \cdot (-\sin x)=\frac(\sin x)(\cos x) =tgx\]

Příklad 2

Zkontrolujte platnost vzorce 8 z tabulky integrálů:

\[\int ctgxdx =\ln |\sin x|+C,\, \, C=konst.\]

Rozlišme pravou stranu: $\ln |\sin x|+C$.

\[\left(\ln |\sin x|\right)"=\frac(1)(\sin x) \cdot \cos x=ctgx\]

Ukázalo se, že derivace je rovna integrandu. Proto je vzorec správný.

Příklad 3

Zkontrolujte platnost vzorce 11" z tabulky integrálů:

\[\int \frac(dx)(a^(2) +x^(2) ) =\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C,\, \, C=konst .\]

Rozlišme pravou stranu: $\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C$.

\[\left(\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(a) \cdot \frac(1)(1+\left( \frac(x)(a) \right)^(2) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(1)(a^(2) ) \cdot \frac(a^(2) ) (a^(2) +x^(2) ) \]

Ukázalo se, že derivace je rovna integrandu. Proto je vzorec správný.

Příklad 4

Ověřte si platnost vzorce 12 z tabulky integrálů:

\[\int \frac(dx)(a^(2) -x^(2) ) =\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+ C,\, \, C=konst.\]

Rozlišme pravou stranu: $\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C$.

$\left(\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C\right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac( 1)(\frac(a+x)(a-x) ) \cdot \left(\frac(a+x)(a-x) \right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)( a+x) \cdot \frac(a-x+a+x)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)(a+x) \cdot \ frac(2a)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(a^(2) -x^(2) ) $Ukázalo se, že derivace je rovna integrandu. Proto je vzorec správný.

Příklad 5

Zkontrolujte platnost vzorce 13" z tabulky integrálů:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) =\arcsin \frac(x)(a) +C,\, \, C=konst.\]

Rozlišme pravou stranu: $\arcsin \frac(x)(a) +C$.

\[\left(\arcsin \frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(\sqrt(1-\left(\frac(x)(a) \right)^(2 ) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(a)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac( 1)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \]

Ukázalo se, že derivace je rovna integrandu. Proto je vzorec správný.

Příklad 6

Ověřte si platnost vzorce 14 z tabulky integrálů:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) =\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+ C ,\, \, C=konst.\]

Rozlišme pravou stranu: $\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C$.

\[\left(\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C\right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \cdot \left(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \ pm a^(2) ) \cdot \left(1+\frac(1)(2\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot 2x\right)=\] \[ =\ frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \cdot \frac(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) +x)( \sqrt( x^(2) \pm a^(2) ) =\frac(1)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \]

Ukázalo se, že derivace je rovna integrandu. Proto je vzorec správný.

Příklad 7

Najděte integrál:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx.\]

Použijme větu o součtu integrálu:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx .\]

Použijme větu o umístění konstantního faktoru mimo znaménko integrálu:

\[\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx =\int \cos (3x+2)dx +5\int xdx .\]

Podle tabulky integrálů:

\[\int \cos x dx=\sin x+C;\] \[\int xdx =\frac(x^(2) )(2) +C.\]

Při výpočtu prvního integrálu použijeme pravidlo 3:

\[\int \cos (3x+2) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) .\]

Proto,

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) +\frac(5x^(2) )(2) +C_(2) =\frac(1)(3) \sin (3x+2)+\frac(5x^(2) )(2) +C,\, \, C=C_(1 ) +C_(2) \]

Řešení integrálů je snadný úkol, ale jen pro pár vyvolených. Tento článek je pro ty, kteří se chtějí naučit rozumět integrálům, ale nevědí o nich nic nebo téměř nic. Integrální... Proč je to potřeba? Jak to vypočítat? Co jsou to určité a neurčité integrály?

Pokud jediné použití, které znáte pro integrál, je použití háčku ve tvaru integrální ikony, abyste získali něco užitečného z těžko dostupných míst, pak vítejte! Zjistěte, jak řešit nejjednodušší a další integrály a proč se bez toho v matematice neobejdete.

Studujeme koncept « integrální »

Integrace byla známá již ve starověkém Egyptě. Samozřejmě ne ve své moderní podobě, ale přece. Od té doby matematici napsali mnoho knih na toto téma. Zvláště se vyznamenali Newton A Leibniz , ale podstata věcí se nezměnila.

Jak porozumět integrálům od začátku? V žádném případě! K pochopení tohoto tématu budete stále potřebovat základní znalosti základů matematické analýzy. Na našem blogu již máme informace o , nezbytné pro pochopení integrálů.

Neurčitý integrál

Pojďme mít nějakou funkci f(x) .

Neurčitá integrální funkce f(x) tato funkce se nazývá F(x) , jehož derivace se rovná funkci f(x) .

Jinými slovy, integrál je derivace obrácená nebo primitivní. Ostatně, o tom si přečtěte v našem článku.

Pro všechny spojité funkce existuje primitivní funkce. K primitivní derivaci se také často přidává konstantní znaménko, protože derivace funkcí, které se liší konstantou, se shodují. Proces hledání integrálu se nazývá integrace.

Jednoduchý příklad:

Abychom neustále nepočítali primitivní funkce elementárních funkcí, je vhodné je dát do tabulky a použít hotové hodnoty.

Kompletní tabulka integrálů pro studenty

Určitý integrál

Když se zabýváme pojmem integrál, máme co do činění s nekonečně malými veličinami. Integrál pomůže vypočítat plochu postavy, hmotnost nejednotného těla, vzdálenost ujetou při nerovnoměrném pohybu a mnoho dalšího. Je třeba si uvědomit, že integrál je součtem nekonečně velkého počtu nekonečně malých členů.

Jako příklad si představte graf nějaké funkce.

Jak najít oblast obrázku ohraničenou grafem funkce? Pomocí integrálu! Rozdělme křivočarý lichoběžník, omezený souřadnicovými osami a grafem funkce, na nekonečně malé segmenty. Tímto způsobem bude obrázek rozdělen do tenkých sloupců. Součet ploch sloupců bude plocha lichoběžníku. Pamatujte však, že takový výpočet poskytne přibližný výsledek. Čím menší a užší segmenty však budou, tím přesnější bude výpočet. Pokud je zmenšíme do takové míry, že délka bude mít tendenci k nule, pak součet ploch segmentů bude mít tendenci k ploše obrázku. Toto je určitý integrál, který se zapisuje takto:

Body aab se nazývají limity integrace.

« Integrální »

Mimochodem! Pro naše čtenáře je nyní sleva 10 %.

Pravidla pro výpočet integrálů pro figuríny

Vlastnosti neurčitého integrálu

Jak vyřešit neurčitý integrál? Zde se podíváme na vlastnosti neurčitého integrálu, které se budou hodit při řešení příkladů.

• Derivace integrálu se rovná integrandu:

• Konstantu lze vyjmout pod znaménkem integrálu:

• Integrál součtu se rovná součtu integrálů. To platí i pro rozdíl:

Vlastnosti určitého integrálu

• Linearita:

• Znaménko integrálu se změní, pokud se meze integrace prohodí:

• Na žádný body A, b A S:

Už jsme zjistili, že určitý integrál je limita součtu. Jak ale získat konkrétní hodnotu při řešení příkladu? K tomu existuje Newton-Leibnizův vzorec:

Příklady řešení integrálů

Níže budeme uvažovat o neurčitém integrálu a příkladech s řešením. Navrhujeme, abyste sami přišli na složitost řešení, a pokud je něco nejasné, zeptejte se v komentářích.

Pro posílení materiálu se podívejte na video o tom, jak se integrály řeší v praxi. Nezoufejte, pokud není integrál uveden hned. Kontaktujte profesionální servis pro studenty a jakýkoli trojitý nebo zakřivený integrál nad uzavřeným povrchem bude ve vašich silách.

Hlavní integrály, které by měl znát každý student

Uvedené integrály jsou základem, základem základů. Tyto vzorce by se rozhodně měly pamatovat. Při počítání složitějších integrálů je budete muset neustále používat.

Zvláštní pozornost věnujte vzorcům (5), (7), (9), (12), (13), (17) a (19). Nezapomeňte při integraci do své odpovědi přidat libovolnou konstantu C!

Integrál konstanty

Integrace funkce napájení

Ve skutečnosti bylo možné se omezit pouze na vzorce (5) a (7), ale zbytek integrálů z této skupiny se vyskytuje tak často, že stojí za to jim věnovat trochu pozornosti.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | +C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Integrály exponenciálních funkcí a hyperbolických funkcí

Vzorec (8) (možná nejvhodnější pro zapamatování) lze samozřejmě považovat za speciální případ vzorce (9). Vzorce (10) a (11) pro integrály hyperbolického sinusu a hyperbolického kosinus lze snadno odvodit ze vzorce (8), ale je lepší si tyto vztahy jednoduše zapamatovat.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Základní integrály goniometrických funkcí

Chybou, kterou studenti často dělají, je, že si pletou znaménka ve vzorcích (12) a (13). Vzhledem k tomu, že derivace sinu je rovna kosinu, z nějakého důvodu mnoho lidí věří, že integrál funkce sinx je roven cosx. To není pravda! Integrál sinusu se rovná „minus kosinus“, ale integrál cosx se rovná „pouze sinus“:

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)

Integrály redukující na inverzní goniometrické funkce

Vzorec (16), vedoucí k arkustangens, je přirozeně speciálním případem vzorce (17) pro a=1. Podobně (18) je speciální případ (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

Složitější integrály

Také je vhodné si tyto vzorce zapamatovat. Používají se také poměrně často a jejich výstup je poměrně zdlouhavý.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)

Obecná pravidla integrace

1) Integrál součtu dvou funkcí je roven součtu odpovídajících integrálů: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Integrál rozdílu dvou funkcí je roven rozdílu odpovídajících integrálů: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) Konstantu lze vyjmout ze znaménka integrálu: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

Je snadné vidět, že vlastnost (26) je jednoduše kombinací vlastností (25) a (27).

4) Integrál komplexní funkce, je-li vnitřní funkce lineární: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Zde F(x) je primitivní funkce pro funkci f(x). Poznámka: tento vzorec funguje pouze tehdy, když je vnitřní funkce Ax + B.

Důležité: neexistuje žádný univerzální vzorec pro integrál součinu dvou funkcí, stejně jako pro integrál zlomku:

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (třicet)

To samozřejmě neznamená, že zlomek nebo produkt nelze integrovat. Prostě pokaždé, když uvidíte integrál jako (30), budete muset vymyslet způsob, jak s ním „bojovat“. V některých případech vám pomůže integrace po částech, v jiných budete muset provést změnu proměnné a někdy mohou pomoci i „školní“ vzorce algebry nebo trigonometrie.

Jednoduchý příklad výpočtu neurčitého integrálu

Použijme vzorce (25) a (26) (integrál součtu nebo rozdílu funkcí se rovná součtu nebo rozdílu odpovídajících integrálů. Získáme: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

Připomeňme, že konstantu lze vyjmout ze znaménka integrálu (vzorec (27)). Výraz se převede do formy

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e ​​​​x d x + 12 ∫ 1 d x

Teď už jen použijeme tabulku základních integrálů. Budeme muset použít vzorce (3), (12), (8) a (1). Pojďme integrovat mocninnou funkci, sinus, exponenciální a konstantu 1. Nezapomeňte na konec přidat libovolnou konstantu C:

3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Po elementárních transformacích dostaneme konečnou odpověď:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Otestujte se derivováním: vezměte derivaci výsledné funkce a ujistěte se, že je rovna původnímu integrandu.

Souhrnná tabulka integrálů

Stáhněte si tabulku integrálů (část II) z tohoto odkazu

Pokud studujete na vysoké škole, pokud máte potíže s vyšší matematikou (matematická analýza, lineární algebra, teorie pravděpodobnosti, statistika), pokud potřebujete služby kvalifikovaného učitele, přejděte na stránku vyššího učitele matematiky. Společně vyřešíme vaše problémy!

Také by vás mohlo zajímat

Tabulka primitivních prvků ("integrálů"). Tabulka integrálů. Tabulkové neurčité integrály. (Nejjednodušší integrály a integrály s parametrem). Vzorce pro integraci po částech. Newtonův-Leibnizův vzorec.

Vzorce pro integraci po částech. Integrační pravidla.

Tabulka derivátů. Tabulkové deriváty. Derivát produktu. Derivace kvocientu. Derivace komplexní funkce.

Pokud je x nezávislá proměnná, pak:

Vlastnosti logaritmů. Základní vzorce pro logaritmy. Desetinné (lg) a přirozené logaritmy (ln).

Přirozený logaritmus ln (logaritmus k základu e = 2,718281828459045...) ln(e)=1; log(1)=0

Taylorova řada. Taylorova řada rozšíření funkce.

Ukazuje se, že většina prakticky setkali matematické funkce mohou být reprezentovány s libovolnou přesností v okolí určitého bodu ve formě mocninných řad obsahujících mocniny proměnné v rostoucím pořadí. Například v blízkosti bodu x=1:

Při použití série tzv Taylorovy řady smíšené funkce obsahující řekněme algebraické, goniometrické a exponenciální funkce lze vyjádřit jako čistě algebraické funkce. Pomocí řad můžete často rychle provádět diferenciaci a integraci.

Taylorova řada v okolí bodu a má tvar:

1) , kde f(x) je funkce, která má derivace všech řádů v x=a. R n - zbytek v Taylorově řadě je určen výrazem

2)

K-tý koeficient (při x k) řady je určen vzorcem

3) Speciálním případem Taylorovy řady je řada Maclaurin (=McLaren). (rozšíření nastává kolem bodu a=0)

při a=0

členy řady jsou určeny vzorcem

Podmínky použití Taylorovy řady.

1. Aby funkce f(x) mohla být rozšířena na Taylorovu řadu na intervalu (-R;R), je nutné a postačující, aby zbývající člen v Taylorově (Maclaurinově (=McLaren)) vzorci pro toto funkce má tendenci k nule jako k →∞ na zadaném intervalu (-R;R).

2. Je nutné, aby v bodě, v jehož blízkosti budeme konstruovat Taylorovu řadu, byly pro danou funkci derivace.

Vlastnosti Taylorovy řady.

Je-li f analytická funkce, pak její Taylorova řada v libovolném bodě a v oboru definice f konverguje k f v nějakém okolí a.

Existují nekonečně diferencovatelné funkce, jejichž Taylorova řada konverguje, ale zároveň se liší od funkce v libovolném okolí a. Například:

Taylorovy řady se používají při aproximaci (aproximace je vědecká metoda, která spočívá v nahrazení některých objektů jinými, v tom či onom smyslu blízkými původním, ale jednodušším) funkce polynomy. Zejména linearizace ((z linearis - lineární), jedna z metod přibližné reprezentace uzavřených nelineárních systémů, ve které je studium nelineárního systému nahrazeno analýzou lineárního systému, v jistém smyslu ekvivalentního původnímu systému. .) rovnice nastává rozšířením do Taylorovy řady a odříznutím všech členů nad prvním řádem.

Téměř každá funkce tedy může být reprezentována jako polynom s danou přesností.

Příklady některých běžných rozšíření mocninných funkcí v Maclaurinových řadách (=McLaren, Taylor v okolí bodu 0) a Taylor v okolí bodu 1. První členy rozvoje hlavních funkcí v Taylorových a McLarenových řadách.

Příklady některých běžných rozšíření mocninných funkcí v Maclaurinových řadách (=McLaren, Taylor v blízkosti bodu 0)

Příklady některých běžných rozšíření Taylorovy řady v blízkosti bodu 1

Přímá integrace pomocí tabulky primitivních prvků (tabulka neurčitých integrálů)

Tabulka primitivních derivátů

Použijeme-li vlastnosti neurčitého integrálu, můžeme najít primitivní derivaci ze známého diferenciálu funkce. Z tabulky základních elementárních funkcí pomocí rovností ∫ d F (x) = ∫ F " (x) d x = ∫ f (x) d x = F (x) + C a ∫ k f (x) d x = k ∫ f (x) d x můžeme vytvořit tabulku primitivních derivátů.

Napišme tabulku derivací ve tvaru diferenciálů.

Ilustrujme výše uvedené na příkladu. Najděte neurčitý integrál mocninné funkce f (x) = x p.

Podle tabulky diferenciálů d (x p) = p · x p - 1 · d x. Podle vlastností neurčitého integrálu máme ∫ d (x p) = ∫ p · x p - 1 · d x = p · ∫ x p - 1 · d x = x p + C . Proto ∫ x p - 1 · d x = x p p + C p , p ≠ 0. Druhá verze záznamu je následující: ∫ x p · d x = x p + 1 p + 1 + C p + 1 = x p + 1 p + 1 + C1, p ≠-1.

Vezměme ji rovnou - 1 a najdeme množinu primitivních funkcí mocninné funkce f (x) = x p: ∫ x p · d x = ∫ x - 1 · d x = ∫ d x x .

Nyní potřebujeme tabulku diferenciálů pro přirozený logaritmus d (ln x) = d x x, x > 0, tedy ∫ d (ln x) = ∫ d x x = ln x. Proto ∫ d x x = ln x , x > 0 .

Tabulka primitivních prvků (neurčité integrály)

Levý sloupec tabulky obsahuje vzorce, které se nazývají základní primitivní. Vzorce v pravém sloupci nejsou základní, ale lze je použít k nalezení neurčitých integrálů. Lze je zkontrolovat diferenciací.

Přímá integrace

K provedení přímé integrace použijeme tabulky primitivních funkcí, integrační pravidla ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C a také vlastnosti neurčitých integrálů ∫ k f (x) d x = k · ∫ f (x) d x ∫ (f (x) ± g (x)) d x = ∫ f (x) d x ± ∫ g (x) d x

Tabulku základních integrálů a vlastností integrálů lze použít až po snadné transformaci integrandu.

Příklad 1

Pojďme najít integrál ∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x

Řešení

Odebereme koeficient 3 pod znaménkem integrálu:

∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x

Pomocí trigonometrických vzorců transformujeme integrandovou funkci:

3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 2 + 2 sin x 2 cos x 2 + cos x 2 2 d x = = 3 ∫ 1 + 2 sin x 2 cos x 2 d x = 3 ∫ 1 + hřích x d x

Protože integrál součtu je roven součtu integrálů, pak
3 ∫ 1 + hřích x d x = 3 ∫ 1 d x + ∫ hřích x d x

Použijeme údaje z tabulky primitivních derivátů: 3 ∫ 1 d x + ∫ sin x d x = 3 (1 x + C 1 - cos x + C 2) = = prázdný 3 C 1 + C 2 = C = 3 x - 3 cos x + C

Odpovědět:∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 x - 3 cos x + C .

Příklad 2

Je potřeba najít množinu primitivních funkcí funkce f (x) = 2 3 4 x - 7 .

Řešení

Pro exponenciální funkci použijeme tabulku primitivních funkcí: ∫ a x · d x = a x ln a + C . To znamená, že ∫ 2 x · d x = 2 x ln 2 + C .

Použijeme integrační pravidlo ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C .

Dostaneme ∫ 2 3 4 x - 7 · d x = 1 3 4 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C = 4 3 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C .

Odpověď: f (x) = 2 3 4 x - 7 = 4 3 2 3 4 x - 7 ln 2 + C

Pomocí tabulky primitivních funkcí, vlastností a pravidla integrace můžeme najít spoustu neurčitých integrálů. To je možné v případech, kdy je možné transformovat integrand.

K nalezení integrálu logaritmické funkce, tangens a kotangens funkcí a řady dalších se používají speciální metody, kterým se budeme věnovat v části „Základní metody integrace“.

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter