Vzorec pro tečnu ke grafu funkce. Rovnice tečny ke grafu funkce. Komplexní průvodce (2019)

Tečna je přímka , který se v jednom bodě dotýká grafu funkce a jehož všechny body jsou v nejkratší vzdálenosti od grafu funkce. Proto tečna prochází tečnou ke grafu funkce pod určitým úhlem a několik tečen pod různými úhly nemůže procházet bodem tečnosti. Tečné rovnice a normální rovnice ke grafu funkce jsou konstruovány pomocí derivace.

Rovnice tečny je odvozena z rovnice přímky .

Odvoďme rovnici tečny a potom rovnici normály ke grafu funkce.

y = kx + b .

V něm k- úhlový koeficient.

Odtud dostaneme následující záznam:

y - y 0 = k(X - X 0 ) .

Hodnota derivátu F "(X 0 ) funkcí y = F(X) na místě X0 rovný sklonu k= tg φ tečna ke grafu funkce nakreslené bodem M0 (X 0 , y 0 ) , Kde y0 = F(X 0 ) . Tohle je geometrický význam derivace .

Můžeme tedy nahradit k na F "(X 0 ) a získejte následující rovnice tečny ke grafu funkce :

y - y 0 = F "(X 0 )(X - X 0 ) .

V problémech zahrnujících skládání rovnice tečny ke grafu funkce (a brzy k nim přejdeme), je nutné rovnici získanou z výše uvedeného vzorce redukovat na rovnice přímky v obecném tvaru. Chcete-li to provést, musíte přesunout všechna písmena a čísla na levou stranu rovnice a ponechat nulu na pravé straně.

Nyní o normální rovnici. Normální - to je přímka procházející bodem tečnosti ke grafu funkce kolmá na tečnu. Normální rovnice :

(X - X 0 ) + F "(X 0 )(y - y 0 ) = 0

Pro zahřátí jste požádáni, abyste sami vyřešili první příklad a poté se podívali na řešení. Máme všechny důvody doufat, že tento úkol nebude pro naše čtenáře „studenou sprchou“.

Příklad 0. Vytvořte tečnou rovnici a normální rovnici pro graf funkce v bodě M (1, 1) .

Příklad 1 Napište tečnou rovnici a normálovou rovnici pro graf funkce , je - li úsečka tečnou .

Pojďme najít derivaci funkce:

Nyní máme vše, co je potřeba dosadit do zadání uvedeného v teoretické nápovědě, abychom dostali tečnou rovnici. Dostaneme

V tomto příkladu jsme měli štěstí: sklon se ukázal jako nulový, takže nebylo nutné rovnici samostatně redukovat na její obecný tvar. Nyní můžeme vytvořit normální rovnici:

Na obrázku níže: graf funkce je vínový, tečna je zelená, normála je oranžová.

Další příklad také není složitý: funkce, stejně jako v předchozím, je také polynom, ale směrnice nebude rovna nule, takže se přidá ještě jeden krok - uvedení rovnice do obecného tvaru.

Příklad 2

Řešení. Najdeme pořadnici tečného bodu:

Pojďme najít derivaci funkce:

.

Najdeme hodnotu derivace v bodě tečnosti, tedy ve sklonu tečny:

Všechna získaná data dosadíme do „prázdného vzorce“ a dostaneme rovnici tečny:

Přivedeme rovnici do její obecné podoby (na levé straně shromáždíme všechna písmena a čísla kromě nuly a napravo ponecháme nulu):

Sestavíme normální rovnici:

Příklad 3 Napište rovnici tečny a rovnici normály do grafu funkce, je-li úsečka bodem tečnosti.

Řešení. Najdeme pořadnici tečného bodu:

Pojďme najít derivaci funkce:

.

Najdeme hodnotu derivace v bodě tečnosti, tedy ve sklonu tečny:

.

Najdeme tečnou rovnici:

Než rovnici převedete do jejího obecného tvaru, musíte ji trochu „učesat“: vynásobte člen po členu 4. Uděláme to a rovnici převedeme do obecného tvaru:

Sestavíme normální rovnici:

Příklad 4. Napište rovnici tečny a rovnici normály do grafu funkce, je-li úsečka bodem tečnosti.

Řešení. Najdeme pořadnici tečného bodu:

.

Pojďme najít derivaci funkce:

Najdeme hodnotu derivace v bodě tečnosti, tedy ve sklonu tečny:

.

Dostaneme tečnou rovnici:

Přivedeme rovnici do jejího obecného tvaru:

Sestavíme normální rovnici:

Častou chybou při psaní tečných a normálních rovnic je nevšimnout si, že funkce uvedená v příkladu je komplexní, a vypočítat její derivaci jako derivaci jednoduché funkce. Následující příklady jsou již z komplexní funkce(příslušná lekce se otevře v novém okně).

Příklad 5. Napište rovnici tečny a rovnici normály do grafu funkce, je-li úsečka bodem tečnosti.

Řešení. Najdeme pořadnici tečného bodu:

Pozornost! Tato funkce je složitá, protože argument tečny (2 X) je sama o sobě funkcí. Proto najdeme derivaci funkce jako derivaci komplexní funkce.

Článek poskytuje podrobné vysvětlení definic, geometrický význam derivace s grafickými zápisy. Rovnice tečny bude uvažována na příkladech, budou nalezeny rovnice tečny ke křivkám 2. řádu.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definice 1

Úhel sklonu přímky y = k x + b se nazývá úhel α, který se měří od kladného směru osy x k přímce y = k x + b v kladném směru.

Na obrázku je směr x označen zelenou šipkou a zeleným obloukem a úhel sklonu červeným obloukem. Modrá čára odkazuje na přímku.

Definice 2

Sklon přímky y = k x + b se nazývá číselný koeficient k.

Úhlový koeficient je roven tečně přímky, jinými slovy k = t g α.

• Úhel sklonu přímky je roven 0, pouze pokud je rovnoběžná s x a sklon je roven nule, protože tečna nuly je rovna 0. To znamená, že tvar rovnice bude y = b.
• Pokud je úhel sklonu přímky y = k x + b ostrý, pak jsou splněny podmínky 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0 a v grafu je nárůst.
• Jestliže α = π 2, pak umístění přímky je kolmé na x. Rovnost je určena x = c, přičemž hodnota c je reálné číslo.
• Pokud je úhel sklonu přímky y = k x + b tupý, pak odpovídá podmínkám π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Sečna je přímka, která prochází 2 body funkce f (x). Jinými slovy, sečna je přímka, která prochází libovolnými dvěma body na grafu dané funkce.

Obrázek ukazuje, že A B je sečna a f (x) je černá křivka, α je červený oblouk, udávající úhel sklonu sečny.

Když je úhlový koeficient přímky roven tangenci úhlu sklonu, je jasné, že tečnu pravoúhlého trojúhelníku A B C lze najít poměrem protilehlé strany k sousední.

Definice 4

Získáme vzorec pro nalezení sekansu tvaru:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, kde úsečky bodů A a B jsou hodnoty x A, x B a f (x A), f (x B) jsou funkce hodnot v těchto bodech.

Je zřejmé, že úhlový koeficient sečny je určen pomocí rovnosti k = f (x B) - f (x A) x B - x A nebo k = f (x A) - f (x B) x A - x B , a rovnici je třeba zapsat jako y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) popř.
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B).

Sečna rozděluje graf vizuálně na 3 části: nalevo od bodu A, od A do B, napravo od B. Obrázek níže ukazuje, že existují tři sečny, které jsou považovány za shodné, to znamená, že jsou nastaveny pomocí a podobná rovnice.

Z definice je jasné, že přímka a její sečna se v tomto případě shodují.

Sečna může protínat graf dané funkce vícekrát. Pokud pro sečnu existuje rovnice tvaru y = 0, pak je počet průsečíků se sinusoidou nekonečný.

Definice 5

Tečna ke grafu funkce f (x) v bodě x 0 ; f (x 0) je přímka procházející daným bodem x 0; f (x 0), s přítomností segmentu, který má mnoho hodnot x blízkých x 0.

Příklad 1

Podívejme se blíže na níže uvedený příklad. Pak je jasné, že přímka definovaná funkcí y = x + 1 je považována za tečnu k y = 2 x v bodě se souřadnicemi (1; 2). Pro přehlednost je nutné uvažovat grafy s hodnotami blízkými (1; 2). Funkce y = 2 x je zobrazena černě, modrá čára je tečnou a červená tečka je průsečík.

Je zřejmé, že y = 2 x splyne s přímkou ​​y = x + 1.

Abychom určili tečnu, měli bychom zvážit chování tečny A B, když se bod B nekonečně přibližuje k bodu A Pro přehlednost uvádíme výkres.

Sečna A B, označená modrou čarou, směřuje k poloze samotné tečny a úhel sklonu sečny α se začne přiklánět k úhlu sklonu samotné tečny α x.

Definice 6

Tečna ke grafu funkce y = f (x) v bodě A je považována za limitní polohu sečny A B, protože B směřuje k A, tedy B → A.

Nyní přejdeme k uvažování o geometrickém významu derivace funkce v bodě.

Přejděme k uvažování sečny A B pro funkci f (x), kde A a B se souřadnicemi x 0, f (x 0) a x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) a ∆ x je označovaný jako přírůstek argumentu . Nyní bude mít funkce tvar ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Pro názornost uveďme příklad kresby.

Uvažujme výsledný pravoúhlý trojúhelník A B C. K řešení použijeme definici tečny, to znamená, že získáme vztah ∆ y ∆ x = t g α . Z definice tečny vyplývá, že lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Podle pravidla derivace v bodě máme, že derivace f (x) v bodě x 0 se nazývá limita poměru přírůstku funkce k přírůstku argumentu, kde ∆ x → 0 , pak to označíme jako f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Z toho vyplývá, že f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, kde k x je označena jako sklon tečny.

To znamená, že zjistíme, že f ' (x) může existovat v bodě x 0 a stejně jako tečna k danému grafu funkce v bodě tečnosti rovné x 0, f 0 (x 0), kde je hodnota sklon tečny v bodě je roven derivaci v bodě x 0 . Pak dostaneme, že k x = f " (x 0) .

Geometrický význam derivace funkce v bodě je ten, že dává představu o existenci tečny ke grafu ve stejném bodě.

Pro zapsání rovnice libovolné přímky v rovině je nutné mít úhlový koeficient s bodem, kterým prochází. Jeho zápis se bere jako x 0 v průsečíku.

Rovnice tečny ke grafu funkce y = f (x) v bodě x 0, f 0 (x 0) nabývá tvaru y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0).

To znamená, že konečná hodnota derivace f "(x 0) může určovat polohu tečny, tedy vertikálně, za předpokladu lim x → x 0 + 0 f "(x) = ∞ a lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ nebo vůbec nepřítomnost za podmínky lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .

Umístění tečny závisí na hodnotě jejího úhlového koeficientu k x = f "(x 0). Když je rovnoběžná s osou ox, dostaneme, že k k = 0, když je rovnoběžná s o y - k x = ∞, a tvar rovnice tečny x = x 0 roste s k x > 0, klesá jako k x< 0 .

Příklad 2

Sestavte rovnici pro tečnu ke grafu funkce y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 v bodě se souřadnicemi (1; 3) a určete úhel sklonu.

Řešení

Podle podmínky máme, že funkce je definována pro všechna reálná čísla. Zjistíme, že bod se souřadnicemi určenými podmínkou (1; 3) je bodem tečnosti, pak x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.

Je nutné najít derivaci v bodě s hodnotou -1. Chápeme to

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y" (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Hodnota f' (x) v bodě tečnosti je sklon tečny, který se rovná tečně sklonu.

Potom k x = t g α x = y" (x 0) = 3 3

Z toho vyplývá, že α x = a r c t g 3 3 = π 6

Odpovědět: tangensová rovnice má tvar

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

Pro názornost uvádíme příklad v grafickém znázornění.

Černá barva je použita pro graf původní funkce, modrá barva je obraz tečny a červená tečka je bod tečnosti. Obrázek vpravo ukazuje zvětšený pohled.

Příklad 3

Určete existenci tečny ke grafu dané funkce
y = 3 · x - 1 5 + 1 v bodě se souřadnicemi (1 ; 1) . Napište rovnici a určete úhel sklonu.

Řešení

Podle podmínky máme, že definiční obor dané funkce je považován za množinu všech reálných čísel.

Pojďme k nalezení derivace

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Pokud x 0 = 1, pak f' (x) není definováno, ale limity jsou zapsány jako lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ a lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , což znamená existence vertikální tečna v bodě (1; 1).

Odpovědět: rovnice bude mít tvar x = 1, kde úhel sklonu bude roven π 2.

Pro názornost si to znázorněme graficky.

Příklad 4

Najděte body na grafu funkce y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2, kde

1. Neexistuje žádná tečna;
2. Tečna je rovnoběžná s x;
3. Tečna je rovnoběžná s přímkou ​​y = 8 5 x + 4.

Řešení

Je třeba věnovat pozornost rozsahu definice. Podle podmínky máme, že funkce je definována na množině všech reálných čísel. Modul rozšíříme a vyřešíme soustavu s intervaly x ∈ - ∞ ; 2 a [-2; + ∞). Chápeme to

y = - 115 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176, x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12, x ∈ [ - 2; + ∞)

Je potřeba funkci odlišit. To máme

y" = -1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176", x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y" = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35), x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3, x ∈ [ - 2; + ∞)

Když x = − 2, pak derivace neexistuje, protože jednostranné limity nejsou v tomto bodě stejné:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Vypočteme hodnotu funkce v bodě x = - 2, kde to dostaneme

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, tedy tečna v bodě ( - 2; - 2) nebude existovat.
2. Tečna je rovnoběžná s x, když je sklon nulový. Potom k x = t g α x = f "(x 0). To znamená, že je nutné najít hodnoty takového x, když ho derivace funkce změní na nulu. Tedy hodnoty f ' (x) budou body tečnosti, kde je tečna rovnoběžná s x .

Když x ∈ - ∞ ; - 2, pak - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 a pro x ∈ (- 2; + ∞) dostaneme 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2; +∞

Vypočítejte odpovídající funkční hodnoty

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Proto - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 jsou považovány za požadované body grafu funkce.

Podívejme se na grafické znázornění řešení.

Černá čára je graf funkce, červené tečky jsou tečné body.

1. Když jsou čáry rovnoběžné, úhlové koeficienty jsou stejné. Poté je nutné na funkčním grafu hledat body, kde bude sklon rovna hodnotě 8 5. Chcete-li to provést, musíte vyřešit rovnici ve tvaru y "(x) = 8 5. Pak, pokud x ∈ - ∞; - 2, dostaneme, že - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, a pokud x ∈ ( - 2; + ∞), pak 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

První rovnice nemá kořeny, protože diskriminant je menší než nula. Pojďme si to zapsat

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Další rovnice má tedy dva skutečné kořeny

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2; +∞

Pojďme k nalezení hodnot funkce. Chápeme to

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Body s hodnotami - 1; 4 15, 5; 8 3 jsou body, ve kterých jsou tečny rovnoběžné s přímkou ​​y = 8 5 x + 4.

Odpovědět:černá čára – graf funkce, červená čára – graf y = 8 5 x + 4, modrá čára – tečny v bodech - 1; 4 15, 5; 8 3.

Pro dané funkce může existovat nekonečný počet tečen.

Příklad 5

Napište rovnice všech dostupných tečen funkce y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3, které jsou umístěny kolmo k přímce y = - 2 x + 1 2.

Řešení

Pro sestavení rovnice tečny je nutné najít koeficient a souřadnice tečného bodu na základě podmínky kolmosti přímek. Definice je následující: součin úhlových koeficientů, které jsou kolmé k přímkám, se rovná - 1, to znamená, že se zapisuje jako k x · k ⊥ = - 1. Z podmínky máme, že úhlový koeficient je umístěn kolmo k přímce a je roven k ⊥ = - 2, pak k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

Nyní musíte najít souřadnice dotykových bodů. Musíte najít x a poté jeho hodnotu pro danou funkci. Všimněte si, že z geometrického významu derivace v bodě
x 0 získáme, že k x = y "(x 0). Z této rovnosti zjistíme hodnoty x pro body dotyku.

Chápeme to

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 19

Tato trigonometrická rovnice bude použita k výpočtu souřadnic tečných bodů.

3 2 x 0 - π 4 = a rc sin - 1 9 + 2 πk nebo 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a rc sin 1 9 + 2 πk nebo 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a rc sin 1 9 + 2 πk nebo x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z je množina celých čísel.

bylo nalezeno x styčných bodů. Nyní musíte přejít k hledání hodnot y:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - hřích 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 nebo y 0 = 3 - 1 - hřích 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 nebo y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 nebo y 0 = - 4 5 + 1 3

Z toho dostaneme, že 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3, 2 3 5 π 4 + a rc sin 1 9 + 2 πk; - 4 5 + 1 3 jsou body tečnosti.

Odpovědět: potřebné rovnice budou zapsány jako

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a rc sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3, y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a rc sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Pro vizuální znázornění zvažte funkci a tečnu na souřadnicové čáře.

Obrázek ukazuje, že funkce se nachází na intervalu [-10; 10 ], kde černá čára je graf funkce, modré čáry jsou tečny, které jsou umístěny kolmo k dané přímce tvaru y = - 2 x + 1 2. Červené tečky jsou dotykové body.

Kanonické rovnice křivek 2. řádu nejsou jednohodnotové funkce. Tangentní rovnice pro ně jsou sestaveny podle známých schémat.

Tečna ke kruhu

Chcete-li definovat kružnici se středem v bodě x c e n t e r ; y c e n t e r a poloměr R, použijte vzorec x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 .

Tuto rovnost lze zapsat jako spojení dvou funkcí:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

První funkce je umístěna nahoře a druhá dole, jak je znázorněno na obrázku.

Sestavit rovnici kružnice v bodě x 0; y 0 , který se nachází v horním nebo dolním půlkruhu, měli byste najít rovnici grafu funkce ve tvaru y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r nebo y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r v uvedeném bodě.

Když v bodech x c e n t e r ; y c e n t e r + R a x c e n t e r; y c e n t e r - R tečny mohou být dány rovnicemi y = y c e n t e r + R a y = y c e n t e r - R a v bodech x c e n t e r + R; y c e n t e r a
x c e n t e r - R; y c e n t e r bude rovnoběžné s o y, pak dostaneme rovnice tvaru x = x c e n t e r + R a x = x c e n t e r - R .

Tečna k elipse

Když má elipsa střed v x c e n t e r ; y c e n t e r s poloosami a a b, pak lze upřesnit pomocí rovnice x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1.

Elipsu a kružnici lze označit kombinací dvou funkcí, a to horní a dolní půlelipsy. Pak to dostaneme

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Pokud jsou tečny umístěny ve vrcholech elipsy, pak jsou rovnoběžné kolem x nebo kolem y. Níže, pro jasnost, zvažte obrázek.

Příklad 6

Napište rovnici tečny k elipse x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 v bodech s hodnotami x rovnými x = 2.

Řešení

Je nutné najít tečné body, které odpovídají hodnotě x = 2. Dosadíme do existující rovnice elipsy a najdeme ji

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Potom 2; 5 3 2 + 5 a 2; - 5 3 2 + 5 jsou tečné body, které patří horní a dolní půlelipse.

Přejděme k nalezení a řešení rovnice elipsy vzhledem k y. Chápeme to

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 r - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Je zřejmé, že horní polovina elipsy je specifikována pomocí funkce tvaru y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 a dolní polovina elipsy y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2.

Aplikujme standardní algoritmus k vytvoření rovnice pro tečnu ke grafu funkce v bodě. Zapišme, že rovnice pro první tečnu v bodě 2; 5 3 2 + 5 bude vypadat

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y" (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Zjistíme, že rovnice druhé tečny s hodnotou v bodě
2; - 5 3 2 + 5 má tvar

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y" (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Graficky jsou tečny označeny takto:

Tečna k hyperbole

Když má hyperbola střed v x c e n t e r ; y c e n t e r a vrcholy x c e n t e r + α ; y c e n t e r a x c e n t e r - α; y c e n t e r , nastává nerovnost x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1, jestliže s vrcholy x c e n t e r ; y c e n t e r + b a x c e n t e r; y c e n t e r - b , pak je specifikováno pomocí nerovnosti x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = -1 .

Hyperbola může být reprezentována jako dvě kombinované funkce formuláře

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r nebo y = b a e 2 c e 2 c e 2 t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

V prvním případě platí, že tečny jsou rovnoběžné s y a ve druhém jsou rovnoběžné s x.

Z toho vyplývá, že pro nalezení rovnice tečny k hyperbole je nutné zjistit, ke které funkci bod tečnosti patří. K jeho určení je nutné dosadit do rovnic a zkontrolovat identitu.

Příklad 7

Napište rovnici pro tečnu k hyperbole x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 v bodě 7; - 3 3 - 3 .

Řešení

Je nutné transformovat záznam řešení pro nalezení hyperboly pomocí 2 funkcí. Chápeme to

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 a y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Je nutné identifikovat, ke které funkci daný bod se souřadnicemi 7 patří; - 3 3 - 3 .

Je zřejmé, že pro kontrolu první funkce je nutné y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, pak bod do grafu nepatří, protože rovnost neplatí.

Pro druhou funkci platí, že y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, což znamená, že bod patří do daného grafu. Odtud byste měli najít svah.

Chápeme to

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Odpovědět: tečnou rovnici lze reprezentovat jako

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Je to jasně znázorněno takto:

Tangenta k parabole

Chcete-li vytvořit rovnici pro tečnu k parabole y = a x 2 + b x + c v bodě x 0, y (x 0), musíte použít standardní algoritmus, pak rovnice bude mít tvar y = y "(x 0) x - x 0 + y ( x 0) Taková tečna ve vrcholu je rovnoběžná s x.

Měli byste definovat parabolu x = a y 2 + b y + c jako spojení dvou funkcí. Proto musíme vyřešit rovnici pro y. Chápeme to

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2a

Pojďme si to graficky znázornit takto:

Chcete-li zjistit, zda bod x 0, y (x 0) patří nějaké funkci, postupujte jemně podle standardního algoritmu. Taková tečna bude rovnoběžná s oy vzhledem k parabole.

Příklad 8

Napište rovnici tečny ke grafu x - 2 y 2 - 5 y + 3, když máme tečný úhel 150°.

Řešení

Řešení začneme reprezentací paraboly jako dvou funkcí. Chápeme to

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

Hodnota sklonu je rovna hodnotě derivace v bodě x 0 této funkce a je rovna tečně úhlu sklonu.

Dostaneme:

k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150° = - 1 3

Odtud určíme hodnotu x pro body dotyku.

První funkce bude zapsána jako

y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Je zřejmé, že neexistují žádné skutečné kořeny, protože jsme dostali zápornou hodnotu. Dojdeme k závěru, že pro takovou funkci neexistuje žádná tečna s úhlem 150°.

Druhá funkce bude zapsána jako

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Máme, že styčných bodů je 23 4 ; - 5 + 3 4 .

Odpovědět: tangensová rovnice má tvar

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Pojďme si to graficky znázornit takto:

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

Video lekce „Rovnice tečny ke grafu funkce“ demonstruje vzdělávací materiál pro zvládnutí tématu. Během videolekce je popsán teoretický materiál nutný k formulaci pojmu rovnice tečny ke grafu funkce v daném bodě, algoritmus pro nalezení takové tečny a příklady řešení úloh s využitím probraného teoretického materiálu. .

Video tutoriál využívá metody, které zlepšují srozumitelnost materiálu. Prezentace obsahuje kresby, diagramy, důležité hlasové komentáře, animace, zvýrazňování a další nástroje.

Videolekce začíná prezentací tématu lekce a obrázkem tečny ke grafu nějaké funkce y=f(x) v bodě M(a;f(a)). Je známo, že úhlový koeficient tečny vynesený do grafu v daném bodě je roven derivaci funkce f΄(a) v tomto bodě. Také z kurzu algebry známe rovnici přímky y=kx+m. Schématicky je uvedeno řešení problému hledání tečné rovnice v bodě, které se redukuje na nalezení koeficientů k,m. Při znalosti souřadnic bodu náležejícího do grafu funkce můžeme najít m dosazením hodnoty souřadnice do rovnice tečny f(a)=ka+m. Z toho zjistíme m=f(a)-ka. Když tedy známe hodnotu derivace v daném bodě a souřadnice bodu, můžeme rovnici tečny reprezentovat tímto způsobem y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Následuje příklad sestavení tečné rovnice podle diagramu. Vzhledem k funkci y=x 2, x=-2. Vezmeme-li a=-2, najdeme hodnotu funkce v daném bodě f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. Určíme derivaci funkce f΄(x)=2x. V tomto bodě je derivace rovna f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4. Pro sestavení rovnice byly nalezeny všechny koeficienty a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4, takže rovnice tečny je y=4+(-4)(x+2). Zjednodušením rovnice dostaneme y = -4-4x.

Následující příklad navrhuje sestrojit rovnici pro tečnu v počátku ke grafu funkce y=tgx. V daném bodě a=0, f(0)=0, f΄(x)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Rovnice tečny tedy vypadá jako y=x.

Jako zobecnění je proces skládání rovnice tečné ke grafu funkce v určitém bodě formalizován ve formě algoritmu sestávajícího ze 4 kroků:

• Zadejte označení a pro úsečku tečného bodu;
• f(a) se vypočítá;
• Stanoví se f΄(x) a vypočítá se f΄(a). Nalezené hodnoty a, f(a), f΄(a) dosadíme do vzorce tečné rovnice y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Příklad 1 uvažuje sestavení rovnice tečny ke grafu funkce y=1/x v bodě x=1. K vyřešení problému používáme algoritmus. Pro danou funkci v bodě a=1 je hodnota funkce f(a)=-1. Derivace funkce f΄(x)=1/x 2. V bodě a=1 je derivace f΄(a)= f΄(1)=1. Na základě získaných dat se sestaví tečná rovnice y=-1+(x-1), nebo y=x-2.

V příkladu 2 je potřeba najít rovnici tečny ke grafu funkce y=x 3 +3x 2 -2x-2. Hlavní podmínkou je rovnoběžnost tečny a přímky y=-2x+1. Nejprve najdeme úhlový koeficient tečny, rovný úhlovému koeficientu přímky y=-2x+1. Protože f΄(a)=-2 pro danou přímku, pak k=-2 pro požadovanou tečnu. Najdeme derivaci funkce (x 3 +3x 2 -2x-2)΄=3x 2 +6x-2. Když víme, že f΄(a)=-2, najdeme souřadnice bodu 3a 2 +6a-2=-2. Po vyřešení rovnice dostaneme 1 = 0 a 2 = -2. Pomocí nalezených souřadnic můžete najít rovnici tečny pomocí dobře známého algoritmu. Hodnotu funkce najdeme v bodech f(a 1)=-2, f(a 2)=-18. Hodnota derivace v bodě f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2. Dosazením nalezených hodnot do rovnice tečny získáme pro první bod a 1 =0 y=-2x-2 a pro druhý bod a 2 =-2 rovnici tečny y=-2x-22.

Příklad 3 popisuje složení rovnice tečny pro její vykreslení v bodě (0;3) ke grafu funkce y=√x. Řešení se provádí pomocí dobře známého algoritmu. Tečný bod má souřadnice x=a, kde a>0. Hodnota funkce v bodě f(a)=√x. Derivace funkce f΄(х)=1/2√х, tedy v daném bodě f΄(а)=1/2√а. Dosazením všech získaných hodnot do rovnice tečny dostaneme y=√a+(x-a)/2√a. Transformací rovnice dostaneme y=x/2√а+√а/2. Když víme, že tečna prochází bodem (0;3), zjistíme hodnotu a. Najdeme a od 3=√a/2. Proto √a=6, a=36. Najdeme tečnou rovnici y=x/12+3. Obrázek ukazuje graf uvažované funkce a sestrojenou požadovanou tečnu.

Studenti jsou připomenuti přibližné rovnosti Δy=≈f΄(x)Δxa f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx. Vezmeme-li x=a, x+Δx=x, Δx=x-a, dostaneme f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), tedy f(x)≈f(a)+ f΄( a) (x-a).

V příkladu 4 je potřeba najít přibližnou hodnotu výrazu 2,003 6. Protože je potřeba najít hodnotu funkce f(x)=x 6 v bodě x=2,003, můžeme použít známý vzorec, přičemž f(x)=x 6, a=2, f(a )= f(2)=64, f΄(x)=6x 5. Derivace v bodě f΄(2)=192. Proto 2,003 6 ≈65-192·0,003. Po výpočtu výrazu dostaneme 2,003 6 ≈64,576.

Videolekce „Rovnice tečny ke grafu funkce“ je doporučena pro použití v tradiční hodině matematiky ve škole. Učiteli vyučujícímu na dálku pomůže video materiál jasněji vysvětlit téma. Video lze studentům doporučit k samostatnému zopakování, pokud je to nutné k prohloubení jejich porozumění předmětu.

DEKODOVÁNÍ TEXTU:

Víme, že pokud bod M (a; f(a)) (em se souřadnicemi a a ef z a) patří do grafu funkce y = f (x) a pokud je v tomto bodě možné nakreslit tečnu ke grafu funkce, která není kolmá na osu úsečky, je úhlový koeficient tečny roven f"(a) (eff prvočíslo z a).

Nechť je dána funkce y = f(x) a bod M (a; f(a)) a je také známo, že f´(a) existuje. Vytvořme rovnici pro tečnu ke grafu dané funkce v daném bodě. Tato rovnice, stejně jako rovnice jakékoli přímky, která není rovnoběžná s osou pořadnice, má tvar y = kx+m (y se rovná ka x plus em), takže úkolem je najít hodnoty koeficienty k a m ​​(ka a em)

Úhlový koeficient k= f"(a). Pro výpočet hodnoty m využijeme toho, že žádaná přímka prochází bodem M(a; f (a)). To znamená, že pokud dosadíme souřadnice bodu M do rovnice přímky, získáme správnou rovnost : f(a) = ka+m, odkud zjistíme, že m = f(a) - ka.

Zbývá dosadit nalezené hodnoty koeficientů ki a m do rovnice přímky:

y = kx+(f(a) -ka);

y = f(a)+k(x-a);

y= F(A)+ F"(A) (X- A). ( y se rovná ef z plus ef prvočíslo z a, vynásobené x mínus a).

Získali jsme rovnici pro tečnu ke grafu funkce y = f(x) v bodě x=a.

Jestliže, řekněme, y = x 2 a x = -2 (tj. a = -2), pak f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f´(x) = 2x, což znamená f"(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4. (pak ef a je rovno čtyřem, ef prvočísla x se rovná dvěma x, což znamená ef prvočíslo od a je rovno mínus čtyři)

Dosazením nalezených hodnot a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4 do rovnice dostaneme: y = 4+(-4)(x+2), tj. y = -4x -4.

(E se rovná mínus čtyři x mínus čtyři)

Vytvořme rovnici pro tečnu ke grafu funkce y = tanx (y se rovná tečně x) v počátku. Máme: a = 0, f(0) = tan0=0;

f"(x)=, což znamená f"(0) = l. Dosazením nalezených hodnot a=0, f(a)=0, f´(a) = 1 do rovnice dostaneme: y=x.

Shrňme naše kroky při hledání rovnice tečny ke grafu funkce v bodě x pomocí algoritmu.

ALGORITHM PRO VÝVOJ ROVNICE PRO TEČNU KE GRAFU FUNKCE y = f(x):

1) Označte úsečku tečného bodu písmenem a.

2) Vypočítejte f(a).

3) Najděte f´(x) a vypočítejte f´(a).

4) Dosaďte do vzorce nalezená čísla a, f(a), f´(a). y= F(A)+ F"(A) (X- A).

Příklad 1. Vytvořte rovnici pro tečnu ke grafu funkce y = - in

bod x = 1.

Řešení. Použijme algoritmus, vezmeme-li v úvahu, že v tomto příkladu

2) f(a)=f(1)=- =-1

3) f'(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.

4) Dosaďte do vzorce nalezená tři čísla: a = 1, f(a) = -1, f"(a) = 1. Dostaneme: y = -1+(x-1), y = x-2 .

Odpověď: y = x-2.

Příklad 2. Je dána funkce y = x 3 + 3x 2 -2x-2. Zapište rovnici tečny ke grafu funkce y = f(x) rovnoběžně s přímkou ​​y = -2x +1.

Pomocí algoritmu pro sestavení tečné rovnice vezmeme v úvahu, že v tomto příkladu f(x) = x 3 + 3x 2 -2x-2, ale úsečka tečného bodu zde není uvedena.

Začněme takto přemýšlet. Požadovaná tečna musí být rovnoběžná s přímkou ​​y = -2x+1. A rovnoběžné čáry mají stejné úhlové koeficienty. To znamená, že úhlový koeficient tečny je roven úhlovému koeficientu dané přímky: k tečna. = -2. Hok cas. = f"(a). Hodnotu a tedy můžeme najít z rovnice f ´(a) = -2.

Pojďme najít derivaci funkce y=F(X):

F"(X)= (x 3 +3x 2-2x-2)' = 3x 2 +6x-2;F"(a)= 3a2+6a-2.

Z rovnice f"(a) = -2, tzn. 3a 2 + 6a-2=-2 najdeme a 1 =0, a 2 =-2. To znamená, že existují dvě tečny, které splňují podmínky úlohy: jedna v bodě s úsečkou 0, druhá v bodě s úsečkou -2.

Nyní můžete postupovat podle algoritmu.

1) a 1 = 0 a 2 = -2.

2) f(a 1)= 0 3 +3·0 2 -2∙0-2=-2; f(a 2)= (-2)3 +3·(-2)2-2·(-2)-2=6;

3) f"(a 1) = f"(a 2) = -2.

4) Dosazením hodnot a 1 = 0, f(a 1) = -2, f"(a 1) = -2 do vzorce dostaneme:

y=-2-2(x-0), y=-2x-2.

Dosazením hodnot a 2 = -2, f(a 2) =6, f"(a 2) = -2 do vzorce dostaneme:

y=6-2(x+2), y=-2x+2.

Odpověď: y=-2x-2, y=-2x+2.

Příklad 3. Z bodu (0; 3) nakreslete tečnu ke grafu funkce y = . Řešení. Použijme algoritmus pro sestavení tečné rovnice, přičemž vezmeme v úvahu, že v tomto příkladu f(x) = . Všimněte si, že zde, stejně jako v příkladu 2, není úsečka tečného bodu výslovně uvedena. Přesto postupujeme podle algoritmu.

1) Nechť x = a je úsečka tečného bodu; je jasné, že >0.

3) f´(x)=()´=; f'(a) =.

4) Dosazením hodnot a, f(a) = , f"(a) = do vzorce

y=f (a) +f "(a) (x-a), dostaneme:

Podle podmínky prochází tečna bodem (0; 3). Dosazením hodnot x = 0, y = 3 do rovnice dostaneme: 3 = a poté =6, a =36.

Jak vidíte, v tomto příkladu se nám až ve čtvrtém kroku algoritmu podařilo najít úsečku tečného bodu. Dosazením hodnoty a =36 do rovnice dostaneme: y=+3

Na Obr. Obrázek 1 ukazuje geometrické znázornění uvažovaného příkladu: sestrojí se graf funkce y =, nakreslí se přímka y = +3.

Odpověď: y = +3.

Víme, že pro funkci y = f(x), která má derivaci v bodě x, platí přibližná rovnost: Δyf´(x)Δx (delta y je přibližně rovno prvočíslu eff x násobeného delta x)

nebo, podrobněji, f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (eff z x plus delta x mínus ef z x je přibližně rovno ef prvočíslo z x x delta x).

Pro usnadnění další diskuse změňme zápis:

místo x budeme psát A,

místo x+Δx budeme psát x

místo Δx budeme psát x-a.

Pak bude mít výše napsaná přibližná rovnost tvar:

f(x)-f(a)f'(a)(x-a)

f(x)f(a)+f'(a)(x-a). (eff z x je přibližně rovno ef z plus ef prvočíslo z a, vynásobené rozdílem mezi x a a).

Příklad 4. Najděte přibližnou hodnotu číselného výrazu 2,003 6.

Řešení. Hovoříme o nalezení hodnoty funkce y = x 6 v bodě x = 2,003. Použijme vzorec f(x)f(a)+f´(a)(x-a), přičemž vezmeme v úvahu, že v tomto příkladu f(x)=x 6, a = 2,f(a) = f(2) = 26 = 64; x = 2,003, f"(x) = 6x 5, a proto f"(a) = f"(2) = 625 =192.

V důsledku toho dostaneme:

2,003 6 64+192· 0,003, tzn. 2,0036 = 64,576.

Pokud použijeme kalkulačku, dostaneme:

2,003 6 = 64,5781643...

Jak vidíte, přesnost aproximace je docela přijatelná.

Typ práce: 7

Stav

Přímka y=3x+2 je tečnou ke grafu funkce y=-12x^2+bx-10. Najděte b za předpokladu, že úsečka tečného bodu je menší než nula.

Řešení

Nechť x_0 je úsečka bodu na grafu funkce y=-12x^2+bx-10, kterým prochází tečna k tomuto grafu.

Hodnota derivace v bodě x_0 je rovna strmosti tečny, tedy y"(x_0)=-24x_0+b=3. Na druhou stranu bod tečnosti náleží současně oběma grafům tečny. funkce a tečny, tedy -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2 \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(cases)

Řešením tohoto systému dostaneme x_0^2=1, což znamená buď x_0=-1 nebo x_0=1. Podle podmínky abscisy jsou tečné body menší než nula, takže x_0=-1, pak b=3+24x_0=-21.

Odpovědět

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivací. Tečna ke grafu funkce

Stav

Přímka y=-3x+4 je rovnoběžná s tečnou ke grafu funkce y=-x^2+5x-7. Najděte úsečku tečného bodu.

Řešení

Úhlový koeficient přímky ke grafu funkce y=-x^2+5x-7 v libovolném bodě x_0 je roven y"(x_0). Ale y"=-2x+5, což znamená y" (x_0)=-2x_0+5 Úhlový koeficient úsečky y=-3x+4 zadaný v podmínce je roven -3 Rovnoběžné úsečky mají tedy stejné úhlové koeficienty, že = -2x_0 +5=-3.

Dostaneme: x_0 = 4.

Odpovědět

Zdroj: „Matematika. Příprava na Jednotnou státní zkoušku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Ju.

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivací. Tečna ke grafu funkce

Stav

Řešení

Z obrázku určíme, že tečna prochází body A(-6; 2) a B(-1; 1). Označme C(-6; 1) průsečík přímek x=-6 a y=1 a \alpha úhel ABC (na obrázku vidíte, že je ostrý). Potom přímka AB svírá úhel \pi -\alpha s kladným směrem osy Ox, která je tupá.

Jak známo, tg(\pi -\alpha) bude hodnota derivace funkce f(x) v bodě x_0. všimněte si, že tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. Odtud pomocí redukčních vzorců dostaneme: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Odpovědět

Zdroj: „Matematika. Příprava na Jednotnou státní zkoušku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Ju.

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivací. Tečna ke grafu funkce

Stav

Přímka y=-2x-4 je tečnou ke grafu funkce y=16x^2+bx+12. Najděte b za předpokladu, že úsečka tečného bodu je větší než nula.

Řešení

Nechť x_0 je úsečka bodu na grafu funkce y=16x^2+bx+12, přes který

je tečný k tomuto grafu.

Hodnota derivace v bodě x_0 je rovna strmosti tečny, tedy y"(x_0)=32x_0+b=-2. Na druhou stranu bod tečnosti náleží současně oběma grafům tečny. funkce a tečny, tedy 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(cases)

Řešením systému dostaneme x_0^2=1, což znamená buď x_0=-1 nebo x_0=1. Podle podmínky abscisy jsou tečné body větší než nula, takže x_0=1, pak b=-2-32x_0=-34.

Odpovědět

Zdroj: „Matematika. Příprava na Jednotnou státní zkoušku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Ju.

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivací. Tečna ke grafu funkce

Stav

Obrázek ukazuje graf funkce y=f(x), definované na intervalu (-2; 8). Určete počet bodů, ve kterých je tečna ke grafu funkce rovnoběžná s přímkou ​​y=6.

Řešení

Přímka y=6 je rovnoběžná s osou Ox. Proto najdeme body, ve kterých je tečna ke grafu funkce rovnoběžná s osou Ox. Na tomto grafu jsou takové body extrémní body (maximální nebo minimální body). Jak vidíte, existují 4 extrémní body.

Odpovědět

Zdroj: „Matematika. Příprava na Jednotnou státní zkoušku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Ju.

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivací. Tečna ke grafu funkce

Stav

Přímka y=4x-6 je rovnoběžná s tečnou ke grafu funkce y=x^2-4x+9. Najděte úsečku tečného bodu.

Řešení

Směrnice tečny ke grafu funkce y=x^2-4x+9 v libovolném bodě x_0 je rovna y"(x_0). Ale y"=2x-4, což znamená y"(x_0)= 2x_0-4 Směrnice tečny y =4x-7 zadaná v podmínce je rovna 4. Rovnoběžné čáry mají stejné úhlové koeficienty, najdeme tedy hodnotu x_0, že 2x_0-4=4.

Odpovědět

Zdroj: „Matematika. Příprava na Jednotnou státní zkoušku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Ju.

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivací. Tečna ke grafu funkce

Stav

Obrázek ukazuje graf funkce y=f(x) a tečnu k ní v bodě s úsečkou x_0. Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0.

Řešení

Z obrázku určíme, že tečna prochází body A(1; 1) a B(5; 4). Označme C(5; 1) průsečík přímek x=5 a y=1 a \alpha úhel BAC (na obrázku vidíte, že je ostrý). Potom přímka AB svírá úhel \alpha s kladným směrem osy Ox.

Zvažte následující obrázek:

Vyobrazuje určitou funkci y = f(x), která je v bodě a diferencovatelná. Bod M se souřadnicemi (a; f(a)) je označen. Sečna MR je nakreslena libovolným bodem P(a + ∆x; f(a + ∆x)) grafu.

Pokud je nyní bod P posunut podél grafu do bodu M, pak se přímka MR bude otáčet kolem bodu M. V tomto případě bude ∆x mít tendenci k nule. Odtud můžeme formulovat definici tečny ke grafu funkce.

Tečna ke grafu funkce

Tečna ke grafu funkce je omezující pozicí sečny, protože přírůstek argumentu má tendenci k nule. Je třeba si uvědomit, že existence derivace funkce f v bodě x0 znamená, že v tomto bodě grafu je tečna jemu.

V tomto případě bude úhlový koeficient tečny roven derivaci této funkce v tomto bodě f’(x0). Toto je geometrický význam derivace. Tečna ke grafu funkce f diferencovatelné v bodě x0 je určitá přímka procházející bodem (x0;f(x0)) a mající úhlový koeficient f’(x0).

Tangentní rovnice

Zkusme získat rovnici tečny ke grafu nějaké funkce f v bodě A(x0; f(x0)). Rovnice přímky se sklonem k má následující tvar:

Protože náš koeficient sklonu je roven derivaci f'(x0), pak bude mít rovnice následující tvar: y = f'(x0)*x + b.

Nyní vypočítejme hodnotu b. K tomu využijeme toho, že funkce prochází bodem A.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, odtud vyjádříme b a dostaneme b = f(x0) - f’(x0)*x0.

Výslednou hodnotu dosadíme do rovnice tečny:

y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

Zvažte následující příklad: najděte rovnici tečny ke grafu funkce f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 v bodě x = 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Dosaďte získané hodnoty do vzorce tečny, dostaneme: y = 1 + 4*(x - 2). Otevřením závorek a uvedením podobných výrazů dostaneme: y = 4*x - 7.

Odpověď: y = 4*x - 7.

Obecné schéma pro sestavení tečné rovnice ke grafu funkce y = f(x):

1. Určete x0.

2. Vypočítejte f(x0).

3. Vypočítejte f’(x)