Derivat negativnog broja. Tipične greške pri izračunavanju derivata. Derivat zbira i razlike

Daje se formula za izvod zbira i razlike funkcija. Dat je dokaz i detaljno su analizirani primjeri primjene ove formule.

Formula za derivaciju zbira (razlike) funkcija

Neka i budu funkcije nezavisne varijable x. Neka se mogu razlikovati u nekom rasponu vrijednosti varijable x. Zatim, u ovoj oblasti, derivacija zbira (razlike) ovih funkcija jednaka je zbroju (razlici) izvoda ovih funkcija:
(1) .

Dokaz

Budući da su funkcije i diferencijabilne na , postoje sljedeća ograničenja, koja su derivati ​​ovih funkcija:
;
.

Razmotrimo funkciju y varijable x, koja je zbir funkcija i:
.
Primijenimo definiciju derivata.


.

Tako smo dokazali da je derivacija zbira funkcija jednaka zbroju izvoda:
.

Na isti način možete pokazati da je izvod razlike funkcija jednak razlici derivacija:
.
To se može pokazati i na drugi način, koristeći upravo dokazano pravilo za razlikovanje zbira i :
.

Ova dva pravila mogu se napisati kao jedna jednačina:
(1) .

Posljedica

Iznad smo pogledali pravilo za pronalaženje derivacije zbira dvije funkcije. Ovo pravilo se može generalizirati na zbir i razliku bilo kojeg broja diferencijabilnih funkcija.

Izvod zbira (razlike) bilo kojeg konačnog broja diferencijabilnih funkcija jednak je zbiru (razlici) njihovih izvoda. Uzimajući u obzir pravilo postavljanja konstante izvan predznaka derivacije, ovo pravilo se može napisati na sljedeći način:
.
Ili u proširenom obliku:
(2) .
Ovdje - konstante;
- diferencijabilne funkcije varijable x.

Dokazi istrage

Kada je n = 2 , primjenjujemo pravilo (1) i pravilo postavljanja konstante izvan predznaka izvoda. Imamo:
.
Kada je n = 3 primijeniti formulu (1) za funkcije i :
.

Za proizvoljan broj n primjenjujemo metodu indukcije. Neka je jednačina (2) zadovoljena za . Tada za imamo:

.
Odnosno, iz pretpostavke da jednačina (2) vrijedi za , slijedi da jednačina (2) vrijedi za . A budući da je jednadžba (2) istinita za , ona je istinita za sve .
Istraga je dokazana.

Primjeri

Primjer 1

Pronađite izvod
.

Otvaranje zagrada. Da bismo to učinili, primjenjujemo formulu
.
Također koristimo svojstva funkcija snage.
;

;
.

Primjenjujemo formulu (2) za izvod zbira i razlike funkcija.
.

Iz tabele derivata nalazimo:
.
Onda
;
;
.

Konačno imamo:
.

Primjer 2

Pronađite izvod funkcije u odnosu na varijablu x
.

Svedemo korijene na funkcije potenciranja.
.
Primjenjujemo pravilo diferencijacije zbira i razlike.
.
Primjenjujemo formule iz tablice derivacija.
;
;
;
;
;
.
Zamenimo:
.
Dovodimo razlomke na zajednički imenilac.
.
Ovdje smo uzeli u obzir da je data funkcija definirana na .
.

U ovoj lekciji naučit ćemo primijeniti formule i pravila diferencijacije.

Primjeri. Pronađite izvode funkcija.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Primjena pravila I, formule 4, 2 i 1. Dobijamo:

y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x 6 -2x+5. Slično rješavamo, koristeći iste formule i formule 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Primjena pravila I, formule 3, 5 I 6 I 1.

Primjena pravila IV, formule 5 I 1 .

U petom primjeru, prema pravilu I derivacija zbira jednaka je zbiru izvoda, a upravo smo našli izvod prvog člana (primjer 4 ), dakle, naći ćemo derivate 2nd I 3rd uslovi i za 1st sabirom možemo odmah napisati rezultat.

Hajde da razlikujemo 2nd I 3rd termini prema formuli 4 . Da bismo to učinili, transformiramo korijene trećeg i četvrtog stepena u nazivnicima u stepene s negativnim eksponentima, a zatim, prema 4 formule, nalazimo derivate snaga.

Pogledajte ovaj primjer i rezultat. Jeste li uhvatili uzorak? U redu. To znači da imamo novu formulu i možemo je dodati u našu tablicu izvedenica.

Hajde da riješimo šesti primjer i izvedemo drugu formulu.

Koristimo pravilo IV i formula 4 . Smanjimo rezultirajuće razlomke.

Pogledajmo ovu funkciju i njen derivat. Vi, naravno, razumijete obrazac i spremni ste imenovati formulu:

Učenje novih formula!

Primjeri.

1. Pronađite prirast argumenta i inkrement funkcije y= x 2, ako je početna vrijednost argumenta bila jednaka 4 , i novi - 4,01 .

Rješenje.

Nova vrijednost argumenta x=x 0 +Δx. Zamenimo podatke: 4.01=4+Δh, otuda i prirast argumenta Δh=4,01-4=0,01. Prirast funkcije, po definiciji, jednak je razlici između nove i prethodne vrijednosti funkcije, tj. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Pošto imamo funkciju y=x2, To Δu=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

odgovor: povećanje argumenta Δh=0,01; povećanje funkcije Δu=0,0801.

Povećanje funkcije se može naći drugačije: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4.01) -y(4)=4.01 2 -4 2 =16.0801-16=0.0801.

2. Pronađite ugao nagiba tangente na graf funkcije y=f(x) u tački x 0, Ako f "(x 0) = 1.

Rješenje.

Vrijednost derivacije u tački tangente x 0 i je vrijednost tangente ugla tangente (geometrijsko značenje derivacije). Imamo: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, jer tg45°=1.

odgovor: tangenta na graf ove funkcije formira ugao s pozitivnim smjerom ose Ox jednak 45°.

3. Izvedite formulu za izvod funkcije y=xn.

Diferencijacija je akcija pronalaženja derivacije funkcije.

Prilikom pronalaženja izvoda koristite formule koje su izvedene na osnovu definicije derivacije, na isti način na koji smo izveli formulu za stepen izvoda: (x n)" = nx n-1.

Ovo su formule.

Tabela derivata Lakše je zapamtiti izgovaranjem verbalnih formulacija:

1. Derivat konstantne veličine je nula.

2. X prost je jednak jedan.

3. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka derivacije.

4. Izvod stepena jednak je umnošku eksponenta ovog stepena za stepen sa istom bazom, ali je eksponent jedan manji.

5. Izvod korijena jednak je jedinici podijeljenoj sa dva jednaka korijena.

6. Derivat jedinice podijeljen sa x jednak je minus jedan podijeljen sa x na kvadrat.

7. Izvod sinusa jednak je kosinsu.

8. Derivat kosinusa je jednak minus sinus.

9. Izvod tangente jednak je jedinici podijeljenoj s kvadratom kosinusa.

10. Derivat kotangensa jednak je minus jedan podijeljen kvadratom sinusa.

Mi predajemo pravila diferencijacije.

1. Izvod algebarskog zbira jednak je algebarskom zbiru izvoda članova.

2. Izvod proizvoda jednak je umnošku izvoda prvog faktora i drugog plus proizvod prvog faktora i izvoda drugog.

3. Derivat “y” podijeljen sa “ve” jednak je razlomku u kojem je brojilac “y prost pomnožen sa “ve” minus “y pomnožen sa ve prostim”, a nazivnik je “ve na kvadrat”.

4. Poseban slučaj formule 3.

Učimo zajedno!

Stranica 1 od 1 1

Dokaz i izvođenje formula za izvod prirodnog logaritma i logaritma na osnovu a. Primjeri izračunavanja izvedenica od ln 2x, ln 3x i ln nx. Dokaz formule za izvod logaritma n-tog reda metodom matematičke indukcije.

Vidi također: Logaritam - svojstva, formule, graf
Prirodni logaritam - svojstva, formule, graf

Izvođenje formula za izvode prirodnog logaritma i logaritma na osnovu a

Derivat prirodnog logaritma od x jednak je jedinici podijeljenoj sa x:
(1) (ln x)′ =.

Derivat logaritma prema bazi a jednak je jedinici podijeljenom promjenljivom x pomnoženom prirodnim logaritmom a:
(2) (log a x)′ =.

Dokaz

Neka postoji neki pozitivan broj koji nije jednak jednom. Razmotrimo funkciju koja zavisi od varijable x, što je logaritam bazi:
.
Ova funkcija je definirana na . Nađimo njen izvod u odnosu na varijablu x. Po definiciji, derivat je sljedeća granica:
(3) .

Hajde da transformišemo ovaj izraz da ga svedemo na poznata matematička svojstva i pravila. Da bismo to uradili moramo znati sljedeće činjenice:
A) Svojstva logaritma. Trebat će nam sljedeće formule:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Kontinuitet logaritma i svojstvo granica za kontinuiranu funkciju:
(7) .
Ovdje je funkcija koja ima ograničenje i ovo ograničenje je pozitivno.
IN) Značenje druge izuzetne granice:
(8) .

Primijenimo ove činjenice do naših granica. Prvo transformiramo algebarski izraz
.
Da bismo to učinili, primjenjujemo svojstva (4) i (5).

.

Koristimo svojstvo (7) i drugu izuzetnu granicu (8):
.

I na kraju, primjenjujemo svojstvo (6):
.
Logaritam prema bazi e pozvao prirodni logaritam. Označava se na sljedeći način:
.
Onda ;
.

Tako smo dobili formulu (2) za izvod logaritma.

Derivat prirodnog logaritma

Još jednom ispisujemo formulu za izvod logaritma na osnovu a:
.
Ova formula ima najjednostavniji oblik za prirodni logaritam, za koji , . Onda
(1) .

Zbog ove jednostavnosti, prirodni logaritam se vrlo široko koristi u matematičkoj analizi i drugim granama matematike vezanim za diferencijalni račun. Logaritamske funkcije s drugim bazama mogu se izraziti prirodnim logaritmom korištenjem svojstva (6):
.

Derivat logaritma u odnosu na bazu može se naći iz formule (1), ako se iz predznaka diferencijacije uzme konstanta:
.

Drugi načini dokazivanja derivacije logaritma

Ovdje pretpostavljamo da znamo formulu za izvod eksponencijala:
(9) .
Tada možemo izvesti formulu za izvod prirodnog logaritma, s obzirom da je logaritam inverzna funkcija eksponencijala.

Dokažimo formulu za izvod prirodnog logaritma, primjenom formule za izvod inverzne funkcije:
.
U našem slučaju.
.
Inverzna funkcija prirodnom logaritmu je eksponencijalna:
.
Njegov izvod je određen formulom (9). Varijable se mogu označiti bilo kojim slovom. U formuli (9) zamijenite varijablu x sa y:
.
Onda
.
Od tada

Formula je dokazana. Sada dokazujemo formulu za izvod prirodnog logaritma koristeći pravila za razlikovanje složenih funkcija
.
. Budući da su funkcije i inverzne jedna drugoj, onda
(10) .
Hajde da razlikujemo ovu jednačinu s obzirom na varijablu x:
.
Derivat od x je jednak jedan:
.
Primjenjujemo pravilo diferencijacije složenih funkcija:
.
Evo.
.

Zamijenimo u (10):

Odavde Primjer Pronađite derivate od I u 2x,.

U 3x lnnx Originalne funkcije imaju sličan oblik. Stoga ćemo pronaći derivaciju funkcije y = log nx. Zatim zamjenjujemo n = 2 i n = 3. I, tako, dobijamo formule za izvode od Pronađite derivate od .

U 2x
lnnx .
I
1) Funkcije u zavisnosti od varijable: ;
2) Funkcije ovisno o varijabli: .
Tada se originalna funkcija sastoji od funkcija i:
.

Nađimo derivaciju funkcije u odnosu na varijablu x:
.
Nađimo derivaciju funkcije u odnosu na varijablu:
.
Primjenjujemo formulu za izvod kompleksne funkcije.
.
Evo ga postavili.

Tako smo pronašli:
(11) .
Vidimo da derivacija ne zavisi od n. Ovaj rezultat je sasvim prirodan ako transformiramo originalnu funkciju koristeći formulu za logaritam proizvoda:
.
- ovo je konstanta. Njegov izvod je nula. Tada, prema pravilu diferencijacije sume, imamo:
.

; ; .

Derivat logaritma modula x

Nađimo derivaciju druge vrlo važne funkcije - prirodnog logaritma modula x:
(12) .

Hajde da razmotrimo slučaj. Tada funkcija izgleda ovako:
.
Njegov izvod je određen formulom (1):
.

Sada razmotrimo slučaj. Tada funkcija izgleda ovako:
,
Gdje .
Ali smo također pronašli derivaciju ove funkcije u primjeru iznad. Ne zavisi od n i jednako je
.
Onda
.

Kombiniramo ova dva slučaja u jednu formulu:
.

Prema tome, za logaritam na bazi a imamo:
.

Derivati ​​višeg reda prirodnog logaritma

Razmotrite funkciju
.
Našli smo njen derivat prvog reda:
(13) .

Nađimo derivat drugog reda:
.
Nađimo izvod trećeg reda:
.
Nađimo izvod četvrtog reda:
.

Možete primijetiti da derivat n-tog reda ima oblik:
(14) .
Dokažimo to matematičkom indukcijom.

Dokaz

Zamijenimo vrijednost n = 1 u formulu (14):
.
Budući da , onda kada je n = 1 , formula (14) je važeća.

Pretpostavimo da je formula (14) zadovoljena za n = k. Dokažimo da to implicira da formula vrijedi za n = k + 1 .

Zaista, za n = k imamo:
.
Diferencirati s obzirom na varijablu x:

.
pa smo dobili:
.
Ova formula se poklapa sa formulom (14) za n = k + 1 . Dakle, iz pretpostavke da formula (14) vrijedi za n = k, slijedi da formula (14) vrijedi za n = k + 1 .

Prema tome, formula (14), za izvod n-tog reda, vrijedi za bilo koje n.

Derivati ​​viših redova logaritma prema bazi a

Da biste pronašli izvod logaritma n-tog reda na osnovu a, morate ga izraziti prirodnim logaritmom:
.
Primjenom formule (14) nalazimo n-ti izvod:
.

Derivat

Izračunavanje derivacije matematičke funkcije (diferencijacije) je vrlo čest problem pri rješavanju više matematike. Za jednostavne (elementarne) matematičke funkcije, ovo je prilično jednostavna stvar, budući da su tablice izvoda za elementarne funkcije odavno sastavljene i lako dostupne. Međutim, pronalaženje derivacije složene matematičke funkcije nije trivijalan zadatak i često zahtijeva značajan trud i vrijeme.

Pronađite derivat na mreži

Naša online usluga vam omogućava da se riješite besmislenih dugih proračuna i pronađite derivat na mreži u jednom trenutku. Osim toga, korištenjem naše usluge koja se nalazi na web stranici www.site, možete izračunati online derivat kako od elementarne funkcije tako i od one vrlo složene koja nema analitičko rješenje. Glavne prednosti našeg sajta u odnosu na druge su: 1) ne postoje strogi zahtevi za način unosa matematičke funkcije za izračunavanje izvoda (na primer, kada unosite funkciju sinus x, možete je uneti kao sin x ili sin (x) ili sin[x], itd. d.); 2) onlajn izračunavanje derivata se dešava trenutno u režimu online i apsolutno besplatno; 3) omogućavamo vam da pronađete derivaciju funkcije bilo koji red, promena redosleda izvedenice je vrlo laka i razumljiva; 4) omogućavamo vam da pronađete izvod gotovo bilo koje matematičke funkcije na mreži, čak i one vrlo složene koje se ne mogu riješiti drugim servisima. Dostavljeni odgovor je uvijek tačan i ne može sadržavati greške.

Korišćenje našeg servera će vam omogućiti da 1) izračunate derivat na mreži za vas, eliminišući dugotrajne i zamorne proračune tokom kojih biste mogli da napravite grešku ili grešku u kucanju; 2) ako sami izračunate izvod matematičke funkcije, onda vam pružamo mogućnost da uporedite dobijeni rezultat sa proračunima našeg servisa i uverite se da je rešenje tačno ili pronađete grešku koja se uvukla; 3) koristite našu uslugu umjesto korištenja tablica izvedenica jednostavnih funkcija, gdje je često potrebno vrijeme da se pronađe željena funkcija.

Sve što se od vas traži je da pronađite derivat na mreži- je da koristite našu uslugu na

Rješavanje fizičkih zadataka ili primjera iz matematike potpuno je nemoguće bez poznavanja derivacije i metoda za njeno izračunavanje. Izvod je jedan od najvažnijih koncepata u matematičkoj analizi. Odlučili smo današnji članak posvetiti ovoj temeljnoj temi. Šta je derivacija, koje je njeno fizičko i geometrijsko značenje, kako izračunati izvod funkcije? Sva ova pitanja mogu se spojiti u jedno: kako razumjeti derivat?

Geometrijsko i fizičko značenje derivacije

Neka postoji funkcija f(x) , specificirano u određenom intervalu (a, b) . Tačke x i x0 pripadaju ovom intervalu. Kada se x promijeni, mijenja se i sama funkcija. Promjena argumenta - razlika u njegovim vrijednostima x-x0 . Ova razlika je zapisana kao delta x i naziva se povećanje argumenta. Promjena ili povećanje funkcije je razlika između vrijednosti funkcije u dvije točke. Definicija derivata:

Derivat funkcije u tački je granica omjera prirasta funkcije u datoj tački i priraštaja argumenta kada potonji teži nuli.

Inače se može napisati ovako:

Koja je svrha pronalaženja takve granice? A evo šta je to:

derivacija funkcije u tački jednaka je tangenti ugla između ose OX i tangente na graf funkcije u datoj tački.

Fizičko značenje izvedenice: derivacija putanje u odnosu na vrijeme jednaka je brzini pravolinijskog kretanja.

Zaista, još od školskih dana svi znaju da je brzina poseban put x=f(t) i vrijeme t . Prosječna brzina u određenom vremenskom periodu:

Da biste saznali brzinu kretanja u datom trenutku t0 morate izračunati granicu:

Prvo pravilo: postavite konstantu

Konstanta se može izvaditi iz predznaka derivacije. Štaviše, to se mora uraditi. Kada rješavate primjere iz matematike, uzmite to kao pravilo - Ako možete da pojednostavite izraz, obavezno ga pojednostavite .

Primjer. Izračunajmo derivaciju:

Drugo pravilo: derivacija zbira funkcija

Derivat zbira dviju funkcija jednak je zbroju izvoda ovih funkcija. Isto vrijedi i za derivaciju razlike funkcija.

Nećemo dati dokaz ove teoreme, već ćemo razmotriti praktični primjer.

Pronađite izvod funkcije:

Treće pravilo: derivacija proizvoda funkcija

Derivat proizvoda dvije diferencijabilne funkcije izračunava se po formuli:

Primjer: pronađite derivaciju funkcije:

Rješenje:

Ovdje je važno govoriti o izračunavanju izvoda složenih funkcija. Izvod kompleksne funkcije jednak je proizvodu izvoda ove funkcije u odnosu na međuargument i derivacije srednjeg argumenta u odnosu na nezavisnu varijablu.

U gornjem primjeru nailazimo na izraz:

U ovom slučaju, srednji argument je 8x na peti stepen. Da bismo izračunali derivaciju takvog izraza, prvo izračunamo derivaciju eksterne funkcije u odnosu na međuargument, a zatim pomnožimo sa derivacijom samog međuargumena u odnosu na nezavisnu varijablu.

Četvrto pravilo: derivacija količnika dvije funkcije

Formula za određivanje derivacije kvocijenta dvije funkcije:

Pokušali smo da pričamo o derivatima za lutke od nule. Ova tema nije tako jednostavna kao što se čini, stoga budite upozoreni: u primjerima često postoje zamke, stoga budite oprezni pri izračunavanju izvedenica.

Za sva pitanja o ovoj i drugim temama možete se obratiti studentskoj službi. U kratkom vremenu pomoći ćemo vam da riješite najteži test i shvatite zadatke, čak i ako nikada prije niste radili izvedene proračune.