«Различные способы умножения: от древности до нашего времени. Способы умножения чисел Интересные способы умножения многозначных чисел

МОУ «Куровская средняя общеобразовательная школа №6»

РЕФЕРАТ ПО МАТЕМАТИКЕ НА ТЕМУ:

« НЕОБЫЧНЫЕ СПОСОБЫ УМНОЖЕНИЯ ».

Выполнил ученик 6 «б» класса

Крестников Василий.

Руководитель:

Смирнова Татьяна Владимировна.

Вступление …………………………………………………………………………2

Основная часть. Необычные способы умножения…………………………3

2.1. Немного истории………………………………………………………………..3

2.2. Умножение на пальцах…………………………………………………………4

2.3. Умножение на 9…………………………………………………………………5

2.4. Индийский способ умножения……………………………………………….6

2.5. Умножение способом «Маленький замок»…………………………………7

2.6. Умножение способом «Ревность»……………………………………………8

2.7. Крестьянский способ умножения……………………………………………..9

2.8 Новый способ…………………………………………………………………..10

Заключение………………………………………………………………………11

Список литературы…………………………………………………………….1 2

I . Вступление .

Человеку в повседневной жизни невозможно обойтись без вычислений. Поэтому на уроках математики, нас в первую очередь учат выполнять действия над числами, то есть считать. Умножаем, делим, складываем и вычитаем мы привычными для всех способами, которые изучаются в школе.

Однажды мне случайно попалась книга С. Н. Олехника, Ю. В. Нестеренко и М. К. Потапова «Старинные занимательные задачи». Листая эту книгу, мое внимание привлекла страничка под названием «Умножение на пальцах». Оказалось, что можно умножать не только так как предлагают нам в учебниках математики. Мне стало интересно, а есть ли еще какие-нибудь способы вычислений. Ведь способность быстро производить вычисления вызывает откровенное удивление.

Постоянное применение современной вычислительной техники приводит к тому, что учащиеся затрудняются производить какие-либо расчеты, не имея в своем распоряжении таблиц или счетной машины. Знание упрощенных приемов вычислений дает возможность не только быстро производить простые расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результате механизированных вычислений. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память, повышает уровень математической культуры мышления, помогает полноценно усваивать предметы физико-математического цикла.

Цель работы:

Показать необычные способы умножения.

Задачи:

Найти как можно больше необычных способов вычислений.

Научиться их применять.

Выбрать для себя самые интересные или более легкие, чем те которые предлагаются в школе, и использовать их при счете.

II . Основная часть. Необычные способы умножения.

2.1. Немного истории.

Те способы вычислений, которыми мы пользуемся сейчас, не всегда были так просты и удобны. В старину пользовались более громоздкими и медленными приемами. И если бы школьник 21 века мог перенестись на пять веков назад, он поразил бы наших предков быстротой и безошибочностью своих вычислений. Молва о нем облетела бы окрестные школы и монастыри, затмив славу искуснейших счетчиков той эпохи, и со всех сторон приезжали бы учиться у нового великого мастера.

Особенно трудны в старину были действия умножения и деления. Тогда не существовало одного выработанного практикой приема для каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чуть не дюжина различных способов умножения и деления – приемы один другого запутаннее, запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счетного дела держался своего излюбленного приема, каждый «магистр деления» (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия.

В книге В. Беллюстина «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики» изложено 27 способов умножения, причем автор замечает: «весьма возможно, что есть и еще способы, скрытые в тайниках книгохранилищ, разбросанные в многочисленных, главным образом, рукописных сборниках».

И все эти приемы умножения – «шахматный или органчиком», «загибанием», «крестиком», «решеткой», «задом наперед», «алмазом» и прочие соперничали друг с другом и усваивались с большим трудом.

Давайте рассмотрим наиболее интересные и простые способы умножения.

2.2. Умножение на пальцах.

Древнерусский способ умножения на пальцах является одним из наиболее употребительных методов, которым успешно пользовались на протяжении многих столетий российские купцы. Они научились умножать на пальцах однозначные числа от 6 до 9. При этом достаточно было владеть начальными навыками пальцевого счета “единицами”, “парами”, “тройками”, “четверками”, “пятерками” и “десятками”. Пальцы рук здесь служили вспомогательным вычислительным устройством.

Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, на сколько первый множитель превосходит число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. Потом бралось число (суммарное) вытянутых пальцев и умножалось на 10, далее перемножались числа, показывавшие, сколько загнуто пальцев на руках, а результаты складывались.

Например, умножим 7 на 8. В рассмотренном примере будет загнуто 2 и 3 пальца. Если сложить количества загнутых пальцев (2+3=5) и перемножить количества не загнутых (2 3=6), то получатся соответственно числа десятков и единиц искомого произведения 56 . Так можно вычислять произведение любых однозначных чисел, больше 5.

2.3. Умножение на 9.

Умножение для числа 9 – 9·1, 9·2 … 9·10 – легче выветривается из памяти и труднее пересчитывается вручную методом сложения, однако именно для числа 9 умножение легко воспроизводится “на пальцах”. Растопырьте пальцы на обеих руках и поверните руки ладонями от себя. Мысленно присвойте пальцам последовательно числа от 1 до 10, начиная с мизинца левой руки и заканчивая мизинцем правой руки (это изображено на рисунке).

Допустим, хотим умножить 9 на 6. Загибаем палец с номером, равным числу, на которое мы будем умножать девятку. В нашем примере нужно загнуть палец с номером 6. Количество пальцев слева от загнутого пальца показывает нам количество десятков в ответе, количество пальцев справа – количество единиц. Слева у нас 5 пальцев не загнуто, справа – 4 пальца. Таким образом, 9·6=54. Ниже на рисунке детально показан весь принцип “вычисления”.

Еще пример: нужно вычислить 9·8=?. По ходу дела скажем, что в качестве “счетной машинки” не обязательно могут выступать пальцы рук. Возьмите, к примеру, 10 клеточек в тетради. Зачеркиваем 8-ю клеточку. Слева осталось 7 клеточек, справа – 2 клеточки. Значит 9·8=72. Все очень просто.

7 клеток 2 клетки.

2.4. Индийский способ умножения .

Самый ценный вклад в сокровищницу математических знаний был совершен в Индии. Индусы предложили употребляемый нами способ записи чисел при помощи десяти знаков: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Основа этого способа заключается в идее, что одна и та же цифра обозначает единицы, десятки, сотни или тысячи, в зависимости от того, какое место эта цифра занимает. Занимаемое место, в случае отсутствия каких – нибудь разрядов, определяется нулями, приписываемыми к цифрам.

Индусы отлично считали. Они придумали очень простой способ умножения. Они умножение выполняли, начиная со старшего разряда, и записывали неполные произведения как раз над множимым, поразрядно. При этом сразу был виден старший разряд полного произведения и, кроме того, исключался пропуск какой-либо цифры. Знак умножения еще не был известен, поэтому между множителями они оставляли небольшое расстояние. Например, умножим их способом 537 на 6:

(5 ∙ 6 =30) 30

(300 + 3 ∙ 6 = 318) 318

(3180 +7 ∙ 6 = 3222) 3222

2.5 . Умножение способом «МАЛЕНЬКИЙ ЗАМОК» .

Умножение чисел сейчас изучают в первом классе школы. А вот в Средние века совсем немногие владели искусством умножения. Редкий аристократ мог похвастаться знанием таблицы умножения, даже если он окончил европейский университет.

За тысячелетия развития математики было придумано множество способов умножения чисел. Итальянский математик Лука Пачоли в своём трактате «Сумма знаний по арифметике, отношениям и пропорциональности»(1494 г.) приводит восемь различных методов умножения. Первый из них носит название «Маленький замок», а второй не менее романтичное название «Ревность или решетчатое умножение».

Преимущество способа умножения «Маленький замок» в том, что уже с самого начала определяются цифры старших разрядов, а это бывает важно, если требуется быстро оценить величину.

Цифры верхнего числа, начиная со старшего разряда, поочередно умножаются на нижнее число и записываются в столбик с добавлением нужного числа нулей. Затем результаты складываются.

2.6. Умножение чисел методом «ревность».

Второй способ носит романтическое название «ревность», или «решётчатое умножение».

Сначала рисуется прямоугольник, разделённый на квадраты, причём размеры сторон прямоугольника соответствуют числу десятичных знаков у множимого и множителя. Затем квадратные клетки, делятся по диагонали, и «…получается картинка, похожая на решётчатые ставни-жалюзи, – пишет Пачоли. – Такие ставни вешались на окна венецианских домов, мешая уличным прохожим видеть, сидящих у окон дам и монахинь».

Умножим этим способом 347 на 29. Начертим таблицу, запишем над ней число 347, а справа число 29.

В каждую строчку запишем произведение цифр, стоящих над этой клеткой и справа от нее, при этом цифру десятков произведения напишем над косой чертой, а цифру единиц – под ней. Теперь складываем числа в каждой косой полосе, выполняя эту операцию, справа налево. Если сумма окажется меньше 10, то ее пишем под нижней цифрой полосы. Если же она окажется больше, чем 10, то пишем только цифру единиц суммы, а цифру десятков прибавляем к следующей сумме. В результате получаем искомое произведение 10063.

2.7. К рестьянский способ умножения .

Самым, на мой взгляд, «родным» и легким способом умножения является способ, который употребляли русские крестьяне. Этот прием вообще не требует знания таблицы умножения дальше числа 2. Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа. Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и дает искомый результат.

В случае нечетного числа надо откинуть единицу и делить остаток пополам; но зато к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечетных чисел левого столбца: сумма и будет искомым произведением

Произведение всех пар соответственных чисел одинаковое, поэтому

37 ∙ 32 = 1184 ∙ 1 = 1184

В случае, когда одно из чисел нечетное или оба числа нечетные, поступаем следующим образом:

384 ∙ 1 = 384

24 ∙ 17 = 24∙(16+1)=24 ∙ 16 + 24 = 384 + 24 = 408

2.8 . Новый способ умножения.

Интересен новый способ умножения, о котором недавно появились сообщения. Изобретатель новой системы устного счёта кандидат философских наук Василий Оконешников утверждает, что человек способен запоминать огромный запас информации, главное – как эту информацию расположить. По мнению самого учёного, наиболее выигрышной в этом отношении является девятеричная система – все данные просто располагают в девяти ячейках, расположенных, как кнопочки на калькуляторе.

Считать по такой таблице очень просто. К примеру, умножим число 15647 на 5. В части таблицы, соответствующей пятёрке, выбираем числа, соответствующие цифрам числа по порядку: единице, пятёрке, шестёрке, четвёрке и семёрке. Получаем: 05 25 30 20 35

Левую цифру (в нашем примере – ноль) оставляем без изменений, а следующие цифры складываем попарно: пятёрку с двойкой, пятёрку с тройкой, ноль с двойкой, ноль с тройкой. Последняя цифра также без изменений.

В итоге получаем: 078235. Число 78235 и есть результат умножения.

Если же при сложении двух цифр получается число, превосходящее девять, то его первая цифра прибавляется к предыдущей цифре результата, а вторая пишется на «своё» место.

III . Заключение.

Из всех найденных мною необычных способов счета более интересным показался способ «решетчатого умножения или ревность». Я показал его своим одноклассникам, и он им тоже очень понравился.

Самым простым мне показался метод «удвоения и раздвоения», который использовали русские крестьяне. Я его использую при умножении не слишком больших чисел (очень удобно его использовать при умножении двузначных чисел).

Заинтересовал меня новый способ умножения, потому что он позволяет в уме «ворочать» огромными числами.

Я думаю, что и наш способ умножения в столбик не является совершенным и можно придумать еще более быстрые и более надежные способы.

Литература.

Депман И. «Рассказы о математике». – Ленинград.: Просвещение, 1954. – 140 с.

Корнеев А.А. Феномен русского умножения. История. http://numbernautics.ru/

Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К. «Старинные занимательные задачи». – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. – 160 с.

Перельман Я.И. Быстрый счет. Тридцать простых приемов устного счета. Л., 1941 - 12 с.

Перельман Я.И. Занимательная арифметика. М.Русанова,1994–205с.

Энциклопедия «Я познаю мир. Математика». – М.: Астрель Ермак, 2004.

Энциклопедия для детей. «Математика». – М.: Аванта +, 2003. – 688 с.

Агафуров Максим

Рецензия на научно-исследовательскую работу учащегося.

1. Исследовательская работа выполнена учеником 7 «А» класса МБОУ «СОШ № 2» Агафуровым Максимом.
2. Руководитель исследования: учитель математики – Лукьянова О.А.
3. Тема работы: «Необычные способы умножения». Вид работы: реферативная. Данная работа является актуальной на сегодняшний день, т.к. знание упрощенных приемов устных вычислений ос­тается необходимым даже при полной механизации всех наибо­лее трудоемких вычислительных процессов. Устные вычисления дают возможность не только быстро производить расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результатах вычислений, выполненных с помощью калькуля­тора. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память и помогает школьникам полноценно усваивать предметы физико-математического цикла.
4. Выполнена исследовательская часть работы. Изложены объяснения данных примеров и сделаны соответствующие выводы.
5. Цели и задачи научно-исследовательской работы сформулированы грамотно, соответствуют заявленной теме.
6. Специальная литература изучена качественно с достаточной глубиной.
7. Выводы научно-исследовательской работы логичны, теоретически обоснованы.
8. В работе представлена исследовательская часть на достаточном уровне. Ее описание соответствует выводам. Большая часть работы выполнялась в основном самостоятельно, с небольшими направляющими советами и действиями руководителя.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Введение « Счет и вычисления –

Основы порядка в голове».

Иоганн Генрих Песталоцци (1746 - 1827)

Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели.

Актуальность: Математика является одной из важнейших наук на земле и именно с ней человек встречается каждый день в своей жизни. Счет в уме является самым древним и простым способом вычисления. Знание упрощенных приемов устных вычислений остается необходимым даже при полной механизации всех наиболее трудоемких вычислительных процессов. Устные вычисления дают возможность не только быстро производить расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результатах вычислений, выполненных с помощью калькулятора. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память и помогает школьникам полноценно усваивать предметы физико-математического цикла.

Человеку в повседневной жизни невозможно обойтись без вычислений. Поэтому на уроках математики, нас в первую очередь учат выполнять действия над числами, то есть считать. Умножаем, делим, складываем и вычитаем мы привычными для всех способами, которые изучаются в школе.

Мне стало интересно, а есть ли еще какие-нибудь способы вычислений? Оказалось, что можно умножать не только так, как предлагают нам в учебниках математики, но и по-другому. Используя интернет-ресурсы, я узнал много необычных способов умножений. Ведь способность быстро производить вычисления вызывает откровенное удивление.

Цель исследования :

• Найти как можно больше необычных способов вычислений.
• Научиться их применять.
• Выбрать для себя самые интересные, чем те, которые предлагаются в школе, и использовать их при счете.

Задачи исследования:

1. Познакомиться со старинными способами умножения, такими как: «Ревность, или решётчатое умножение», «Маленький замок», «Русский крестьянский способ», «Линейный способ».

2. Исследовать приемы устного возведения чисел в квадрат и применять их на практике.

Немного истории.

Те способы вычислений, которыми мы пользуемся сейчас, не всегда были так просты и удобны. В старину пользовались более громоздкими и медленными приемами. И если бы школьник 21 века мог перенестись на пять веков назад, он поразил бы наших предков быстротой и безошибочностью своих вычислений. Молва о нем облетела бы окрестные школы и монастыри, затмив славу искуснейших счетчиков той эпохи, и со всех сторон приезжали бы учиться у нового великого мастера.

Особенно трудны в старину были действия умножения и деления. Тогда не существовало одного выработанного практикой приема для каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чуть не дюжина различных способов умножения и деления - приемы один другого запутаннее, запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счетного дела держался своего излюбленного приема, каждый «магистр деления» (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия. За тысячелетия развития математики было придумано много способов умножения. Кроме таблицы умножения, все они громоздкие, сложные и трудно запоминаются. Считалось, что для овладения искусством быстрого умножения нужно особое природное дарование. Простым людям, не обладающим особым математическим даром, это искусство было недоступно.

И все эти приемы умножения - «шахматный или органчиком», «загибанием», «крестиком», «решеткой», «задом наперед», «алмазом» и прочие соперничали друг с другом и усваивались с большим трудом.

Давайте рассмотрим наиболее интересные и простые способы умножения.

1.1. «Ревность, или решётчатое умножение»

Итальянский математик 15 века Лука Пачоли приводит 8 способов умножения. На мой взгляд, самые интересные из них – «ревность или решетчатое умножение» и «маленький замок».

Умножим 347 на 29.

Рисуем прямоугольник, делим его на квадраты, квадраты делим по диагонали. Получается картинка, похожая на решетчатые ставни венецианских домов. От этого и произошло название метода.

Вверху таблицы запишем число 347, а справа сверху вниз – 29

В каждый квадрат впишем произведение цифр, расположенных в одной строке и одном столбце с этим квадратом. Десятки располагаются в верхнем треугольнике, а единицы – в нижнем. Цифры складываются вдоль каждой диагонали. Результаты записываются слева и справа от таблицы.

Ответ – 10063.

Неудобства этого способа заключаются в трудоёмкости построения прямоугольной таблицы, а сам процесс умножения интересен и заполнение таблицы напоминает игру.

1.2. «Русский крестьянский способ»

В России среди крестьян был распространен способ, который не требовал знания всей таблицы умножения. Здесь необходимо лишь умение умножать и делить числа на 2.

Напишем одно число слева, а другое справа на одной строке Левое число будем делить на 2, а правое – умножать на 2 и результаты записывать в столбик. Если при делении возник остаток, то его отбрасывают. Умножение и деление на 2 продолжают до тех пор, пока слева не останется 1.

Затем вычеркиваем те строчки из столбика, в которых слева стоят четные числа. Теперь сложим оставшиеся числа в правом столбце.

Ответ – 1972026.

1.3.Китайский способ умножения.

А теперь представим метод умножения, бурно обсуждаемый в Интернете, который называют китайским. При умножении чисел считаются точки пересечения прямых, которые соответствуют количеству цифр каждого разряда обоих множителей.

На листе бумаги поочередно рисуем линии, количество которых определяется из данного примера.

Сначала 32: 3 красные линии и чуть ниже - 2 синие. Затем 21: перпендикулярно уже нарисованным, рисуем сначала 2 зеленые, затем - 1 малиновую . ВАЖНО: линии первого числа рисуются в направлении из верхнего левого угла в нижний правый, второго числа - из нижнего левого, в верхний правый . Затем считаем количество точек пересечения в каждой из трех областей (на рисунке области обозначены в виде окружностей). Итак, в первой области (область сотен) - 6 точек, во второй (область десятков) - 7 точек, в третьей (область единиц) - 2 точки. Следовательно, ответ: 672.

2. Исследовательская часть

Приёмы быстрого счета развивают память. Это касается не только математики, но и других предметов, которые изучаются в школе.

Также хочется добавить в работу способы устного возведения чисел в квадрат без использования калькулятора и, что является необходимым при решении задач ГИА и ЕГЭ, а так же является хорошей тренировкой ума.

А теперь перейдем к некоторым интересным и мне понравившимся способам устного возведения чисел в квадрат, применяемых на уроках алгебры и геометрии.

2.1. Возведение в квадрат любого двузначного числа.

Если запомнить квадраты всех чисел от 1 до 25, то легко найти и квадрат любого двузначного числа, превышающего 25.

Для того чтобы найти квадрат любого двузначного числа, надо разность между этим числом и 25 умножить на 100 и к получившемуся произведению прибавить квадрат дополнения данного числа до 50 или квадрат избытка его над 50-ю.

Рассмотрим пример:

37 2 =12*100+13 2 =1200+169=1369

(М–25)*100+ (50-M) 2 =100M-2500+2500–100M+M 2 =M 2 .

2.2.Квадрат числа, близкого к «круглому».

Вычисление квадратов в разобранных примерах основано на формуле

А ² = (а + в ) (а – в ) + в ²,

В которой удачный подбор числа в сильно облегчает выкладки: во-первых, один из сомножителей должен оказаться «круглым» числом (желательно, чтобы ненулевой его цифрой была только первая), во-вторых, само число в должно легко возводиться в квадрат, т. е. должно быть небольшим. Эти условия реализуются как раз на числах а , близких к «круглым».

192² = 200*184 + 8² = 36864, / (192+8)(192-8)+ 8²/

412² = 400*424 + 12² = 169744, /(412-12)(412+12)+ 12²/

2.3. Возведение в квадрат чисел от 40 до50.

2.4. Возведение в квадрат чисел от 50 до60.

Чтобы возвести в квадрат число шестого десятка (51,52,53,54,55,56,57,58,59)
надо к числу единиц прибавить 25 и к этой сумме приписать квадрат числа единиц.
Например:
54*54=(4+25)*100+4*4=2916
57*57=(7+25)*100+7*7=3249

2.5. Возведение в квадрат числа, оканчивающееся на 5.

Число десятков умножаем на следующее число десятков и прибавляем 25.

15*15 = 10*20+ 25=225 или (1*2 и приписываем справа 25)

35*35 =30*40 +25= 1225 (3*4 и приписываем справа 25)

65*65 = 60*70+25=4225 (6*7 и приписываем справа 25)

2.6. Квадрат числа, оканчивающегося на 1.

При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 1, нужно заменить эту единицу на 0, возвести новое число в квадрат и прибавить к этому квадрату исходное число и число, полученное заменой 1 на 0.

Пример № 6. 71 2 = ?

71→70→70 2 =4900→4900+70+71=5041=71 2 .

2.7. Квадрат числа, оканчивающегося на 6.

При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 6, нужно заменить цифру 6 на 5, возвести новое число в квадрат (описанным ранее способом) и прибавить к этому квадрату исходное число и число, полученное заменой 6 на 5.

Пример №7. 56 2 =?

56→55→55 2 =3025(5 6=30→3025) →3025+55+56 = 3136= 56 2 .

2.8.Квадрат числа, оканчивающегося на 9.

При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 9, нужно заменить эту цифру 9 на 0 (получим следующее натуральное число), возвести новое число в квадрат и из этого квадрата вычесть исходное число и число, полученное заменой 9 на 0.

Пример №8. 59 2 =?

59 → 60→60 2 =3600→ 3600 – 60 – 59 = 3481= 59 2 .

2.9.Квадрат числа, оканчивающегося на 4.

При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 4, нужно заменить цифру 4 на 5, возвести новое число в квадрат и из этого квадрата вычесть исходное число и число, полученное заменой 4 на 5.

Пример № 9. 84 2 =?

84→85→85 2 =7225(8 9=72→7225) →7225 – 85 – 84 = 7056 =84 2 .

2.10. При возведении в квадрат часто бывает удобно воспользоваться формулой (а b) 2 =а 2 +b 2 2аb.

Пример № 10.

41 2 = (40+1) 2 =1600+1+80=1681.

Заключение

При выполнении исследовательской работы мне понадобились не только те знания, которые имеются у меня, но и необходимая работа с дополнительной литературой.

1. В ходе моей работы я нашел и освоил различные способы умножения многозначных чисел и могу констатировать следующее - большинство способов умножения многозначных чисел основаны на знании таблицы умножения

Способ «решетчатое умножение» ничуть не хуже, чем общепринятый. Он даже проще, поскольку в клетки таблицы заносятся числа прямо из таблицы умножения без одновременного сложения, присутствующего в стандартном методе;

-«русский крестьянский» способ умножения гораздо проще рассмотренных ранее способов. Но он также очень громоздкий.

Из всех найденных мною необычных способов счета более интересным показался способ «решетчатого умножения или ревность». Я показал его своим одноклассникам, и он им тоже очень понравился.

Самым простым мне показался китайский способ умножения, который использовали китайцы, так как он не требует знаний таблицы умножения. Научившись считать всеми представленными способами, я пришел к выводу: что самые простые способы это те, которые мы изучаем в школе, может быть они для нас более привычны.

2. Я узнал некоторые приемы устного счета, которые помогут мне в жизни. Мне было очень интересно работать над проектом. Я изучил новые для меня способы умножения, рассмотрел различные приемы возведения чисел в квадрат. Многие вычисления связаны с формулами сокращенного умножения, которые я изучил на уроках алгебры. Используя упрощенные приёмы устных вычислений, я теперь могу производить наиболее трудоёмкие арифметические действия без применения калькулятора и компьютера. Заинтересовался не только я, но и мои родители. Я показал приемы устного умножения своим друзьям и одноклассникам. Знание упрощенных приемов устных вычислений особенно важно в тех случаях, когда не имеешь в своем распоряжении таблиц или калькулятора. У меня появилось желание продолжить эту работу и узнать ещё приемы устного счёта. Я думаю, что моя работа не пройдет для меня зря, все полученные знания я смогу использовать при сдаче ГИА и ЕГЭ.

Донской, 2013 г.

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа с. Шланлы

Муниципального района Аургазинский район РБ

Научно-исследовательская работа

«НЕОБЫЧНЫЕ СПОСОБЫ УМНОЖЕНИЯ»

Васильев Николай

Руководитель -

2013-2014 уч. г.

1. Введение……………………………………………………………......

2. Необычные способы умножения………………………………………...

1) Немного истории………..………..…………………………………..

2) Умножение на 9 ……………………………………………..............

3) Умножение на пальцах ………………………………………………

4) Таблица Пифагора ……………………………………………………

5) Таблица Оконешникова ……………………………………………….

6) Крестьянский способ умножения……………………….………....

7) Умножение способом «Маленький замок» ………….……………….

8) Умножение способом «Ревность» …………………………………….

9) Китайский способ умножения …………………………………………

10) Японский способ умножения …………………………………………

3. Заключение…………………………..…………………………………...

4. Список литературы……………………………………………………….

Введение

Человеку в повседневной жизни невозможно обойтись без вычислений. Поэтому на уроках математики, нас в первую очередь учат выполнять действия над числами, то есть считать. Умножаем, делим, складываем и вычитаем мы привычными для всех способами, которые изучаются в школе.

Однажды мне случайно попалась страница в Интернете с необычным способом умножения, которым пользуются дети в Китае (как там написано). Я прочитал, изучил и мне понравился этот способ. Оказалось, что можно умножать не только так как предлагают нам в учебниках математики. Мне стало интересно, а есть ли еще какие-нибудь способы вычислений. Ведь способность быстро производить вычисления вызывает откровенное удивление.

Постоянное применение современной вычислительной техники приводит к тому, что учащиеся затрудняются производить какие-либо расчеты, не имея в своем распоряжении таблиц или счетной машины. Знание упрощенных приемов вычислений дает возможность не только быстро производить простые расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результате механизированных вычислений. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память, повышает уровень математической культуры мышления, помогает полноценно усваивать предметы физико-математического цикла.

Цель работы:

Показать необычные способы умножения.

Задачи:

Ø Найти как можно больше необычных способов вычислений.

Ø Научиться их применять.

Ø Выбрать для себя самые интересные или более легкие, чем те которые предлагаются в школе, и использовать их при счете.

Мне стало интересно, знают ли современные школьники, мои одноклассники и другие, иные способы выполнения арифметических действий, кроме умножения столбиком и деления «уголком» и хотели бы узнать новые способы? Я провел устный опрос. Было опрошено 20 учащихся 5-7 классов. Этот опрос показал, что современные школьники не знают других способов выполнения действий, так как редко обращаются к материалу, находящемуся за пределами школьной программы.

Результаты анкетирования:

https://pandia.ru/text/80/266/images/image002_6.png" align="left" width="267" height="178 src=">

2) а) Умеете ли вы умножать, складывать,

https://pandia.ru/text/80/266/images/image004_2.png" align="left" width="264 height=176" height="176">

3) а хотели бы узнать?

Необычные способы умножения.

Немного истории

Те способы вычислений, которыми мы пользуемся сейчас, не всегда были так просты и удобны. В старину пользовались более громоздкими и медленными приемами. И если бы школьник 21 века мог перенестись на пять веков назад, он поразил бы наших предков быстротой и безошибочностью своих вычислений. Молва о нем облетела бы окрестные школы и монастыри, затмив славу искуснейших счетчиков той эпохи, и со всех сторон приезжали бы учиться у нового великого мастера.

Особенно трудны в старину были действия умножения и деления. Тогда не существовало одного выработанного практикой приема для каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чуть не дюжина различных способов умножения и деления - приемы один другого запутаннее, запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счетного дела держался своего излюбленного приема, каждый «магистр деления» (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия.

В книге В. Беллюстина «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики» изложено 27 способов умножения, причем автор замечает: «весьма возможно, что есть и еще способы, скрытые в тайниках книгохранилищ, разбросанные в многочисленных, главным образом, рукописных сборниках».

И все эти приемы умножения - «шахматный или органчиком», «загибанием», «крестиком», «решеткой», «задом наперед», «алмазом» и прочие соперничали друг с другом и усваивались с большим трудом.

Давайте рассмотрим наиболее интересные и простые способы умножения.

Умножение на 9

Умножение для числа 9 - 9·1, 9·2 ... 9·10 - легче выветривается из памяти и труднее пересчитывается вручную методом сложения, однако именно для числа 9 умножение легко воспроизводится "на пальцах". Растопырьте пальцы на обеих руках и поверните руки ладонями от себя. Мысленно присвойте пальцам последовательно числа от 1 до 10, начиная с мизинца левой руки и заканчивая мизинцем правой руки (это изображено на рисунке).

вычисления".

счетной машинки" не обязательно могут выступать пальцы рук. Возьмите, к примеру, 10 клеточек в тетради. Зачеркиваем 8-ю клеточку. Слева осталось 7 клеточек, справа - 2 клеточки. Значит 9·8=72. Все очень просто.

7 клеток 2 клетки.

Умножение на пальцах

Древнерусский способ умножения на пальцах является одним из наиболее употребительных методов, которым успешно пользовались на протяжении многих столетий российские купцы. Они научились умножать на пальцах однозначные числа от 6 до 9. При этом достаточно было владеть начальными навыками пальцевого счета “единицами”, “парами”, “тройками”, “четверками”, “пятерками” и “десятками”. Пальцы рук здесь служили вспомогательным вычислительным устройством.

Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, на сколько первый множитель превосходит число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. Потом бралось число (суммарное) вытянутых пальцев и умножалось на 10, далее перемножались числа, показывавшие, сколько загнуто пальцев на руках, а результаты складывались.

Например, умножим 7 на 8. В рассмотренном примере будет загнуто 2 и 3 пальца. Если сложить количества загнутых пальцев (2+3=5) и перемножить количества не загнутых (2 3=6), то получатся соответственно числа десятков и единиц искомого произведения 56 . Так можно вычислять произведение любых однозначных чисел, больше 5.

Таблица Пифагора

Вспомним главное правило древнеегипетской математики, в котором сказано, что умножение производится при помощи удвоения и сложения полученных результатов; то есть каждое удвоение есть сложение числа с самим собой. Поэтому интересно посмотреть на результат подобного удвоения цифр и чисел, но полученному современным методом складывания « в столбик», известному даже в начальных классах школы.

Таблица Оконешникова

Школьники смогут научиться устно складывать и умножать миллионы, биллионы и даже секстиллионы с квадриллионами. А поможет им в этом кандидат философских наук Василий Оконешников, по совместительству изобретатель новой системы устного счёта. Учёный утверждает, что человек способен запоминать огромный запас информации, главное – как эту информацию расположить.

По мнению самого учёного, наиболее выигрышной в этом отношении является девятеричная система – все данные просто располагают в девяти ячейках, расположенных, как кнопочки на калькуляторе.

По мысли учёного, прежде чем стать вычислительным «компьютером», необходимо вызубрить созданную им таблицу. Цифры в ней распределены в девяти клетках непросто. Как утверждает Оконешников, глаз человека и его память так хитро устроены, что информация, расположенная по его методике, запоминается во-первых, быстрее, а во-вторых – намертво.

Таблица разделена на 9 частей. Расположены они по принципу мини калькулятора: слева в нижнем углу «1», справа в верхнем углу «9». Каждая часть – таблица умножения чисел от 1 до 9 (опять же в левом нижнем углу на 1, рядом правее на 2 и т. д., по той же «кнопочной» система). Как ими пользоваться?
Например , требуется умножить 9 на 842 . Сразу вспоминаем большую «кнопку» 9 (она вверху справа и на ней мысленно находим маленькие кнопочки 8,4,2 (они также расположены как на калькуляторе). Им соответствуют числа 72, 36, 18. Полученные числа складываем особо: первая цифра 7 (остаётся без изменения), 2 мысленно складываем с 3, получаем 5 – это вторая цифра результата, 6 складываем с 1, получаем третью цифру -7, и остаётся последняя цифра искомого числа – 8. В результате получилось 7578.
Если при сложении двух цифр получается число, превосходящее девять, то его первая цифра прибавляется к предыдущей цифре результата, а вторая пишется на «своё» место.

С помощью матричной таблицы Оконешникова по утверждению самого автора, можно изучать и иностранные языки , и даже таблицу Менделеева. Новая методика была опробована в нескольких российских школах и университетах. Минобразования РФ разрешило публиковать в тетрадях в клеточку вместе с привычной таблицей Пифагора новую таблицу умножения – пока просто для знакомства.

Пример : 15647 х 5

https://pandia.ru/text/80/266/images/image015_0.jpg" alt="Рисунок5" width="220 height=264" height="264"> 35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645.

Умножение способом «МАЛЕНЬКИЙ ЗАМОК»

Умножение чисел сейчас изучают в первом классе школы. А вот в Средние века совсем немногие владели искусством умножения. Редкий аристократ мог похвастаться знанием таблицы умножения, даже если он окончил европейский университет.

За тысячелетия развития математики было придумано множество способов умножения чисел. Итальянский математик Лука Пачоли в своём трактате «Сумма знаний по арифметике, отношениям и пропорциональности» (1494г.) приводит восемь различных методов умножения. Первый из них носит название «Маленький замок», а второй не менее романтичное название «Ревность или решетчатое умножение».

Преимущество способа умножения «Маленький замок» в том, что уже с самого начала определяются цифры старших разрядов, а это бывает важно, если требуется быстро оценить величину.

Цифры верхнего числа, начиная со старшего разряда, поочередно умножаются на нижнее число и записываются в столбик с добавлением нужного числа нулей. Затем результаты складываются.

Умножение чисел методом «ревность».

https://pandia.ru/text/80/266/images/image018.jpg" width="303" height="192 id=">.jpg" width="424 height=129" height="129">

3. Так выглядит сетка со всеми заполненными клетками.

Сетка 1

4. В заключение складываем числа, следуя диагональным полосам. Если сумма одной диагонали содержит десятки, то прибавляем их к следующей диагонали.

Сетка1

Из результатов сложения цифр по диагоналям (они выделены жёлтым фоном) составляется число 2355315 , которое и является произведением чисел 6827 и 345, то есть 6827 х 345 = 2355315.

Китайский способ умножения

А теперь представим метод умножения, бурно обсуждаемый в Интернете, который называют китайским. При умножении чисел считаются точки пересечения прямых, которые соответствуют количеству цифр каждого разряда обоих множителей.

https://pandia.ru/text/80/266/images/image024_0.png" width="92" height="46">Пример : умножим 21 на 13 . В первом множителе 2 десятка и 1единица, значит, строим 2 параллельные прямые и поодаль 1 прямую.

Прямые пересеклись в точках, количество которых и есть ответ, то есть 21 х 13 = 273

Забавно и интересно, но проводить 9 прямых при умножении на 9 как-то долго и неинтересно, а потом еще точки пересечения считать… В общем, без таблицы умножения не обойтись!

Японский способ умножения

Японский способ умножения – это графический способ с использованием кругов и линий. Не менее забавный и интересный чем китайский. Даже чем-то на него похож.

Пример: умножим 12 на 34. Так как второй множитель двузначное число, а первая цифра первого множителя 1 , строим два одиночных круга в верхней строке и два двоичных круга в нижней строке, так как вторая цифра первого множителя равна 2 .

12 х 34

Количество частей, на которые разделились круги и является ответом, то есть 12 х 34 = 408.

Из всех найденных мною необычных способов счета более интересным показался способ «решетчатого умножения или ревность». Я показал его своим одноклассникам, и он им тоже очень понравился.

Самым простым мне показался метод «удвоения и раздвоения», который использовали русские крестьяне. Я его использую при умножении не слишком больших чисел (очень удобно его использовать при умножении двузначных чисел).

Я думаю, что и наш способ умножения в столбик не является совершенным и можно придумать еще более быстрые и более надежные способы.

Литература

1. «Рассказы о математике». – Ленинград.: Просвещение, 1954. – 140 с.

2. Феномен русского умножения. История. http://numbernautics. ru/

3. , «Старинные занимательные задачи». – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. – 160 с.

4. Перельман счет. Тридцать простых приемов устного счета. Л., 1941 - 12 с.

5. Перельман арифметика. М. Русанова,1994--205с.

6. Энциклопедия «Я познаю мир. Математика». – М.: Астрель Ермак, 2004.

7. Энциклопедия для детей. «Математика». – М.: Аванта +, 2003. – 688 с.

18 марта 2019 два исследователя описали самый быстрый из известных методов перемножения двух очень больших чисел. Работа отмечает кульминацию давнишнего поиска наиболее эффективной процедуры выполнения одной из базовых операций математики.

«Все думают, что метод умножения, который они учили в школе, наилучший, но на самом деле в этой области идут активные исследования», - говорит Йорис ван дер Хувен , математик из Французского национального центра научных исследований, один из соавторов работы.

Сложность множества вычислительных задач, от подсчёта новых цифр числа π до обнаружения крупных простых чисел сводится к скорости перемножения. Ван дер Хувен описывает их результат как назначение своего рода математического ограничения скорости решения множества других задач.

«В физике есть важные константы типа скорости света, позволяющие вам описывать всякие явления, - сказал ван дер Хувен. – Если вы хотите знать, насколько быстро компьютеры могут решать определённые математические задачи, тогда перемножение целых чисел возникает в виде некоего базового строительного блока, по отношению к которому можно выразить такую скорость».

Почти все учатся перемножать числа одинаково. Записываем числа в столбик, перемножаем верхнее число на каждую цифру нижнего (с учётом разрядов) и складываем результат. При перемножении двух двузначных чисел приходится проделать четыре более мелких перемножения для получения итогового результата.

Школьный метод "переноса " требует выполнения n 2 шагов, где n – количество цифр в каждом из перемножаемых чисел. Вычисления с трёхзначными числами требуют девяти перемножений, а со стозначными – 10 000.

Метод переноса нормально работает с числами, состоящими из нескольких цифр, однако начинает буксовать при перемножении чисел, состоящих из миллионов или миллиардов цифр (чем и занимаются компьютеры при точном подсчёте π или при всемирном поиске больших простых чисел). Чтобы перемножить два числа с миллиардом цифр, нужно будет произвести миллиард в квадрате, или 10 18 , умножений, – на это у современного компьютера уйдёт порядка 30 лет.

Несколько тысячелетий считалось, что быстрее перемножать числа нельзя. Затем в 1960 году 23-летний советский и российский математик Анатолий Алексеевич Карацуба посетил семинар, который вёл Андрей Николаевич Колмогоров , советский математик, один из крупнейших математиков XX века. Колмогоров заявил, что не существует обобщённого способа умножения, требующего меньше, чем n 2 операций. Карацуба решил, что такой способ есть – и после недели поисков он его обнаружил.

Анатолий Алексеевич Карацуба

Умножение Карацубы заключается в разбиении цифр числа и повторной их комбинации новым способом, который позволяет вместо большого количества умножений провести меньшее количество сложений и вычитаний. Метод экономит время, поскольку на сложения уходит всего 2n шагов вместо n 2 .

Традиционный метод умножения 25х63 требует четыре умножения на однозначное число и несколько сложений

Умножение Карацубы 25х63 требует трёх умножений на однозначное число и несколько сложений и вычитаний.
a) разбиваем числа
b) перемножаем десятки
c) перемножаем единицы
d) складываем цифры
e) перемножаем эти суммы
f) считаем e – b – c
g) собираем итоговую сумму из b, c и f

При росте количества знаков в числах метод Карацубы можно использовать рекурсивно.

Традиционный метод умножения 2531х1467 требует 16 умножений на однозначное число.

Умножение Карацубы 2531х1467 требует 9 умножений.

«Сложение в школе проходят на год раньше, потому что это гораздо проще, оно выполняется за линейное время, со скоростью чтения цифр слева направо», - сказал Мартин Фюрер , математик из Пенсильванского государственного университета, создавший в 2007 быстрейший на то время алгоритм умножения.

Имея дело с крупными числами, умножение Карацубы можно повторять рекурсивно, разбивая изначальные числа почти на столько частей, сколько в них знаков. И с каждым разбиением вы меняете умножение, требующее выполнения многих шагов, на сложение и вычитание, требующие куда как меньше шагов.

«Несколько умножений можно превратить в сложения, учитывая, что с этим компьютеры будут справляться быстрее», - сказал Дэвид Харви , математик из Университета Нового Южного Уэльса и соавтор новой работы.

Метод Карацубы сделал возможным умножать числа с использованием лишь n 1,58 умножений на однозначное число. Затем в 1971 году Арнольд Шёнхаге и Фолькер Штрассен опубликовали метод, позволяющий умножать большие числа за n × log n × log(log n) небольших умножений. Для умножения двух чисел из миллиарда знаков каждое метод Карацубы потребует 165 трлн шагов.

Йорис ван дер Хувен, математик из Французского национального центра научных исследований

Метод Шёнхаге-Штрассена используется компьютерами для умножения больших чисел, и привёл к двум другим важным последствиям. Во-первых, он ввёл в использование технику из области обработки сигналов под названием быстрое преобразование Фурье . С тех пор эта техника была основой всех быстрых алгоритмов умножения.

Во-вторых, в той же работе Шёнхаге и Штрассен предположили возможность существования ещё более быстрого алгоритма – метода, требующего всего n × log n умножений на один знак – и что такой алгоритм будет наибыстрейшим из возможных. Это предположение было основано на ощущении, что у такой фундаментальной операции, как умножение, ограничение операций должно записываться как-то более элегантно, чем n × log n × log(log n).

«Большинство в общем-то сошлось на том, что умножение – это такая важная базовая операция, что с чисто эстетической точки зрения ей требуется красивое ограничение по сложности, - сказал Фюрер. – По опыту мы знаем, что математика базовых вещей в итоге всегда оказывается элегантной».

Нескладное ограничение Шёнхаге и Штрассена, n × log n × log(log n), держалось 36 лет. В 2007 году Фюрер побил этот рекорд, и всё завертелось. За последнее десятилетие математики находили всё более быстрые алгоритмы умножения, каждый из которых постепенно подползал к отметке в n × log n, не совсем достигая её. Затем в марте этого года Харви и ван дер Хувен достигли её.

Их метод является улучшением большой работы, проделанной до них. Он разбивает числа на знаки, использует улучшенную версию быстрого преобразования Фурье и пользуется другими прорывами, сделанными за последние 40 лет. «Мы используем быстрое преобразование Фурье гораздо более грубо, используем его несколько раз, а не один, и заменяем ещё больше умножений сложением и вычитанием», - сказал ван дер Хувен.

Алгоритм Харви и ван дер Хувена доказывает, что умножение можно провести за n × log n шагов. Однако он не доказывает отсутствия более быстрого метода. Гораздо сложнее будет установить, что их подход максимально быстрый. В конце февраля команда специалистов по информатике из Орхусского университета опубликовала работу , где утверждает, что если одна из недоказанных теорем окажется верной, то этот метод и вправду будет скорейшим из способов умножения.

И хотя в теории этот новый алгоритм весьма важен, на практике он мало что поменяет, поскольку лишь немного выигрывает у уже используемых алгоритмов. «Всё, на что мы можем надеяться, это на трёхкратное ускорение, - сказал ван дер Хувен. – Ничего запредельного».

Кроме того, поменялись схемы компьютерного оборудования. Двадцать лет назад компьютеры выполняли сложение гораздо быстрее умножения. Разрыв в скоростях умножения и сложения с тех пор серьёзно уменьшился, в результате чего на некоторых чипах умножение может даже обгонять сложение. Используя определённые виды оборудования, «можно ускорить сложение, заставляя компьютер умножать числа, и это какое-то безумие», - сказал Харви.

Оборудование меняется со временем, но лучшие алгоритмы своего класса вечны. Вне зависимости от того, как компьютеры будут выглядеть в будущем, алгоритм Харви и ван дер Хувена всё ещё будет самым эффективным способом умножать числа.

второй способ умножения:

НА Руси крестьяне не применяли таблицы умножения, но прекрасно считали произведение многозначных чисел.

На Руси, начиная с глубокой древности и почти до восемнадцатого века, русские люди в своих вычислениях обходились без умножения и деления. Они применяли лишь два арифметических действия – сложение и вычитание. Да еще так называемое «удвоение» и «раздвоение». Но потребности торговой и иной деятельности требовали производить умножение достаточно больших чисел, как двузначных так и трехзначных. Для этого существовал свой особый способ умножения таких чисел.

Сущность старинного русского способа умножения состоит в том, что умножение любых двух чисел сводилось к ряду последовательных делений одного числа пополам (последовательное раздвоение) при одновременном удвоении другого числа.

Например, если в произведении 24 ∙ 5 множимое 24 уменьшить в два раза (раздвоить), а множимое увеличить в два раза (удвоить), т.е. взять произведение 12 ∙ 10, то произведение остается равным числу 120. Это свойство произведения заметили наши далекие предки и научились применять его при умножении чисел своим особым старинным русским способом умножения.

Умножим этим способом 32 ∙ 17..
32 ∙ 17
16 ∙ 34
8 ∙ 68
4 ∙ 136
2 ∙ 272
1 ∙544 Ответ: 32 ∙ 17 = 544.

В разобранном примере деление на два – "раздвоение" происходит без остатка. А как быть, если множитель не делится на два без остатка? И это казалось по плечу древним вычислителям. В этом случае поступали так:
21 ∙ 17
10 ∙ 34
5 ∙ 68
2 ∙ 136
1 ∙ 272
357 Ответ: 357.

Из примера видно, что если множимое не делится на два, то от него сначала отнимали единицу, потом полученный результат раздваивали» и так 5 до конца. Затем все строчки с четными множимыми вычеркивали (2-я, 4-ая, 6-ая и т.д.), а все правые части оставшихся строчек складывали и получали искомое произведение.

Как же рассуждали древние вычислители, обосновывая свой способ вычисления? А вот как: 21 ∙ 17 = 20 ∙ 17 + 17.
Число 17 запоминается, а произведение 20 ∙ 17 = 10∙ 34 (раздваиваем – удваиваем) и записываем. Произведение 10 ∙ 34 = 5 ∙ 68 (раздваиваем – удваиваем), а как бы лишнее произведение 10∙34 вычеркиваем. Так как 5 * 34 = 4 ∙ 68 + 68, то число 68 запоминается, т.е. третья строка не вычеркивается, а 4 ∙ 68 = 2 ∙ 136 = 1 ∙ 272 (раздваиваем – удваиваем), при этом четвертая строка, содержащая как бы лишнее произведение 2 ∙ 136, вычеркивается, а число 272 запоминается. Вот и получается, что, чтобы умножить 21 на 17, надо сложить числа 17, 68 и 272 – это как раз и есть равые части строк именно с нечетными множимыми.
Русский способ умножения и элегантен и экстравагантен одновременно

Предлагаю Вашему вниманию три примера в цветных картинках (в правом верхнем углу проверочный столбик ).

Пример №1 : 12 × 321 = 3852
Рисуем первое число сверху вниз, слева на право: одна зелёненькая палочка (1 ); две оранжевых палочки (2 ). 12 нарисовали.
Рисуем второе число снизу вверх, слева на право: три голубеньких палочки (3 ); две красненькие (2 ); одну сиреневенькую (1 ). 321 нарисовали.

Теперь простым карандашиком по рисунку прогуляемся, точечки пересечения чисел-палочек на части разделим и приступим к подсчёту точечек. Двигаемся справа налево (по часовой стрелке): 2 , 5 , 8 , 3 . Число-результат будем «собирать» слева направо (против часовой стрелки) и… вуаля, получили 3852

Пример №2 : 24 × 34 = 816
В этом примере есть нюансы. При подсчёте точечек в первой части получилось16 . Единичку отправляем-прибавляем к точечкам второй части (20 + 1 )…

Пример №3 : 215 × 741 = 159315
Без комментариев

На первых порах показался мне несколько вычурным, но при этом интригующим и удивительно гармоничным. На пятом примере поймала себя на мысли, что умножение идёт в лёт и работает в режиме автопилота : рисуем, точечки считаем, про таблицу умножения не вспоминаем, вроде как мы её вообще не знаем.

Если честно, то осуществляя проверку рисовательного способа умножения и обратившись к умножению столбиком, и не раз, и не два к своему стыду отметила некоторые притормаживания, свидетельствовавшие о том, что таблица умножения у меня проржавела в некоторых местах и забывать её таки не стоит. При работе с более «серьёзными» числами рисовательный способ умножения стал чересчур громоздким, а умножение столбиком пошло в радость.

P.S. : Слава и хвала родному столбику!
В плане построения способ непритязательный и компактный, очень даже скоростной, память тренирует – таблицу умножения забывать не дозволяет.

И посему, настоятельно рекомендую и себе и Вам по возможности забывать про калькуляторы в телефонах и на компьютерах; и периодически баловать себя умножением столбиком. А то не ровен час и сюжет из фильма «Восстание машин» развернётся не на экране кинотеатра, а на нашей с Вами кухне или лужайке рядом с домом…


Три раза через левое плечо…, стучим по дереву… …и главное не забываем про гимнастику для ума!

УЧИМ ТАБЛИЦУ УМНОЖЕНИЯ!!!