Прямая пропорциональность и ее график. Прямая пропорциональность и её график Исследование функции прямой пропорциональности $f(x)=kx$ и её график

Цели занятия: На этом занятии вы познакомитесь с особым видом функциональной зависимости – прямой пропорциональностью – и ее графиком.

Прямая пропорциональная зависимость

Рассмотрим несколько примеров зависимостей.

Пример 1.

Если предположить, что пешеход движется со средней скоростью 3,5 км/ч, то длина пути, который он пройдет, зависит от времени, проведенном в пути:

за час пешеход пройдет 3,5 км
за два часа – 7 км
за 3,5 часа – 12,25 км
за t часов – 3,5t км

В этом случае мы можем записать зависимость длины пути, пройденного пешеходом, от времени так: S(t)=3,5t .

t – независимая переменная, S – зависимая переменная (функция). Чем больше время, тем больше путь и наоборот – чем меньше время, тем меньше путь. При каждом значении независимо переменной t можно найти отношение длины пути ко времени. Как вы знаете, оно будет равно скорости, то есть в данном случае – 3,5.

Пример 2.

Известно, что за свою жизнь пчела-сборщица осуществляет около 400 вылетов, пролетая в среднем 800 км. Из одного рейса она возвращается с 70 мг нектара. Для получения 1 грамма меда пчеле необходимо совершить в среднем 75 таких рейсов. Таким образом за свою жизнь она производит всего около 5 граммов меда. Давайте посчитаем, сколько меда а свою жизнь произведут:

10 пчёл – 50 граммов
100 пчёл – 500 граммов
280 пчёл – 1400 граммов
1350 пчёл – 6750 граммов
х пчёл – 5х граммов

Таким образом, можно записать уравнение зависимости, которой выражается количество меда, произведенного пчелами, от количества пчел: Р(х) = 5х .

х – независимая переменная (аргумент), Р – зависимая переменная (функция ). Чем больше пчел – тем больше меда. Здесь, так же, как и в предыдущем примере, можно найти отношение количества меда к количеству пчел, оно будет равно 5.

Пример 3.

Пусть функция задана таблицей:

Найдем отношение значения зависимой переменной к значению независимой переменной для каждой пары (х ; у ) и занесем это отношение в таблицу:

Мы видим, что для каждой пары значений (х ; у ) отношение , поэтому можно записать нашу функцию так: y = –4x с учетом области определения данной функции, то есть для тех значений х , которые занесены в таблицу.

Заметим, что для пары (0; 0) эта зависимость также будет верна, так как у (0) = 4 ∙ 0 = 0, поэтому таблица на самом деле задает функцию y = –4x с учетом области определения данной функции.

И в первом, и во втором примере видна определенная закономерность: чем больше значение независимой переменной (агрумента), тем больше значение зависимой переменной (функции). И наоборот: чем меньше значение независимой переменной (агрумента), тем меньше значение зависимой переменной (функции). При этом отношение значения зависимой переменной к значению аргумента в каждом случае остается одинаковым.

Такую зависимость называют прямой пропорциональностью , а постоянное значение, которое принимает отношение значения функции к значению аргумента – коэффициентом пропорциональности .

Однако заметим, что закономерность: чем больше х , тем больше у и, наоборот, чем меньше х , тем меньше у в такого типа зависимостях будет выполнятся только тогда, когда коэффициент пропорциональности является положительным числом. Поэтому более важным показателем того, что зависимость является прямой пропорциональностью, является постоянство отношения значений зависимой переменной к независимой , то есть наличие коэффициента пропорциональности .

В Примере 3 мы также имеем дело с прямой пропорциональностью, на этот раз с отрицательным коэффициентом, который равен –4.

Например, среди зависимостей, выраженных формулами:

1. I = 1,6p
2. S = –12t + 2
3. r = –4k 3
4. v = 13m
5. y = 25x – 2
6. P = 2,5a

прямой пропорциональностью являются 1., 4. и 6. зависимости.

Придумайте 3 примера зависимостей, которые является прямыми пропорциональностями и обсудите свои примеры на или видеокомнате.

Познакомьтесь с другим подходом к определению прямой пропорциональности, поработав с материалами видеоурока

График прямой пропорциональности

Перед изучением следующего фрагмента занятия поработайте с материалами электронного образовательного ресурса « ».

Из материалов Электронного образовательного ресурса вы узнали, что графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат. Давайте убедимся в этом, построив графики функций у = 1,5х и у = –0,5х на одной координатной плоскости.

Составим таблицу значений для каждой функции:

у = 1,5х

Нанесем полученные точки на координатную плоскость:

Видно, что отмеченные нами точки на самом деле ложатся на прямую, проходящую через начало координат . Теперь соединим эти точки прямой.

Теперь поработаем так же с функцией у = –0,5х .

Соединим все полученные точки линией:

Для того чтобы более подробно изучить материал, связанный с графиком прямой пропорциональности, поработайте с материалами фрагмента видеоурока «Прямая пропорциональность и ее график».

Теперь поработайте с материалами электронного образовательного ресурса «

>>Математика:Прямая пропорциональность и ее график

Прямая пропорциональность и её график

Среди линейных функций у = kx + m особо выделяют случай, когда m = 0; в этом случае принимает вид у = kx и ее называют прямой пропорциональностью. Это название объясняется тем, что две величины у и х называют прямо пропорциональными, если их отношение равно конкретному
числу, отличному от нуля. Здесь , это число k называют коэффициентом пропорциональности.

Многие реальные ситуации моделируются с помощью прямой пропорциональности.

Например, путь s и время t при постоянной скорости, 20 км/ч связаны зависимостью s = 20t; это - прямая пропорциональность, причем k = 20.

Другой пример:

стоимость у и число х батонов хлеба по цене 5 руб. за батон связаны зависимостью у = 5х; это - прямая пропорциональность, где k = 5.

Доказательство. Осуществим его в два этапа.
1. у = kx - частный случай линейной функции, а графиком линейной функции является прямая; обозначим ее через I.
2. Пара х = 0, у = 0 удовлетворяет уравнению у - kx, а потому точка (0; 0) принадлежит графику уравнения у = kx, т. е. прямой I.

Следовательно, прямая I проходит через начало координат. Теорема доказана.

Надо уметь переходить не только от аналитической модели у = kx к геометрической (графику прямой пропорциональности), но и от геометрической модели к аналитической. Рассмотрим, например, прямую на координатной плоскости хОу, изображенную на рисунке 50. Она является графиком прямой пропорциональности, нужно лишь найти значение коэффициента k. Так как у , то достаточно взять любую точку на прямой и найти отношение ординаты этой точки к ее абсциссе. Прямая проходит через точку Р(3; 6), а для этой точки имеем: Значит, k = 2, а потому заданная прямая линия служит графиком прямой пропорциональности у = 2х.

Вследствие этого коэффициент k в записи линейной функции у = kx + m также называют угловым коэффициентом. Если k>0, то прямая у = kx + m образует с положительным направлением оси х острый угол (рис. 49, а), а если k < О, - тупой угол (рис. 49, б).

Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн , Математика в школе скачать

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Трихлеб Даниил ученик 7 А класса

знакомство с прямой пропорциональностью и коэффициентом прямой пропорциональности (введение понятия угловой коэффициент”);

построение графика прямой пропорциональности;

рассмотрение взаимного расположения графиков прямой пропорциональности и линейной функции с одинаковыми угловыми коэффициентами.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Прямая пропорциональность и её график

Что такое аргумент и значение функции? Какая переменная называется независимой, зависимой? Что такое функция? ПОВТОРЕНИЕ Что такое область определения функции?

Способы задания функции. Аналитический (с помощью формулы) Графический (с помощью графика) Табличный (с помощью таблицы)

Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты- соответствующим значениям функции. ГРАФИК ФУНКЦИИ

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

ВЫПОЛНИТЕ ЗАДАНИЕ Постройте график функции y = 2 x +1, где 0 ≤ х ≤ 4 . Составьте таблицу. По графику найдите значение функции при х=2,5 . При каком значении аргумента значение функции равно 8 ?

Определение Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида у= k х, где х - независимая переменная, k - не равное нулю число. (k- коэффициент прямой пропорциональности) Прямая пропорциональная зависимость

8 График прямой пропорциональ - ности - прямая, проходящая через начало координат (точку О(0,0)) Чтобы построить график функции y= kx , достаточно двух точек, одна из которых О (0,0) При k > 0 график расположен в I и III координатных четвертях. При k

Графики функций прямой пропорциональности y x k>0 k>0 k

Задание Определите, на каком из графиков изображена функция прямой пропорциональности.

Задание Определите, график какой функции изображен на рисунке. Выберите формулу из трех предложенных.

Устная работа. Может ли график функции, заданной формулой у= k х, где k

Определите, какие из точек А(6,-2), В(-2,-10),С(1,-1),Е(0,0) принадлежат графику прямой пропорциональности, заданной формулой у = 5х 1) А(6;-2) -2 = 5  6 - 2 = 30 - неверно. Точка А не принадлежит графику функции у=5х. 2) В(-2;-10) -10 = 5  (-2) -10 = -10 - верно. Точка В принадлежит графику функции у=5х. 3) С(1;-1) -1 = 5  1 -1 = 5 - неверно Точка С не принадлежит графику функции у=5х. 4) Е (0;0) 0 = 5  0 0 = 0 - верно. Точка Е принадлежит графику функции у=5х

ТЕСТ 1 вариант 2 вариант №1. Какие из функций, заданные формулой, являются прямой пропорциональной зависимостью? А. y = 5x В. y = x 2 /8 C. y = 7x(x-1) D . y = x+1 A. y = 3x 2 +5 B. y = 8/x C. y = 7(x + 9) D. y = 10x

№2. Выпишите номера прямых y = kx , где k > 0 1 вариант k

№3. Определите, какие из точек принадлеж a т графику прямой пропорциональности, заданной формулой У= -1 /3 Х А(6 -2) ,В(-2 -10) 1 вариант С(1,-1),Е(0,0) 2 вариант

y =5x y =10x III А VI и IV E 1 2 3 1 2 3 № Правильный ответ Правильный ответ №

Выполните задание: Покажите схематически, как расположен график функции, заданной формулой: y =1,7 x у =-3 ,1 х у=0,9 х у=-2,3 х

ЗАДАНИЕ Из следующих графиков выберите только графики прямой пропорциональности.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

Функции у = 2х + 3 2. у = 6/ х 3. у = 2х 4. у = - 1,5х 5. у = - 5/ х 6. у = 5х 7. у = 2х – 5 8. у = - 0,3х 9. у = 3/ х 10. у = - х /3 + 1 Выберите функции вида у= k х (прямая пропорциональность) и выпишите их

Функции прямой пропорциональности У = 2х У = -1,5х У = 5х У = -0,3х у х

у Линейные функции, не являющиеся функциями прямой пропорциональности 1) у = 2х + 3 2) у = 2х – 5 х -6 -4 -2 0 2 4 6 6 3 -3 -6 у = 2х + 3 у = 2х - 5

Домашнее задание: п.15 стр.65-67, № 307; № 308.

Еще раз давайте повторим. Что вы узнали нового? Чему научились? Что показалось особенно трудным?

Понравился урок и тема понята: Понравился урок, но не всё ещё понятно: Урок не понравился и тема не понятна.

Построим график функции, заданной формулой у = 0,5х.

1. Область определения этой функции – множество всех чисел.

2. Найдем некоторые соответственные значения переменных х и у .

Если х = -4, то у = -2.
Если х = -3, то у = -1,5.
Если х = -2, то у = -1.
Если х = -1, то у = -0,5.
Если х = 0, то у = 0.
Если х = 1, то у = 0,5.
Если х = 2, то у = 1.
Если х = 3, то у = 1,5.
Если х = 4, то у = 2.

3. Отметим в координатной плоскости точки, координаты которых мы определили в пункте 2. Отметим, что построенные точки принадлежат некоторой прямой.

4. Определим, принадлежат ли этой прямой другие точки графика функции. Для этого найдем координаты еще нескольких точек графика.

Если х = -3,5, то у = -1,75.
Если х = -2,5, то у = -1,25.
Если х = -1,5, то у = -0,75.
Если х = -0,5, то у = -0,25.
Если х = 0,5, то у = 0,25.
Если х = 1,5, то у = 0,75.
Если х = 2,5, то у = 1,25.
Если х = 3,5, то у = 1,75.

Построив новые точки графика функции, замечаем, что они принадлежат той же прямой.

Если мы будем уменьшать шаг наших значений (брать, например, значения х через 0,1; через 0,01 и т.д.), мы будем получать другие точки графика, принадлежащие той же прямой и расположенные все более близко друг от драга. Множество всех точек графика данной функции есть прямая линия, проходящая через начало координат.

Т.о., график функции, заданной формулой у = kх, где k ≠ 0, есть прямая, проходящая через начало координат.

Если область определения функции, заданной формулой у = kх, где k ≠ 0, состоит не из всех чисел, то ее графиком служит подмножество точек прямой (например, луч, отрезок, отдельные точки).

Для построения прямой достаточно знать положение двух ее точек. Поэтому график прямой пропорциональности, заданной на множестве всех чисел, можно строить по любым двум его точкам (в качестве одной из них удобно брать начало координат).

Пусть, например, требуется построить график функции, заданной формулой у = -1,5х . Выберем какое-либо значение х , не равное 0 , и вычислим соответствующее значение у .

Если х = 2, то у = -3.

Отметим на координатной плоскости точку с координатами (2; -3) . Через эту точку и начало координат проведем прямую. Эта прямая – искомый график.

Основываясь на данном примере, можно доказать, что всякая прямая, проходящая через начало координат и не совпадающая с осями, является графиком прямой пропорциональности.

Доказательство .

Пусть дана некоторая прямая, проходящая через начало координат и не совпадающая с осями. Возьмем на ней точку с абсциссой 1. Обозначим ординату этой точки через k. Очевидно, что k ≠ 0. Докажем, что данная прямая является графиком прямой пропорциональности с коэффициентом k.

Действительно, из формулы у = kх следует, что если х = 0, то у = 0, если х = 1, то у = k, т.е. график функции, заданной формулой у = kх, где k ≠ 0, есть прямая, проходящая через точки (0; 0) и (1; k).

Т.к. через две точки можно провести только одну прямую, то данная прямая совпадает с графиком функции, заданной формулой у = kх, где k ≠ 0 , что и требовалось доказать.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.